1.已知直線l的方程為 3x?y?2=0，則直線的傾斜角為
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.直線ax?2y?1=0和直線2y?3x+b=0平行，則直線y=ax+b和直線y=3x+1的位置關(guān)系是
( )
A. 重合B. 平行C. 平行或重合D. 相交
3.已知x2+y2+2kx?4y+k2+k?2=0表示的曲線是圓，則k的值為
( )
A. 6,+∞B. ?6,+∞C. ?∞,6D. ?∞,6
4.不論m取何值，直線(m?1)x?y+2m?1=0都過定點
( )
A. 1,?12B. (?2,1)C. (2,3)D. (?2,3)
5.已知圓C:x2+y2=25，則圓C關(guān)于點(?3,4)對稱的圓的方程為
( )
A. (x+3)2+(y?4)2=16B. (x+3)2+(y?4)2=25
C. (x+6)2+(y?8)2=16D. (x+6)2+(y?8)2=25
6.下列說法正確的是( )
A. 零向量沒有方向
B. 空間向量不可以平行移動
C. 如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等
D. 同向且等長的有向線段表示同一向量
7.若數(shù)列an是等差數(shù)列，則下列數(shù)列不一定是等差數(shù)列的是
( )
A. anB. an+1?an
C. pan+q(p,q為常數(shù))D. 2an+n
8.設F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1|=|PQ|，若△OPF1的面積為 36b2，則|PQ||F1F2|=( )
A. 3B. 32C. 4 33D. 2 33
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下面說法中錯誤的是
．( )
A. 經(jīng)過定點P(x0,y0)的直線都可以用方程y?y0=kx?x0表示
B. 經(jīng)過定點P(x0,y0)的直線都可以用方程x?x0=my?y0表示
C. 經(jīng)過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示
D. 經(jīng)過任意兩個不同的點P1x1,y1，P2x2,y2的直線都可以用方程y?y1x2?x1=x?x1y2?y1表示
10.若雙曲線C的一個焦點F(5,0)，且漸近線方程為y=±43x，則下列結(jié)論正確的是
( )
A. C的方程為x29?y216=1B. C的離心率為54
C. 焦點到漸近線的距離為3D. 兩準線間的距離為185
11.瑞士數(shù)學家歐拉(Len?ardEuler)1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知?ABC的頂點A(?2,0),B(0,2)，其歐拉線方程為x?y+1=0，則頂點C的坐標可以是
( )
A. 2,0B. 1,0C. 0,?1D. 0,?2
12.已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，其前n項和為Sn，且滿足a7=3a5，則下列結(jié)論正確的是
( )
A. d>0B. a10時，n的最小值為8
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. 在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若PA→=a，PB=b，PC=c，則BE= .
14.已知雙曲線C:x2a2?y24=1的一條漸近線方程為2x+3y=0,F1,F2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且PF1=7，則PF2= ．
15.在平面直角坐標系xOy中，設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|= ．
16.過橢圓的右焦點F2作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，若?F1AB為正三角形，則該橢圓的離心率為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
記Sn為數(shù)列an的前n項和．
(1)已知an>0，a2=3a1，且數(shù)列 Sn是等差數(shù)列，證明：an是等差數(shù)列；
(2)若2S3=3S2+6，求公差d．
18.(本小題12分)
已知⊙O：x2+y2=1和定點A(2,1)，由⊙O外一點P(x,y)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足PQ=2PA．
(1)求動點P的軌跡方程C；
(2)求線段PQ長的最小值；
(3)若以P為圓心所做的⊙P與⊙O有公共點，試求P半徑取最小值時的P點坐標．
19.(本小題12分)
