一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的）
1．下列各式中正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1 C．＝2a+1 D．a(chǎn)（a﹣3）＝a2﹣3a
2．小明為了解本班同學一周的課外閱讀量，隨機抽取班上15名同學進行調查，并將調查結果繪制成折線統(tǒng)計圖（如圖），則下列說法正確的是（ ）
A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2
B．眾數(shù)是1，平均數(shù)是2
C．中位數(shù)是2，眾數(shù)是2
D．中位數(shù)是3，平均數(shù)是2.5
3．現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖擺放的一副學生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB與DE相交于點G，當EF∥BC時，∠EGB的度數(shù)是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
5．如圖，菱形ABCD的邊長為13，對角線AC＝24，點E、F分別是邊CD、BC的中點，連接EF并延長與AB的延長線相交于點G，則EG＝（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
6．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．1﹣ B． C．2﹣ D．1+
7．如圖，函數(shù)y1＝x+1與函數(shù)y2＝的圖象相交于點M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．如圖2是圖1長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝a2，S左＝a2+a，則S俯＝（ ）
A．a(chǎn)2+a B．2a2 C．a(chǎn)2+2a+1 D．2a2+a
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
9．分解因式：3a2﹣6a+3＝ ．
10．若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是 ．
11．有三張大小、形狀完全相同的卡片．卡片上分別寫有數(shù)字4、5、6，從這三張卡片中隨機先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 ．
12．我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。娩徣ヤ忂@木材，鋸口深ED＝1寸，鋸道長AB＝1尺（1尺＝10寸）．問這根圓形木材的直徑是 寸．
13．如圖，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點B逆時針旋轉90°后得到△A1O1B，則點A1的坐標是 ．
14．如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N，作直線MN交AC點D；以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，此時射線BP恰好經(jīng)過點D，則∠A＝ 度．
15．《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某興趣小組閱讀四大名著的人數(shù)，同時滿足以下三個條件：
（1）閱讀過《西游記》的人數(shù)多于閱讀過《水滸傳》的人數(shù)；
（2）閱讀過《水滸傳》的人數(shù)多于閱讀過《三國演義》的人數(shù)；
（3）閱讀過《三國演義》的人數(shù)的2倍多于閱讀過《西游記》的人數(shù)．
若閱讀過《三國演義》的人數(shù)為4，則閱讀過《水滸傳》的人數(shù)的最大值為 ．
16．2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為 ．
三、解答題（本題共有6個小題，每小題6分，共36分）
17．（6分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1：2的△A2B2C2．
18．（6分）解不等式組：．
19．（6分）先化簡，再求值：（+）÷，其中a＝．
20．（6分）在“抗擊疫情”期間，某學校工會號召廣大教師積極開展了“獻愛心捐款”活動，學校擬用這筆捐款購買A、B兩種防疫物品．如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1140元；如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元．
（1）求A、B兩種防疫物品每件各多少元；
（2）現(xiàn)要購買A、B兩種防疫物品共600件，總費用不超過7000元，那么A種防疫物品最多購買多少件？
21．（6分）如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F．求證：FA＝AB．
22．（6分）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：
未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數(shù)分布表：
使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數(shù)分布表：
（1）計算未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量和使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量；
（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少立方米水？（一年按365天計算）
四、解答題（本題共4道題，其中23、24題每題8分，25、26題每題10分，共36分）
23．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）連接DE，若∠A＝30°，求．
24．（8分）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數(shù)關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小麗與小明出發(fā) min相遇；
（2）在步行過程中，若小明先到達甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計算出點C的坐標，并解釋點C的實際意義．
25．（10分）在綜合與實踐活動中，活動小組的同學看到網(wǎng)上購鞋的鞋號（為正整數(shù)）與腳長（毫米）的對應關系如表1：
為了方便對問題的研究，活動小組將表1中的數(shù)據(jù)進行了編號，并對腳長的數(shù)據(jù)bn定義為[bn]如表2：
定義：對于任意正整數(shù)m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，則m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通過觀察表2，猜想出an與序號n之間的關系式，[bn]與序號n之間的關系式；
