一、單選題
1．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式不為最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程，下列變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，以點(diǎn)為位似中心，將四邊形放大到原來的3倍，得到四邊形，若四邊形的面積為1，則四邊形的面積是（ ）
A．3B．6C．8D．9
5．如圖，在中，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
6．估計的值應(yīng)在（ ）
A．6和7之間B．7和8之間C．8和9之間D．9和10之間
7．已知關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過圓心，若，則的長度是（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，四邊形中，，點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
10．已知兩個二次根式：，將這兩個二次根式進(jìn)行如下操作：
第一次操作：將與的和記為，差記為；
第二次操作：將與的和記為，差記為；
第三次操作：將與的和記為，差記為；以此類推．
下列說法：①當(dāng)時，；②；
③（為自然數(shù)）．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題
11．化簡： ．
12．在一個布袋里裝著標(biāo)號分別為的3個小球，它們除標(biāo)號外無其他區(qū)別，從布袋中隨機(jī)摸出一個小球后不放回，將小球上的數(shù)字記為，搖勻再隨機(jī)摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為，則使二次根式的值為有理數(shù)的概率是 ．
13．某商品經(jīng)過兩次降價，每件零售價由60元降為元．已知每次降價的百分率均為，根據(jù)題意，可列方程為 ．
14．如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，，，則點(diǎn)到的距離是 ．
15．如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)．若，，則圖中陰影部分的面積是 ．
16．已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，且滿足等式，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是 ．
17．如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，將沿翻折至所在的平面內(nèi)，得相交于點(diǎn)．若，，則的長是 ．
18．如果一個三位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字均不為，且使得關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，那么稱這個三位數(shù)為該方程的“等根數(shù)”．例如：三位數(shù)是方程的“等根數(shù)”．則關(guān)于的方程的最小“等根數(shù)”是 ；如果是關(guān)于的方程的“等根數(shù)”，記，，若是整數(shù)，則滿足條件的最大值是 ．
三、解答題
19．計算：
(1)；
(2)．
20．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)用直尺和圓規(guī)，作的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（只保留作圖痕跡）．
(2)在（1）所作的圖中，若，試說明．請根據(jù)以下思路完成填空：證明：在中，，
，
平分，平分，
，___①___，
，
___②___，
，
___③___．
，
．
21．某校為了解學(xué)生每周課外閱讀情況，從七、八年級學(xué)生中各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，記錄下他們每周課外閱讀時長（小時），并對數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、描述和分析（閱讀時長記為，共分為三組：合格，中等，優(yōu)等），下面給出了部分信息：
抽取的七年級學(xué)生每周課外閱讀時長是：．
抽取的八年級學(xué)生每周課外閱讀時長屬于優(yōu)等的數(shù)據(jù)是：．
抽取的七八年級學(xué)生每周課外閱讀時長統(tǒng)計表
抽取的八年級學(xué)生每周課外閱讀時長扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)填空：______，______，______；
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個年級學(xué)生每周課外閱讀情況更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
(3)若該校七年級有800人，八年級有720人，估計兩個年級學(xué)生每周課外閱讀時間為優(yōu)等的共有多少人？
22．已知關(guān)于的方程．
(1)求證：對于任何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若三角形的一邊長為1，另外兩邊長為該方程的兩個實數(shù)根，求的取值范圍．
23．某商店準(zhǔn)備進(jìn)一種季節(jié)性小家電，每臺進(jìn)價為40元．經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為52元時，可售出180臺；銷售定價每降低1元，銷售量將增多10臺．
(1)商店若希望銷售量為260臺，則應(yīng)降價多少元？
(2)商店若希望獲利2000元，且使顧客得到實惠，則銷售定價為多少元？
24．為了滿足市民的需求，某市在一公園外圍開辟了兩條步道，如圖：①，②．經(jīng)勘測，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向300米處，點(diǎn)在點(diǎn)東北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，且在點(diǎn)的北偏東方向，米．
（參考數(shù)據(jù)：）
(1)求點(diǎn)到的距離；
(2)由于時間原因，小貝決定選擇一條較短步道鍛煉，請計算說明小貝應(yīng)該選擇步道①還是步道②？（結(jié)果精確到1米）
25．在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且．

(1)如圖1，若，求的長；
(2)如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：．
26．在中，，點(diǎn)為外一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，．
圖1 圖2 圖3
(1)如圖1，若，求的長；
(2)如圖2，若，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
(3)如圖3，在（1）的條件下，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，直接寫出此時的面積．
年級
七年級
八年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
8
方差
“優(yōu)等”所占百分比
參考答案：
1．B
【分析】由二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，可得，繼而求得答案．
【詳解】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴，
