1.（單選題.4分）已知角α的終邊過點P（4.-3）.則2sinα+csα=（ ）
A. ?25
B. 25
C.1
D.-1
2.（單選題.4分）已知sinθcsθ＜0.那么角θ是（ ）
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角
3.（單選題.4分）已知函數y=sinx在區(qū)間M上單調遞增.那么區(qū)間M可以是（ ）
A.（0.2π）
B.（0.π）
C. 0， 3π2
D. 0， π2
4.（單選題.4分）函數f（x）=sin（x- π4 ）的圖象的一條對稱軸是（ ）
A.x= π4
B.x= π2
C.x=- π4
D.x=- π2
5.（單選題.4分）函數 fx=cs2x4?sin2x4 的最小正周期是（ ）
A.4π
B.2π
C.π
D. π2
6.（單選題.4分）“csα= 12 ”是“α= π3 ”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
7.（單選題.4分）已知向量 a 和 b 的夾角為60°.| a |=3.| b |=4.則（2 a - b ）? a 等于（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3
8.（單選題.4分）已知tanα= 33 （0＜α＜2π）.那么α所有可能的值是（ ）
A. π6
B. π6 或 76π
C. π3 或 4π3
D. π3
9.（單選題.4分）向量 a=cs50°，sin50° 與 b=cs10°，sin10° 的夾角為（ ）
A.30°
B.40°
C.60°
D.90°
10.（單選題.4分）設f（x）是定義域為R.最小正周期為 3π2 的函數.若 fx=csx,?π2≤x＜0sinx,0≤x＜π .則 f?15π4 等于（ ）
A. 22
B.1
C.0
D. ?22
11.（填空題.5分）計算sin330°=___ ．
12.（填空題.5分）已知tanα=2.則tan（π-α）=___ .tan2α=___ ．
13.（填空題.5分）已知平面向量 a . b 滿足 a =（1.-1）.（ a + b ）⊥（ a - b ）.那么| b |=___ ．
14.（填空題.5分）已知正方形ABCD的邊長為1.點E是AB邊上的動點.則 DE?CB 的值為___ . DE?AC 的最大值為___ ．
15.（填空題.5分）設函數f（x）=sinπx.g（x）=x2-x+1.有以下四個結論．
① 函數y=f（x）+g（x）是周期函數；
② 函數y=f（x）-g（x）的圖像是軸對稱圖形；
③ 函數y=f（x）?g（x）的圖像關于坐標原點對稱；
④ 函數 y=fxgx 存在最大值．
其中.所有正確結論的序號是 ___ ．
16.（問答題.13分）已知 α∈π2，π .且 sinα=35 ．
（1）求 csα+π4 的值；
（2）求 sin2α?csα1+cs2α 的值．
17.（問答題.13分）已知 tanθ+π4=?3 ．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）求sin2θ的值．
18.（問答題.15分）已知函數 fx=Asinωx+φ x∈R，A＞0，ω＞0，φ＜π2 部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移 π6 個單位長度得到函數y=g（x）的圖象.求函數g（x）在區(qū)間 0，π2 上的最大值和最小值．
19.（問答題.14分）已知函數f（x）=2 3 sinxcsx-2sin2x+a.a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數f（x）有零點.求實數a的取值范圍．
20.（問答題.15分）已知函數 fx=2csxsinx?π3+32 ．
（1）求f（0）；
（2）求曲線y=f（x）的相鄰兩條對稱軸的距離；
（3）若函數f（x）在[0.a]上單調遞增.求a的最大值．
21.（問答題.15分）已知函數 fx=3sinωx+csωx+mω＞0 同時滿足下列三個條件中的二個：
① f（0）=2； ② 最大值為2； ③ 最小正周期為π．
（Ⅰ）求出所有可能的函數f（x）.并說明理由；
（Ⅱ）從符合題意的函數中選擇一個.求其單調增區(qū)間．
2021-2022學年北京四十三中高一（下）期中數學試卷
參考答案與試題解析
試題數：21.滿分：150
1.（單選題.4分）已知角α的終邊過點P（4.-3）.則2sinα+csα=（ ）
A. ?25
B. 25
C.1
D.-1
【正確答案】：A
【解析】：利用余弦定理求出sinα=- 35 .csα= 45 .由此能求出2sinα+csα．
【解答】：解：角α的終邊過點P（4.-3）.
∴x=4.y=-3.r= 16+9 =5.
∴sinα=- 35 .csα= 45 .