（2）用含an的代數(shù)式表示[bn]；計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍；
（3）若腳長為271毫米，那么應購鞋的鞋號為多大？
26．（10分）如圖（1）放置兩個全等的含有30°角的直角三角板ABC與DEF（∠B＝∠E＝30°），若將三角板ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動（點C與點E重合時移動終止），移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線上，如圖（2），AB與DF、DE分別交于點P、M，AC與DE交于點Q，其中AC＝DF＝，設三角板ABC移動時間為x秒．
（1）在移動過程中，試用含x的代數(shù)式表示△AMQ的面積；
（2）計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？
參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的）
1．下列各式中正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a2＝a6B．3ab﹣2ab＝1
C．＝2a+1D．a(chǎn)（a﹣3）＝a2﹣3a
【知識考點】合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；單項式乘多項式．
【思路分析】利用整式的計算法則對四個選項一一驗證即可得出答案．
【解答過程】解：A、a3?a2＝a5，所以A錯誤；
B、3ab﹣2ab＝ab，所以B錯誤；
C、，所以C錯誤；
D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正確；
故選：D．
【總結歸納】本題考查整式乘除法的簡單計算，注意區(qū)分同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，而冪的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，這兩個要區(qū)分清楚；合并同類項的時候字母部分不變，系數(shù)進行計算，只有當系數(shù)計算結果為0時，整體為0．
2．小明為了解本班同學一周的課外閱讀量，隨機抽取班上15名同學進行調查，并將調查結果繪制成折線統(tǒng)計圖（如圖），則下列說法正確的是（ ）
A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2
B．眾數(shù)是1，平均數(shù)是2
C．中位數(shù)是2，眾數(shù)是2
D．中位數(shù)是3，平均數(shù)是2.5
【知識考點】折線統(tǒng)計圖；加權平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【思路分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，求出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，即可做出判斷．
【解答過程】解：15名同學一周的課外閱讀量為0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
處在中間位置的一個數(shù)為2，因此中位數(shù)為2；
平均數(shù)為（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2；
眾數(shù)為2；
故選：C．
【總結歸納】此題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，熟練掌握各自的求法是解本題的關鍵．
3．現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【知識考點】三角形三邊關系；列表法與樹狀圖法．
【思路分析】畫出樹狀圖，找出所有的可能情況數(shù)以及能構成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【解答過程】解：畫樹狀圖如圖：
共有24個等可能的結果，能組成三角形的結果有12個，
∴能構成三角形的概率為＝，
故選：B．
【總結歸納】本題考查了列表法與樹狀圖法以及三角形的三邊關系；如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）＝．
4．如圖擺放的一副學生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB與DE相交于點G，當EF∥BC時，∠EGB的度數(shù)是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
【知識考點】平行線的性質．
【思路分析】過點G作HG∥BC∥EF，則有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因為△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答過程】解：過點G作HG∥BC，
∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°
故∠EGB的度數(shù)是105°，
故選：D．
【總結歸納】本題主要考查了平行線的性質和三角形內角和定理，其中平行線的性質為：兩直線平行，內錯角相等；三角形內角和定理為：三角形的內角和為180°；其中正確作出輔助線是解本題的關鍵．
5．如圖，菱形ABCD的邊長為13，對角線AC＝24，點E、F分別是邊CD、BC的中點，連接EF并延長與AB的延長線相交于點G，則EG＝（ ）
A．13B．10C．12D．5
【知識考點】三角形中位線定理；菱形的性質．
【思路分析】連接對角線BD，交AC于點O，證四邊形BDEG是平行四邊形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的長，BD＝2OD，即可求出EG．
【解答過程】解：連接BD，交AC于點O，如圖：
∵菱形ABCD的邊長為13，點E、F分別是邊CD、BC的中點，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的對角線，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，
∴四邊形BDEG是平行四邊形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故選：B．
【總結歸納】本題主要考查了菱形的性質，平行四邊形的判定與性質及勾股定理等知識；熟練掌握菱形、平行四邊形的性質和勾股定理是解題的關鍵．
6．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．1﹣B．
C．2﹣D．1+
【知識考點】等腰直角三角形；切線的性質；扇形面積的計算．
【思路分析】連接CD，利用切線的性質和等腰直角三角形的性質求出CD的值，再分別計算出扇形ECF的面積和等腰三角形ACB的面積，用三角形的面積減去扇形的面積即可得到陰影部分的面積．