如圖所示，在三棱錐A?BCD中，DA,DB,DC兩兩垂直，且DB=DC=DA=2，E為BC的中點．
(1)證明：AE⊥BC；
(2)求直線AE與DC所成角的余弦值．
20.(本小題12分)
已知AB,CD是過拋物線y2=8x焦點F且互相垂直的兩弦，
(1)若直線AB的傾斜角為45°，求CD弦長；
(2)求1AF?BF+1CF?DF的值．
21.(本小題12分)
已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．
(1)求證：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．
22.(本小題12分)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為 22，一個焦點F1與拋物線y2=?4 2x的焦點重合．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l:y=kx+m交C于A,B兩點，直線F1A與F1B關(guān)于x軸對稱，證明：直線l恒過一定點．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，即可得到傾斜角．
【詳解】因為直線l的方程為 3x?y?2=0，則斜率k= 3，
且k=tanθ= 3，θ∈0,π，所以θ=π3．
故選：B
2.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查兩直線位置關(guān)系的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意兩直線平行的性質(zhì)的合理運用．
利用兩直線平行的等價條件即可求解．
【解答】
解：因為直線ax?2y?1=0和直線2y?3x+b=0平行，
所以a=3,b≠1，
故直線y=ax+b為y=3x+b與直線y=3x+1平行，
故選：B
3.【答案】C
【解析】【分析】方程配方后得x+k2+y?22=6?k，根據(jù)圓的半徑大于0求解．
【詳解】由方程x2+y2+2kx?4y+k2+k?2=0可得x+k2+y?22=6?k，
所以當r= 6?k>0時表示圓，解得k0,b>0，焦距為2c，
∵雙曲線C的一個焦點F(5,0)，且漸近線方程為y=±43x，
∴c=5ba=43a2+b2=c2，解得a=3b=4c=5,
∴雙曲線的標準方程為x29?y216=1，A對；
∴其離心率為e=ca=53，B錯；
焦點到漸近線的距離d=4×5 32+42=4，C錯；
準線方程為x=±a2c=±95，則兩準線間的距離為185，D對；
故選：AD．
本題主要考查雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)，屬于基礎題．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本題考查了三角形重心坐標公式的應用，考查了數(shù)學閱讀能力和數(shù)學運算能力，屬于中檔題．
設頂點C的坐標為(x,y)，根據(jù)三角形重心坐標公式進行求解判斷即可．
【解答】
解：設頂點C的坐標為(x,y)，所以重心坐標為(?2+x3,2+y3)，
因為歐拉線方程為x?y+1=0，所以?2+x3?2+y3+1=0?x?y=1．
A：當頂點C的坐標為2,0時，顯然不滿足x?y=1；
B：當頂點C的坐標為1,0時，顯然滿足x?y=1；
C：當頂點C的坐標為0,?1時，顯然滿足x?y=1；
D：當頂點C的坐標為0,?2時，顯然不滿足x?y=1，
故選：BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
由等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，得公差d>0，由a7=3a5，得a1+3d=0，從而a4=0，a10，得a5>0，則S7=7a4=0，S8=4a5>0，可得Sn>0時n的最小值為8．
【解答】
解：因為an是遞增數(shù)列，所以d>0．
因為a7=3a5，所以a5+2d=3a5，所以d=a5，
所以a1=a5?4d=?3d0，
S7=7a1+a72=7a4=0，故D正確．
故選 ABD．
13.【答案】12a?32b+12c
【解析】【分析】
本題考查空間向量線性運算，屬于基礎題．
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得BE=12BP+BD，而BD=BA+BC=(PA?PB)+(PC?PB)，即可求得BE的結(jié)果．
【解答】
解：BE=12(BP+BD)
=?12PB+12(BA+BC)
=?12PB+12BA+12BC
=?12PB+12(PA?PB)+12(PC?PB)
=?32PB+12PA+12PC
=12a?32b+12c．
故答案為12a?32b+12c．
14.【答案】1 或 13
【解析】【分析】由雙曲線的方程、漸近線的方程求出a，由雙曲線的定義求出|PF2|.