則2sinα+csα=- 65+45 =- 25 ．
故選：A．
【點評】：本題考查任意角三角函數的定義等基礎知識.考查運算求解能力.是基礎題．
2.（單選題.4分）已知sinθcsθ＜0.那么角θ是（ ）
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角
【正確答案】：C
【解析】：根據題意列出不等式組.由三角函數值的符號判斷出θ所在的象限．
【解答】：解：由題意知.sinθcsθ＜0.
則 sinθ＞0csθ＜0 或 sinθ＜0csθ＞0 .所以角θ在第二或第四象限.
故選：C．
【點評】：本題考查角函數值的符號的應用.需要掌握口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦.屬于基礎題．
3.（單選題.4分）已知函數y=sinx在區(qū)間M上單調遞增.那么區(qū)間M可以是（ ）
A.（0.2π）
B.（0.π）
C. 0， 3π2
D. 0， π2
【正確答案】：D
【解析】：直接利用函數的單調性和子區(qū)間之間的關系求出結果．
【解答】：解：根據函數y=sinx的單調遞增區(qū)間：[ ?π2+2kπ，π2+2kπ ]（k∈Z）.
當k=0時.單調增區(qū)間為[ ?π2，π2 ].由于 0，π2 為[ ?π2，π2 ]的子區(qū)間.
故選：D．
【點評】：本題考查的知識要點：函數的單調性的應用.主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力.屬于基礎題型．
4.（單選題.4分）函數f（x）=sin（x- π4 ）的圖象的一條對稱軸是（ ）
A.x= π4
B.x= π2
C.x=- π4
D.x=- π2
【正確答案】：C
【解析】：將內層函數x- π4 看做整體.利用正弦函數的對稱軸方程.即可解得函數f（x）的對稱軸方程.對照選項即可得結果
【解答】：解：由題意.令x- π4 =kπ+ π2 .k∈z
得x=kπ+ 3π4 .k∈z是函數f（x）=sin（x- π4 ）的圖象對稱軸方程
令k=-1.得x=- π4
故選：C．
【點評】：本題主要考查了正弦函數的圖象和性質.三角復合函數對稱軸的求法.整體代入的思想方法.屬基礎題
5.（單選題.4分）函數 fx=cs2x4?sin2x4 的最小正周期是（ ）
A.4π
B.2π
C.π
D. π2
【正確答案】：A
【解析】：利用二倍角的余弦公式化簡f（x）.再求出f（x）的最小正周期即可．
【解答】：解：因為 fx=cs2x4?sin2x4 =cs x2 .
所以f（x）的最小正周期T= 2π12 =4π．
故選：A．
【點評】：本題考查了二倍角的余弦公式.余弦函數的周期性.屬于基礎題．
6.（單選題.4分）“csα= 12 ”是“α= π3 ”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
【正確答案】：B
【解析】：“csα= 12 ”?“α= π3 +2kπ.k∈Z.或α= 53π+2kπ，k∈Z ”.“α= π3 ”?“csα= 12 ”．
【解答】：解：∵“csα= 12 ”?“α= π3 +2kπ.k∈Z.或α= 53π+2kπ，k∈Z ”.
“α= π3 ”?“csα= 12 ”．
故選：B．
【點評】：本題考查必要條件、充分條件和充要條件的判斷.解題時要認真審題.注意三角函數性質的合理應用．
7.（單選題.4分）已知向量 a 和 b 的夾角為60°.| a |=3.| b |=4.則（2 a - b ）? a 等于（ ）
A.15
B.12
C.6
D.3
【正確答案】：B
【解析】：由向量的運算法則及數量積公式求解．
【解答】：解：∵向量 a 和 b 的夾角為60°.| a |=3.| b |=4.
∴（2 a - b ）? a = 2a2?a?b =2×32-3×4×cs60°
= 18?3×4×12 =12．
故選：B．
【點評】：本題考查平面向量數量積的性質及運算.是基礎題．
8.（單選題.4分）已知tanα= 33 （0＜α＜2π）.那么α所有可能的值是（ ）
A. π6
B. π6 或 76π
C. π3 或 4π3
D. π3
【正確答案】：B
【解析】：利用已知條件.直接求出角α所有可能的值即可．
【解答】：解：因為 tanα=330＜α＜2π .所以α= π6 或 76π .