解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式有意義的條件．注意二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
2．D
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即二次根式化簡后，被開方數(shù)不含分母，并且被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)小于2，判斷即可．本題考查了最簡二次根式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A. ，是最簡二次根式，不符合題意；
B. ，是最簡二次根式，不符合題意；
C. ，是最簡二次根式，不符合題意；
D. ，不是最簡二次根式，符合題意；
故選：D．
3．C
【分析】根據(jù)配方法可直接進(jìn)行排除選項．
【詳解】解：用配方法解方程可得：；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】本題考查的是位似變換、及相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形的面積比等于相似比的平方是正確解決本題的關(guān)鍵．
由題意可知兩個多邊形的相似比為，可知兩個圖形的面積比為即可求出．
【詳解】解：以點(diǎn)為位似中心，將四邊形放大到原來的3倍，
，
四邊形的面積為1，
四邊形的面積是9，
故答案為：D．
5．A
【分析】本題考查了勾股定理，正切函數(shù)，根據(jù)，
設(shè)，則，根據(jù)，計算即可．
【詳解】∵，
∴設(shè)，
則，
∴．
故選：A．
6．C
【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，估算無理數(shù)的大小，掌握二次根式混合運(yùn)算的方法以及算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提．
根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則先計算的結(jié)果，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)的大小，進(jìn)而得出的大小即可．
【詳解】解：
，
，
，
故答案為：C．
7．B
【分析】把代入，轉(zhuǎn)化為m的方程求解即可．本題考查了方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，轉(zhuǎn)化求解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】把代入，
得，
解得，
∵，
∴，
故選：B．
8．B
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)定理，切線長定理，勾股定理，根據(jù)切線長定理，得到，根據(jù)切線性質(zhì)，得，勾股定理計算即可．
【詳解】∵是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過圓心，，
∴，，，
∴，
故選：B．
9．A
【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，延長到點(diǎn)F，使得，連接，證明，，，得到等腰直角三角形，得到，根據(jù)，解答即可．
【詳解】如圖，延長到點(diǎn)F，使得，連接，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴；
過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，
則四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故選A．
10．D
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出一般規(guī)律，熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則．
①根據(jù)題意得出，，，，然后相加即可；
②根據(jù)題意得出一般規(guī)律：，，，，求出即可；
③根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則，求出即可．
【詳解】解：①當(dāng)時，，，
，，
，，
，，
…
按照此規(guī)律：，，，，
∴，故①正確；
②，，
，，
，，
，，
…
按照此規(guī)律可得：，，，，
∴，故②正確；
③根據(jù)以上規(guī)律可知，，，
∴
，故③正確．
綜上分析可知，正確的有3個，故D正確．
故選：D．
11．
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知是解題關(guān)鍵，據(jù)此進(jìn)行化簡即可求解
【詳解】解：．
故答案為：
12．
【分析】本題考查簡單概率的計算，列表列出所有等可能結(jié)果，再根據(jù)概率公式計算即可得．
【詳解】解：所有機(jī)會均等的結(jié)果列表如下：
由列表可知一共有6種等可能結(jié)果，其中使二次根式的值為有理數(shù)有2種等可能結(jié)果，
∴使二次根式的值為有理數(shù)的概率，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中的增長率問題，正確理解增長率是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)題意，得，
故答案為：．
14．
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作于H點(diǎn)，過點(diǎn)E作于G點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再證明，即可求解．
【詳解】解：
過點(diǎn)A作于H點(diǎn)，過點(diǎn)E作于G點(diǎn)，
在中，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
．
故答案為：
15．
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、扇形的面積公式，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件可得，再根據(jù)即可求解．
【詳解】解：連接，
在矩形中，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，
∴，
∴
，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查了分類思想，二次根式有意義的條件，整數(shù)解的意義，分類計算求解，結(jié)合有意義的條件，計算確定m的值，后求和即可．
【詳解】∵，
∴，
解得；
∵ m是整數(shù)，
故，
當(dāng)時，即，方程變形為，
解得，是整數(shù)解，符合題意，
故；
當(dāng)時，∵，
∴，
解得，，
∵ 方程的根都是整數(shù)，，
∴，
綜上所述，符合題意的m值為，
∴，
故答案為：．
17．
【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，三角形相似計算即可．
【詳解】∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
則，，
∴，
∴，
解得，
故答案為：．
18．
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，根據(jù)“等根數(shù)”的定義計算即可求解，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是方程的“等根數(shù)”，
∴，
∴，
即，
∵為最小“等根數(shù)”，
∴，，
∴，
∴最小“等根數(shù)”為，
故答案為：；
∵，
∴，
∵是整數(shù)，
∴是整數(shù)，
∴當(dāng)時，或，此時或，
