一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復數(shù)，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，故，
故選：D.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化簡集合A，結(jié)合交集的概念即可得解.
【詳解】因為或，，所以.
故選：C.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量平行的充要條件即可得解.
【詳解】因為，所以，所以.
故選：B.
4. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】引入中間量，利用函數(shù)的單調(diào)性，進行大小的比較.
【詳解】因為，，，所以.
故選：A
5. 已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）
A. 向左平移個單位長度B. 向左平移個單位長度
C. 向右平移個單位長度D. 向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】
【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用圖象的平移解決問題.
【詳解】，
，
故將的圖象向右平移個單位長度可得，即為的圖象.
故選：C
6. 拋物線的焦點為F，M是拋物線上的點，為坐標原點，若的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓的面積為，則（ ）
A. 4B. 8C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】綜合應(yīng)用三角形外接圓的性質(zhì)和拋物線的性質(zhì)即得答案.
【詳解】因為的外接圓與拋物線的準線相切，
所以的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑.
因為圓的面積為，所以圓的半徑為6，
又因為圓心在的垂直平分線上，，
所以的外接圓的圓心到準線的距離，可得.
故選：B.
7. 已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)確定球心位置，再求出球半徑即得.
【詳解】在三棱錐中，平面，
由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，
則，令三棱錐外接球的球心為，球半徑為，
則平面，即有，顯然球心在線段的中垂面上，令線段的中垂面交于，
則，顯然，于是，四邊形是平行四邊形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱錐外接球的表面積.
故選：C
8. 在數(shù)列中，，且，當時，，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)遞推關(guān)系得到，把條件轉(zhuǎn)化為，從而可得答案.
【詳解】因為，，所以，且當時，，
所以，所以，
所以.
因為，
所以，所以，故.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最小值為2
C. 若，則最大值為2
D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法比較大小判斷A，利用基本（均值）不等式判斷BCD，要注意“一正二定三相等”.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以，故A正確；
因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；
因為，所以，故C錯誤；
因為，
當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.
故選：AD
10. 《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時辰養(yǎng)生法認為：子時（23點到次日凌晨1點）的睡眠對一天至關(guān)重要.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個.如下表：
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）
A. 早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高
B. 早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85
C. 晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66
D. 早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小
【答案】BD
【解析】
【分析】由樣本數(shù)據(jù)可判斷A；樣本數(shù)據(jù)的集中程度可判斷D；由眾數(shù)的概念可判斷B；由百分位數(shù)的概念可判斷C.
【詳解】因為早睡群體的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯誤；
因為早睡群體的睡眠指數(shù)的10個樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；
因為晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為，所以C錯誤；
由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.
故選：BD.
11. 已知點，，動點在圓：上，則（ ）
A. 直線截圓所得的弦長為
B. 的面積的最大值為15
C. 滿足到直線的距離為的點位置共有3個
D. 的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理即可求解弦長判斷A，根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)圓上的點到直線的距離的范圍，即可求解C，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算量，結(jié)合坐標運算即可求解D.
【詳解】對于A，因為，，所以直線的方程為，圓心到直線的距離為，又因為圓的半徑，
所以直線截圓所得的弦長為，A錯誤．
對于B，易知，要想的面積最大，只需點到直線的距離最大，而點到直線的距離的最大值為，
所以的面積的最大值為，B正確．
對于C，當點在直線上方時，點到直線的距離的范圍是，即，由對稱性可知，此時滿足到直線的距離為的點位置有2個．
當點在直線下方時，點到直線的距離的范圍是，即，此時滿足到直線的距離為的點位置只有1個．
綜上所述，滿足到直線的距離為的點位置共有3個，C正確．
對于D，由題意知．
又因為，，，所以，，
故，．
設(shè)點滿足，
則，故解得即，．
所以．
又因為，
所以，即取值范圍為，，D正確．
故選：BCD
12. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù).則（ ）
A. B.
C. 是與的等差中項D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，可推出的周期為4，由是奇函數(shù)可推出，通過賦值及函數(shù)的周期性可逐個判斷各個選項.
【詳解】因為，
所以，
兩式相減得，
所以的周期為4.
因為是奇函數(shù)，
所以，所以，
即，
令，得.
因為，
令，得，
所以，即.
因為，
令，得，
所以，
所以，
所以，故A正確.
因為，
所以，即，所以.
因為，，所以B錯誤.
因為，，
所以，
所以是與的等差中項，故C正確.