故選：B．
【點評】：本題考查已知特殊角的三角函數值求角.考查計算能力.基本知識的掌握情況．
9.（單選題.4分）向量 a=cs50°，sin50° 與 b=cs10°，sin10° 的夾角為（ ）
A.30°
B.40°
C.60°
D.90°
【正確答案】：B
【解析】：根據題意.設兩個向量的夾角為θ.由向量的坐標可得 a 、 b 的模以及 a ? b 的值.由向量夾角公式計算可得答案．
【解答】：解：根據題意.設兩個向量的夾角為θ.
向量 a=cs50°，sin50° 與 b=cs10°，sin10° .
則| a |=1.| b |=1. a ? b =cs50°cs10°+sin50°sin10°=cs40°.
則csθ= a?bab =cs40°.
又由0°≤θ≤180°.故兩個向量的夾角為40°.
故選：B．
【點評】：本題考查向量的夾角.涉及三角函數的恒等變形.屬于基礎題．
10.（單選題.4分）設f（x）是定義域為R.最小正周期為 3π2 的函數.若 fx=csx,?π2≤x＜0sinx,0≤x＜π .則 f?15π4 等于（ ）
A. 22
B.1
C.0
D. ?22
【正確答案】：A
【解析】：先根據函數的周期性可以得到 f?15π4 =f（ 3π4?3×3π2 ）=f（ 3π4 ）.再代入到函數解析式中即可求出答案．
【解答】：解：∵ fx=csx,?π2≤x＜0sinx,0≤x＜π .最小正周期為 3π2
f?15π4 =f（ 3π4?3×3π2 ）=f（ 3π4 ）=sin 3π4 = 22
故選：A．
【點評】：題主要考查函數周期性的應用.考查計算能力.分段函數要注意定義域.屬于基礎題．
11.（填空題.5分）計算sin330°=___ ．
【正確答案】：[1]- 12
【解析】：所求式子中的角變形后.利用誘導公式化簡即可得到結果．
【解答】：解：sin330°=sin（360°-30°）=-sin30°=- 12 ．
故答案為：- 12
【點評】：此題考查了誘導公式的作用.熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．
12.（填空題.5分）已知tanα=2.則tan（π-α）=___ .tan2α=___ ．
【正確答案】：[1]-2; [2]- 43
【解析】：由題意.利用誘導公式、二倍角的正切公式.計算求得結果．
【解答】：解：∵tanα=2.∴tan（π-α）=-tanα=-2.
tan2α= 2tanα1?tan2α = 41?4 =- 43 .
故答案為：-2.- 43 ．
【點評】：本題主要考查誘導公式、二倍角的正切公式的應用.屬于基礎題．
13.（填空題.5分）已知平面向量 a . b 滿足 a =（1.-1）.（ a + b ）⊥（ a - b ）.那么| b |=___ ．
【正確答案】：[1] 2
【解析】：利用向量垂直.數量積為0.得到兩個向量的模相等；向量的模等于坐標平方和的算術平方根．
【解答】：解：因為（ a + b ）⊥（ a - b ）.所以（ a + b ）?（ a - b ）=0.所以 a2?b2 =0.所以| a |=| b |= 12+?12=2 ；
故答案為： 2 ．
【點評】：本題考查了向量垂直的性質以及向量模的求法.屬于基礎題．
14.（填空題.5分）已知正方形ABCD的邊長為1.點E是AB邊上的動點.則 DE?CB 的值為___ . DE?AC 的最大值為___ ．
【正確答案】：[1]1; [2]0
【解析】：把 DE = DA + AE 代入 DE?CB .再結合平面向量數量積的運算法則.即可得解；設 AE =λ AB .λ∈[0.1].可得 DE?AC =λ-1.結合單調性.得解．
【解答】：解： DE?CB =（ DA + AE ）? CB = DA ? CB + AE ? CB = |DA|2 +0=1.
∵點E是AB邊上的動點.∴設 AE =λ AB .λ∈[0.1].
∴ DE?AC =（ AE - AD ）?（ AB + AD ）=（λ AB - AD ）?（ AB + AD ）=λ AB2 +（λ-1） AB ? AD - AD2 =λ+0-1.在λ∈[0.1]上單調遞增.