∵，
∴不符，舍去；
當(dāng)時，或，此時或，
由可得，不符，舍去，
∴，
∴，
∴，，，
∴的最大值是，
故答案為：．
19．(1)
(2)
【分析】本題考查了整式的乘除計算，特殊角的三角函數(shù)混合運(yùn)算．
（1）根據(jù)平方差公式，完全平方公式計算即可．
（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡計算即可．
【詳解】（1）
．
（2）
．
20．(1)見解析
(2)；；
【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．
（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟畫圖即可．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，角的平分線證明即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，畫圖如下：
則即為所求．
（2）證明：在中，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
，
．
故答案為：；；．
21．(1)8；；30
(2)八年級，見解析
(3)680人
【分析】(1)根據(jù)眾數(shù)的定義（眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)）和中位數(shù)的定義（將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）即可得，利用山頂統(tǒng)計圖的意義，得到，確定m值即可．
(2)根據(jù)統(tǒng)計特征量比較，說明即可．
(3)利用人，人，求和即可．本題考查了扇形統(tǒng)計圖，圓心角的計算，中位數(shù)，眾數(shù)的計算，樣本估計總體，熟練掌握相應(yīng)知識是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵抽取的七年級學(xué)生每周課外閱讀時長是：．
∴中位數(shù)是，
故；
∵
∴中等的人數(shù)為：(人), 合格的人數(shù)為：(人), ，．
故8出現(xiàn)的次數(shù)最多，4次，
故，
故答案為：8；；30．
（2）八年級的更好些，理由是：平均數(shù)相同，但八年級的優(yōu)等率高．
（3）根據(jù)題意，得人，人，
故(人),
答：兩個年級學(xué)生每周課外閱讀時間為優(yōu)等的共有680人．
22．(1)見詳解
(2)
【分析】本題主要考查利用根的判別式判斷一元二次方程實數(shù)根的情況、三角形的三邊關(guān)系：
（1）直接利用即可求證；
（2）先求得該方程的兩根，然后利用三角形的三邊關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）解：
∵
∴對于任何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根.
（2）解：
，
∴.
23．(1)應(yīng)降價8元；
(2)售價為50元．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．
（1）設(shè)每個小家電銷售定價為x元，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）根據(jù)題意即可列出一元二次方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)每個小家電銷售定價為x元，
則銷量為（個），
依題意得，
解得，
，
答：應(yīng)降價8元；
（2）解：由題意，得，
整理得：
解得，，
使顧客得到實惠，售價為50元．
24．(1)200米
(2)步道②
【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，方位角的計算．
（1）作出點(diǎn)B的正北方向，交于點(diǎn)E，根據(jù)得到，
根據(jù)，計算即可．
（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，結(jié)合，得到矩形，繼而得到．
，利用三角函數(shù)計算即可．
【詳解】（1）如圖，作出點(diǎn)B的正北方向，交于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向300米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，
∴
∴，
∵米, ，且，
∴，
答：點(diǎn)到的距離為200米．
．
（2）如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，
∵，
∴矩形．
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴步道①長為：
步道②長為：，
∵，
故選步道②．
25．(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形的特征量，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．
（1）取的中點(diǎn)M，連接，利用三角形中位線定理，勾股定理計算即可．
（2）延長到點(diǎn)N，使得，則，連接，，證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證明即可．
【詳解】（1）取的中點(diǎn)M，連接，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）延長到點(diǎn)N，使得，則，
連接，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
∴，
∴．
26．(1)
(2)，理由見解析
(3)當(dāng)取最小值時，
【分析】（1）過點(diǎn)作，可解直角三角形求得，進(jìn)而由可得，，再次解直角三角形可得，，可得，則，再利用平行線分線段成比例即可求解；
（2）過點(diǎn)作，則，設(shè)，，，利用解直角三角形和表示出、、、，再證明，可得，整理得，即可證得；
（3）由旋轉(zhuǎn)，結(jié)合（1）可知，，，取的中點(diǎn)，連接，，由三角形中位線定理可得，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半可知，，則為等邊三角形，由三角形三邊關(guān)系可知：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時取最小值，如圖，當(dāng)取最小值時，過點(diǎn)作，可得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，則，，
∴，則，
又∵，則，
∴，即：，
∴；
（2），理由如下：
過點(diǎn)作，則，
設(shè)，，，
則，，
，，
∵，
∴，，則，
∵，
∴，
∴，即：，
整理得：，即：，
∴，即：；
（3）由旋轉(zhuǎn)，結(jié)合（1）可知，，，
取的中點(diǎn)，連接，，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，，
∴，則為等邊三角形，
由三角形三邊關(guān)系可知：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時取最小值，如下圖，
當(dāng)取最小值時，過點(diǎn)作，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
此時，，
綜上，當(dāng)取最小值時，．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半等知識點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
b
a
1
2
3
1
2
3

相關(guān)試卷

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