【解答過程】解：連接CD，如圖，
∵AB是圓C的切線，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝×＝2，
∴CD＝AB＝1，
∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S扇形ECF
＝××﹣
＝1﹣．
故選：A．
【總結歸納】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了扇形的面積和等腰直角三角形的性質．
7．如圖，函數(shù)y1＝x+1與函數(shù)y2＝的圖象相交于點M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，則x的取值范圍是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1
【知識考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
【思路分析】觀察函數(shù)y1＝x+1與函數(shù)的圖象，即可得出當y1＞y2時，相應的自變量x的取值范圍．
【解答過程】解：由一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象可知，當一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象之上時，所對應的x的取值范圍為﹣2＜x＜0或x＞1，
故答案為：﹣2＜x＜0或x＞1．
故選：D．
【總結歸納】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，能利用數(shù)形結合求出不等式的解集是解答此題的關鍵．
8．如圖2是圖1長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝a2，S左＝a2+a，則S俯＝（ ）
A．a(chǎn)2+aB．2a2C．a(chǎn)2+2a+1D．2a2+a
【知識考點】幾何體的表面積；由三視圖判斷幾何體．
【思路分析】由主視圖和左視圖的寬為a，結合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，即可得出結論．
【解答過程】解：∵，
∴俯視圖的長為a+1，寬為a，
∴，
故選：A．
【總結歸納】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖與幾何體的長、寬、高的關系，進而求得俯視圖的長和寬是解答的關鍵．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
9．分解因式：3a2﹣6a+3＝ ．
【知識考點】提公因式法與公式法的綜合運用．
【思路分析】首先提取公因式3，進而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答過程】解：原式＝3（a2﹣2a+1）＝3（a﹣1）2．
故答案為：3（a﹣1）2．
【總結歸納】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用乘法公式是解題關鍵．
10．若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是 ．
【知識考點】拋物線與x軸的交點．
【思路分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，可知判別式△＞0，列出不等式并解之即可求出k的取值范圍．
【解答過程】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+k的圖象與x軸有兩個交點，
∴△＝4﹣4×（﹣1）?k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案為：k＞﹣1．
【總結歸納】本題考查二次函數(shù)的判別式、解一元一次不等式，熟記二次函數(shù)的圖象與判別式的三種對應關系并熟練運用是解答的關鍵．
11．有三張大小、形狀完全相同的卡片．卡片上分別寫有數(shù)字4、5、6，從這三張卡片中隨機先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 ．
【知識考點】列表法與樹狀圖法．
【思路分析】列表得出所有情況，看取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況數(shù)占所有情況數(shù)的多少即可．
【解答過程】解：列表得：
共有6種情況，取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況數(shù)為4種，
∴兩次抽出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為．
故答案為：．
【總結歸納】本題考查了列表法與列樹狀圖法以及概率公式；得到取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況數(shù)是解決本題的關鍵；用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
12．我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。娩徣ヤ忂@木材，鋸口深ED＝1寸，鋸道長AB＝1尺（1尺＝10寸）．問這根圓形木材的直徑是 寸．
【知識考點】數(shù)學常識；垂徑定理的應用．
【思路分析】根據(jù)題意可得OE⊥AB，由垂徑定理可得尺＝5寸，設半徑OA＝OE＝r，則OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑．
【解答過程】解：由題意可知OE⊥AB，
∵OE為⊙O半徑，
∴尺＝5寸，
設半徑OA＝OE＝r，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
則Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，
解得：r＝13，
∴木材直徑為26寸；
故答案為：26．
【總結歸納】本題考查垂徑定理結合勾股定理計算半徑長度．如果題干中出現(xiàn)弦的垂線或者弦的中點，則可驗證是否滿足垂徑定理；與圓有關的題目中如果求弦長或者求半徑直徑，也可以從題中尋找是否有垂徑定理，然后構造直角三角形，用勾股定理求解．
13．如圖，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點B逆時針旋轉90°后得到△A1O1B，則點A1的坐標是 ．
【知識考點】一次函數(shù)的性質；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；坐標與圖形變化﹣旋轉．
【思路分析】首先根據(jù)直線AB來求出點A和點B的坐標，A1的橫坐標等于OB，而縱坐標等于OB﹣OA，即可得出答案．
【解答過程】解：在中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得，解得x＝，
∴A（，0），B（0，4），
由旋轉可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝，OB＝O1B＝4，
∴∠OBO1＝90°，
∴O1B∥x軸，