【詳解】由題知雙曲線C:x2a2?y24=1的一條漸近線方程為2x+3y=0，
即y=?23x，則ba=23，
又b=2,∴a=3，
由雙曲線的定義得，PF1?PF2=2a=6,
∵PF1=7，
∴PF2=1或PF2=13．
故答案為1或13
本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，由雙曲線的方程、漸近線的方程求出a是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】4
【解析】【分析】根據(jù)直線AF的傾斜角為120°得到∠AFO=60°，列出方程，求出A點縱坐標，進而求出P點縱坐標，代入拋物線方程求出P點橫坐標，從而利用焦半徑求出答案．
【詳解】拋物線的焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x=?1.因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO=60°，又tan60°=yA1?(?1)，所以yA=2 3.因為PA⊥l，所以yP=yA=2 3，代入y2=4x，得：xP=3，所以|PF|=|PA|=3?(?1)=4．
故答案為：4
16.【答案】 33
【解析】【分析】由題意可得AF1=4c 3,AF2=2 3c3，結(jié)合橢圓的定義計算即可求解．
【詳解】由題意知，?F1AB為正三角形，且F1F2⊥AB，
則∠AF1F2=30°,∠F1AF2=60°，
所以AF1=F1F2sin∠F1AF2=2c 32=4c 3，
AF2=F1F2tan∠AF1F2=2c? 33=2 3c3，
由橢圓的定義知AF1+AF2=2a，
即4c 3+2 3c3=2a，解得e=ca= 33．
故答案為： 33．
17.【答案】(1)
∵數(shù)列 Sn等差數(shù)列，設公差為d1= S2? S1= a2+a1? a1= a1，
∴ Sn= a1+(n?1) a1=n a1，(n∈N?)，
∴Sn=a1n2，(n∈N?)，
∴當n≥2時，an=Sn?Sn?1=a1n2?a1n?12=2a1n?a1，
當n=1時，2a1×1?a1=a1，滿足an=2a1n?a1，
∴an的通項公式為an=2a1n?a1，(n∈N?)，
∴an?an?1=2a1n?a1?2a1n?1?a1=2a1，
∴an是等差數(shù)列，
(2)
由2S3=3S2+6可得2a1+a2+a3=3a1+a2+6，化簡得2a3=a1+a2+6，
即2a1+2d=2a1+d+6，解得d=2．

【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合Sn與an之間的有關(guān)系進行運算證明即可；
(2)根據(jù)等差數(shù)列的前n項和定義和通項公式進行求解即可．
18.【答案】(1)連接OQ，
因為切點為Q，所以PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2?OQ2，
因為PQ=2PA，
所以PQ2=4PA2，
所以OP2?OQ2=4PA2
所以x2+y2?1=4(x?2)2+4(y?1)2
化簡可得3x2+3y2?16x?8y+21=0．
(2)方程3x2+3y2?16x?8y+21=0，可化為x?832+y?432=179，
則圓心C83,43，半徑為 173，
所以CA= 83?22+43?12= 53< 173，
所以點A在圓C內(nèi)，
所以PAmin= 173? 53，
因為PQ=2PA，
所以線段PQ長的最小值2 173? 53；
(3)⊙P半徑取最小值時，直線OC與圓C相交的交點為所求，
因為C83,43，所以直線OC的方程為y=12x，
代入3x2+3y2?16x?8y+21=0，可得15x2?80x+84=0，
解得x=80± 802?4×15×8430=40±2 8515，
所以當x=40?2 8515時，⊙P半徑取最小值，
此時P40?2 8515,20? 8515

【解析】【分析】(1)圓的切線垂直于過切點的半徑可得PQ⊥OQ，由勾股定理得PQ2=OP2?OQ2；由已知PQ=2PA，可得PQ2=4PA2，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，化簡即可得動點P的軌跡方程，
(2)將動點P的軌跡方程化為標準形式，可得圓心C和半徑，由此可得CA的長度，則點A在圓內(nèi)，可得PAmin= 173? 53，即可得線段PQ長的最小值；
(3)以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切得情形，而半徑的最小值為直線OC與圓C相交的交點即為所求．
19.【答案】解：(1)證明：AE=DE?DA=12(DB+DC)?DA,BC=DC?DB，
所以AE?BC=12DB+12DC?DA?(DC?DB)
=12DB?DC?12DB?DB+12DC?DC?12DC?DB?DA?DC+DA?DB
=0?2+2?0?0+0=0，
所以AE⊥BC．
(2)AE?DC=12DB+12DC?DA?DC