因為，
所以，故D正確
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過其奇偶性得到其周期性，再結(jié)合等差中項的含義以及賦值法一一分析選項即可.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸，
可得，得，
故答案為：-2
14. 如圖，在長方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用直線的平移，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形求角.
【詳解】連接，交于點，取的中點，連接，.
因為，所以與所成的角為（或其補角）.
令，在中，由，，得.
又，，，
由余弦定理得，解得，所以.
故答案為：
15. 某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有_________種.
【答案】60
【解析】
【分析】先選菜品，再選飲品，結(jié)合分步計數(shù)原理可得答案.
【詳解】由題意可知涼菜選擇方案共有種，飲品選擇方案共有種，
因此該套餐的供餐方案共有種.
故答案為：60
16. 法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則的離心率為_________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)蒙日圓的定義得出點一定在其蒙日圓上，從而可得離心率.
【詳解】由題意可知點一定在其蒙日圓上，所以，
所以，故橢圓的離心率為.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列的前項和滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，從而得出數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出結(jié)果；
（2）由（1）得出，從而得出，再利用裂項相消法即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，所以當時，，
當時，，兩式相減得，又，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則.
【小問2詳解】
因為，
所以，
所以.
18. 已知某公司生產(chǎn)的風干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.
（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；
（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）2001
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出的值，再結(jié)合二項分布的概率計算，即可得答案；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出的值，確定，結(jié)合正態(tài)分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，
所以，
則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.
【小問2詳解】
因為，所以，
依題意可得，所以，
因為，所以，
又為正整數(shù)，所以的最小值為2001.
19. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）作角A的平分線與交于點，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進行分割化簡得，再運用余弦定理解方程即得.
【小問1詳解】
因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，則有，即，
因，故.
【小問2詳解】
因為為角平分線，所以，
所以.
因，，，則，
即，所以.
又由余弦定理可得：，
把，分別代入化簡得：，
解得：或（舍去），所以.
20. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，垂足為，為的中點，平面．
（1）證明：；
（2）若，，與平面所成的角為60°，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線線平行可得面面平行，進而根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，線線垂直可求證線面垂直，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可求證，
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
證明：取的中點，連接，，，因為為的中點，所以．
又平面，平面，所以平面．
因為平面，，平面，
所以平面平面．
因為平面平面，平面平面，所以．
因為，所以．
由平面，平面，可得．
又，平面,所以平面，平面,
從而．
因為是的中垂線，所以．
【小問2詳解】
因為平面，所以與平面所成的角為，
又，,，所以．
作，垂足為，分別以，，的方向為，，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
，，．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得．
所以，即平面與平面夾角的余弦值為．
21. 已知雙曲線的離心率為，且其焦點到漸近線的距離為1.
（1）求的方程；
（2）若動直線與恰有1個公共點，且與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由點到直線的距離公式、離心率公式以及平方關(guān)系再結(jié)合已知即可求解.
（2）當直線的斜率存在時，不妨設(shè)，且.動直線與相切可得即，再由弦長公式、點到直線的距離公式表示出三角形面積，結(jié)合即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)右焦點為，一條漸近線方程為，
所以該焦點到漸近線的距離為.
因為，所以.
故的方程為.
【小問2詳解】
當直線的斜率不存在時，的方程為，此時.
當直線的斜率存在時，不妨設(shè)，且.
聯(lián)立方程組得.
由，得.
聯(lián)立方程組，得.
不妨設(shè)與的交點分別為，則.
同理可求，所以.
因為原點到的距離，所以.
因為，所以.
故的面積為定值，定值為.
22 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性.
（2）是否存在兩個正整數(shù)，，使得當時，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）答案見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）求得，分 ，討論的單調(diào)性.
（2）將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的值域確定，分別就分析是否滿足題意.
【小問1詳解】
，
當時，，在上單調(diào)遞減.
當時，令，得.
，，則在上單調(diào)遞增，
，，則在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
由（1）知，令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.
因為，所以，即，
即，
因為，為正整數(shù)，所以.
當時，，
因為，，所以，這與矛盾，不符合題意.
當時，因，，所以，
所以，得，即.
經(jīng)檢驗，當，時，不符合題意，
當，時，符合題意，
當，時，因為，所以，
當時，，，
所以.
綜上，僅存在，滿足條件.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵點在于根據(jù)的值域確定的范圍，再根據(jù)為正整數(shù)得，從而就的取值討論即可.
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
早睡群體睡眠指數(shù)
65
68
75
85
85
85
88
92
92
95
晚睡群體睡眠指數(shù)
35
40
55
55
55
66
68
74
82
90

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