∴當λ=1時. DE?AC 取得最大值.為0．
故答案為：1；0．
【點評】：本題考查平面向量在幾何中的應用.熟練掌握平面向量的線性.數量積的運算法則是解題的關鍵.考查邏輯推理能力和運算能力.屬于中檔題．
15.（填空題.5分）設函數f（x）=sinπx.g（x）=x2-x+1.有以下四個結論．
① 函數y=f（x）+g（x）是周期函數；
② 函數y=f（x）-g（x）的圖像是軸對稱圖形；
③ 函數y=f（x）?g（x）的圖像關于坐標原點對稱；
④ 函數 y=fxgx 存在最大值．
其中.所有正確結論的序號是 ___ ．
【正確答案】：[1] ② ④
【解析】：由函數的周期性.對稱性.最值定義.逐個判斷即可得出答案．
【解答】：解：對于 ① ：因為函數f（x）=sinπx是周期函數.但是g（x）=x2-x+1不是周期函數.
所以y=f（x）+g（x）不是周期函數.故 ① 不正確；
對于 ② ：因為函數f（x）=sinπx對稱軸為x= 12 +k.k∈Z.
所以x= 12 是f（x）的一條對稱軸.
因為g（x）=x2-x+1=（x- 12 ）2+ 34 .對稱軸為x= 12 .
所以y=f（x）-g（x）的對稱軸為x= 12 .故 ② 正確；
對于 ③ ：因為函數f（x）=sinπx是關于原點對稱.但是g（x）=x2-x+1不關于原點對稱.
所以y=f（x）?g（x）不是關于原點對稱.故 ③ 不正確；
對于 ④ ：y= fxgx = sinπxx2?x+1 .
f（x）=sinπx.當x= 12 時.f（x）max=1.
因為g（x）=x2-x+1=（x- 12 ）2+ 34 .則g（x）min=g（ 12 ）= 34 .
所以y= fxgx 有最大值為 43 .故 ④ 正確．
故答案為： ② ④ ．
【點評】：本題考查函數的性質.解題中需要理清思路.屬于中檔題．
16.（問答題.13分）已知 α∈π2，π .且 sinα=35 ．
（1）求 csα+π4 的值；
（2）求 sin2α?csα1+cs2α 的值．
【正確答案】：
【解析】：（1）根據三角函數的同角關系.兩角和的余弦公式即可求解；
（2）根據二倍角公式即可求解．
【解答】：解：（1）∵ sinα=35 . cs2α=1?sin2α=1?925=1625 .
又 α∈π2，π .∴ csα=?45 .
∴ csα+π4=csαcsπ4?sinαsinπ4 = ?45?22?35?22 = ?7210 ；
（2）由（1）可得 sin2α?csα1+cs2α=2sinαcsα?csα1+2cs2α?1
= 2sinα?12csα = 2?35?12??45=15?85=?18 ．
【點評】：本題考查三角函數的同角關系.兩角和的余弦公式.二倍角公式.屬基礎題．
17.（問答題.13分）已知 tanθ+π4=?3 ．
（Ⅰ）求tanθ的值；
（Ⅱ）求sin2θ的值．
【正確答案】：
【解析】：（Ⅰ）由題意利用兩角和的正切公式.計算 tanθ 的值即可．
（Ⅱ）根據sin2θ= 2tanθtan2θ+1 .結合tanθ=2.求出sin2θ的值．
【解答】：解：（Ⅰ）∵ tanθ+π4=?3 = tanθ+11?tanθ .∴tanθ=2．
（Ⅱ）sin2θ= 2sinθcsθsin2θ+cs2θ = 2tanθtan2θ+1 = 44+1 = 45 ．
【點評】：本題考查兩角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數的基本關系.屬于基礎題．
18.（問答題.15分）已知函數 fx=Asinωx+φ x∈R，A＞0，ω＞0，φ＜π2 部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移 π6 個單位長度得到函數y=g（x）的圖象.求函數g（x）在區(qū)間 0，π2 上的最大值和最小值．
【正確答案】：
【解析】：（1）由圖先求得A.T.ω的值.當x= 2π3 時.f（x）=-1.可得φ的值.從而可求f（x）的解析式．
（2）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（2x- π6 ）.由x∈ 0，π2 .可得- π6 ≤2x- π6 ≤ 5π6 .即可求函數g（x）在區(qū)間 0，π2 上的最大值和最小值．
【解答】：解：（1）由圖可知.A=1. T4 = 2π3?5π12 = π4 .T=π.
所以ω=2．
當x= 2π3 時.f（x）=-1.可得sin（2× 2π3 +φ）=-1．
∵|φ|＜ π2 ∴φ= π6
∴求f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x+ π6 ）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+ π6 ）．
將函數y=f（x）的圖象向右平移 π6 個單位長度得到函數y=g（x）=sin[2（x- π6 ）+ π6 ]=sin（2x- π6 ）的圖象.