=12DB?DC+12DC?DC?DA?DC
=0+2?0
=2，
|AE|= ( 2)2+22= 6，
所以cs?AE,DC?=AE?DC|AE||DC|=2 6×2= 66，
即直線AE與DC所成角的余弦值為 66．

【解析】【分析】(1)由AE=12(DB+DC)?DA，BC=DC?DB，證明AE?BC=0即可．
(2)AE?DC=12DB+12DC?DA?DC=2，|AE|= ( 2)2+22= 6，根據(jù)cs?AE,DC?=AE?DC|AE||DC|即可求解．
本題考查了空間向量的數(shù)量積的應用，利用空間向量的數(shù)量積求異面直線所成角，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題．
20.【答案】(1)
解：由拋物線y2=8x，可得焦點為F(2,0)，
因為AB,CD是過焦點F且互相垂直的兩弦，可得直線AB,CD的斜率一定存在，
又由直線AB的斜率為kAB=tan45°=1，且AB⊥CD，可得kCD=?1，
則直線CD的方程為y=?x+2，
設C(x3,y3)，D(x4,y4)，聯(lián)立方程組y=?x+2y2=8x，整理得x2?12x+4=0，
則Δ>0，且x3+x4=12，
根據(jù)拋物線的定義，可得|CD|=CF+DF=x3+x4+4=12+4=16．
(2)
解：由直線AB,CD的斜率一定存在，
設AB的方程為y=k(x?2)，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立方程組y=kx?2y2=8x，整理得k2x2?(4k2+8)x+4k2=0且Δ=64(1+k2)>0，
可得x1+x2=4(k2+2)k2，x1x2=4，
又由拋物線的定義，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
所以AF?BF=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=16(k2+1)k2，
由CD⊥AB，設直線CD方程為y=2?xk，且C(x3,y3)，D(x4,y4)，
聯(lián)立方程組y=2?xky2=8x，整理得x2?(8k2+4)x+4=0，
同理有x3+x4=8k2+4，x3x4=4，所以CF?DF=16(k2+1)，
綜上可得1AF?BF+1CF?DF=k216(k2+1)+116(k2+1)=116．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，得到直線CD的方程為y=?x+2，結(jié)合弦長公式，即可求解；
(2)設AB的方程為y=k(x?2)，聯(lián)立方程組得到x1+x2=4(k2+2)k2，x1x2=4，結(jié)合拋物線的定義，求得AF?BF=16(k2+1)k2，同理得到CF?DF=16(k2+1)，進而求得1AF?BF+1CF?DF的值
21.【答案】以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
設正方體的棱長為a，則A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A1(a,0,a)，C1(0,a,a).
設E(0,a,e)(0≤e≤a).
(1)A1E→=(?a,a,e?a)，BD→=(?a,?a,0)，
∵A1E→?BD→=a2?a2+(e?a)·0=0，
∴A1E→⊥BD→，即A1E⊥BD；
(2)設平面A1BD，平面EBD的法向量分別為n1→=(x1,y1,z1)，n2→=(x2,y2,z2).
∵DB→=(a,a,0)，DA1→=(a,0,a)，DE→=(0,a,e)
∴n1→?DB→=0，n1→?DA1→=0，n2→?DB→=0，n1→?DE→=0．
∴ax1+ay1=0,ax1+az1=0,,ax2+ay2=0,ay2+ez2=0.
取x1=x2=1，得n1→=(1,?1,?1)，n2→=(1,?1,ae).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1→⊥n2→．
∴2?ae=0，即e=a2。
∴當E為CC1的中點時，平面A1BD⊥平面EBD．

【解析】【分析】以D為原點，DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
(1)計算A1E→?BD→=0即可證明；
(2)求出面A1BD與面EBD的法向量，根據(jù)法向量垂直計算即可．
22.【答案】(1)
由y2=?4 2x，可得F1? 2,0，
∴c= 2，又離心率為 22，
∴a=2，b2=2，
∴橢圓C的方程為x24+y22=1．
(2)
設Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=kx+mx24+y22=1，可得2k2+1x2+4mkx+2m2?4=0，
∴Δ=4mk2?42k2+12m2?4>0，可得m2

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