故g（x）=sin（2x- π6 ）.
∵x∈ 0，π2 .
∴- π6 ≤2x- π6 ≤ 5π6
當2x- π6 = π2 .即x= π3 時.g（x）有最大值為1；
當2x- π6 =- π6 .即x=0時.g（x）有最小值為- 12 ；
【點評】：本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換.三角函數的周期性及其求法.屬于基本知識的考查．
19.（問答題.14分）已知函數f（x）=2 3 sinxcsx-2sin2x+a.a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數f（x）有零點.求實數a的取值范圍．
【正確答案】：
【解析】：（Ⅰ）首先.利用二倍角公式.化簡函數解析式.然后.利用周期公式確定該函數的最小正周期；
（Ⅱ）令f（x）=0.然后.結合三角函數的圖象與性質進行求解．
【解答】：解：（Ⅰ）∵f（x）= 3 sin2x+cs2x+a-1
=2sin（2x+ π6 ）+a-1.
∴T= 2π2 =π.
∴函數f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）令f（x）=0.即2sin（2x+ π6 ）+a-1=0.
則a=1-2sin（2x+ π6 ）.
∵-1≤sin（2x+ π6 ）≤1.
∴-1≤1-2sin（2x+ π6 ）≤3.
∴若f（x）有零點.則實數a的取值范圍是[-1.3]．
【點評】：本題重點考查了二倍角公式、三角恒等變換公式.三角函數的圖象與性質等知識.考查比較綜合.屬于中檔題．
20.（問答題.15分）已知函數 fx=2csxsinx?π3+32 ．
（1）求f（0）；
（2）求曲線y=f（x）的相鄰兩條對稱軸的距離；
（3）若函數f（x）在[0.a]上單調遞增.求a的最大值．
【正確答案】：
【解析】：（1）利用特殊角的三角函數值即可計算得解．
（2）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式.求出其最小值正周期T.而曲線y=f（x）的相鄰兩條對稱軸的距離為 12 T．
（3）依題意建立關于a的不等式組.解出該不等式組即可求得實數a的取值范圍.進而得到a的最大值．
【解答】：解：（1） f0=2cs0sin?π3+32 = 2×1×?32+32 = ?32 ．
（2） fx=2csx12sinx?32csx+32
= sinxcsx?3cs2x+32
= 12sin2x?3×1+cs2x2+32
= sin2x?π3 .
所以函數f（x）的最小正周期 T=2π2=π .
所以曲線y=f（x）的相鄰兩條對稱軸的距離為 T2 .即 π2 ．
（3）由（2）可知 fx=sin2x?π3 .
當x∈[0.a]時. 2x?π3∈?π3，2α?π3 .
因為y=sinx在 ?π2，π2 上單調遞增.且f（x）在[0.a]上單調遞增.
所以 ?π3，2a?π3??π2，π2 .即 a＞02a?π3≤π2 .
解得 0＜a≤512π .
故a的最大值為 512π ．
【點評】：本題是對三角函數的性質以及三角恒等變換的考查.這是高考考查的一類熱點問題.一般難度不大.但綜合性較強.屬于中檔題．
21.（問答題.15分）已知函數 fx=3sinωx+csωx+mω＞0 同時滿足下列三個條件中的二個：
① f（0）=2； ② 最大值為2； ③ 最小正周期為π．
（Ⅰ）求出所有可能的函數f（x）.并說明理由；
（Ⅱ）從符合題意的函數中選擇一個.求其單調增區(qū)間．
【正確答案】：
【解析】：（I）分選 ① ② 、 ① ③ . ② ③ 三種情況討論.利用三角函數的圖象與性質列方程求解；
（II）令 ?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z 得f（x）的增區(qū)間．
【解答】：解：（I） fx=2sinωx+π6+m ；
若選 ① ② .則 1+m=22+m=2 .無解.f（x）不存在；
若選 ① ③ .則 1+m=22πω=π .解得m=1.ω=2. fx=2sin2x+π6+1 ；
若選 ② ③ .則 2+m=22πω=π .解得m=0.ω=2. fx=2sin2x+π6 ．
（II）若 fx=2sin2x+π6 .令 ?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z .所以增區(qū)間為 ?π3+kπ，π6+kπk∈Z ．
若 fx=2sin2x+π6+1 .其增區(qū)間與 fx=2sin2x+π6 相同.為 ?π3+kπ，π6+kπk∈Z ．
【點評】：本題考查正弦函數的圖象與性質.屬于基礎題．

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