∴點A1的縱坐標為OB﹣OA的長，即為4＝；
橫坐標為O1B＝OB＝4，
故點A1的坐標是（4，），
故答案為：（4，）．
【總結歸納】本題主要考查了旋轉的性質以及一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，利用基本性質結合圖形進行推理是解題的關鍵．
14．如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M、N，作直線MN交AC點D；以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，此時射線BP恰好經(jīng)過點D，則∠A＝ 度．
【知識考點】線段垂直平分線的性質；作圖—復雜作圖．
【思路分析】由作圖可得MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，根據(jù)它們的性質可得∠A＝∠ABD＝∠CBD，再根據(jù)三角形內角和定理即可得解．
【解答過程】解：由作圖可得，MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，
∴AD＝BD，，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，
∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，
即3∠A＝180°﹣84°，
∴∠A＝32°．
故答案為：32．
【總結歸納】本題考查了作圖﹣復雜作圖，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作法和角平分線的作法．
15．《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某興趣小組閱讀四大名著的人數(shù)，同時滿足以下三個條件：
（1）閱讀過《西游記》的人數(shù)多于閱讀過《水滸傳》的人數(shù)；
（2）閱讀過《水滸傳》的人數(shù)多于閱讀過《三國演義》的人數(shù)；
（3）閱讀過《三國演義》的人數(shù)的2倍多于閱讀過《西游記》的人數(shù)．
若閱讀過《三國演義》的人數(shù)為4，則閱讀過《水滸傳》的人數(shù)的最大值為 6 ．
【知識考點】一元一次不等式組的應用．
【思路分析】設閱讀過《西游記》的人數(shù)是a，閱讀過《水滸傳》的人數(shù)是b（a，b均為整數(shù)），根據(jù)給定的三個條件，即可得出關于a，b的二元一次不等式組，結合a，b均為整數(shù)即可得出b的取值范圍，再取其中最大的整數(shù)值即可得出結論．
【解答過程】解：設閱讀過《西游記》的人數(shù)是a，閱讀過《水滸傳》的人數(shù)是b（a，b均為整數(shù)），
依題意，得：，
∵a，b均為整數(shù)
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案為：6．
【總結歸納】本題考查二元一次不等式組的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出二元一次不等式組是解題的關鍵．
16．2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為 ．
【知識考點】數(shù)學常識；全等圖形；勾股定理的證明．
【思路分析】根據(jù)題意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，然后利用完全平方公式的變形求出（a+b）2即可．
【解答過程】解：由題意可得在圖1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，
圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，
∵（b﹣a）2＝3
a2﹣2ab+b2＝3，
∴15﹣2ab＝3
2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，
故答案為：27．
【總結歸納】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用，熟知完全平方式的形式是解題關鍵．
三、解答題（本題共有6個小題，每小題6分，共36分）
17．（6分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1：2的△A2B2C2．
【知識考點】作圖﹣軸對稱變換；作圖﹣位似變換．
【思路分析】（1）將△ABC的各個點關于x軸的對稱點描出，連接即可．
（2）在△ABC同側和對側分別找到2OA＝OA2，2OB＝OB2，2OC＝OC2所對應的A2，B2，C2的坐標，連接即可．
【解答過程】解：（1）由題意知：△ABC的三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
則△ABC關于x軸成軸對稱的△A1B1C1的坐標為A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），
連接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如圖所示△A1B1C1為所求；
（2）由題意知：位似中心是原點，
則分兩種情況：
第一種，△A2B2C2和△ABC在同一側
則A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
連接各點，得△A2B2C2．
第二種，△A2B2C2在△ABC的對側
A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），
連接各點，得△A2B2C2．
綜上所述：如圖所示△A2B2C2為所求；
【總結歸納】本題主要考查了位似中心、位似比和軸對稱相關知識點，正確掌握位似中心、位似比的概念及應用是解題的關鍵．
18．（6分）解不等式組：．
【知識考點】解一元一次不等式組．
【思路分析】分別解出兩個不等式的解集，然后確定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．
【解答過程】解：由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣1，
所以，不等式組的解集是﹣1＜x≤2．
【總結歸納】本題考查了不等式組的解法，關鍵是求出兩個不等式的解，然后根據(jù)口訣求出不等式組的解集．
19．（6分）先化簡，再求值：（+）÷，其中a＝．
【知識考點】分式的化簡求值．
【思路分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，代入計算即可求出值．
【解答過程】解：原式＝
＝
＝
當時，原式＝．
【總結歸納】本題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是選擇正確的計算方法，對通分、分解因式、約分等知識點熟練掌握．
20．（6分）在“抗擊疫情”期間，某學校工會號召廣大教師積極開展了“獻愛心捐款”活動，學校擬用這筆捐款購買A、B兩種防疫物品．如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1140元；如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元．
（1）求A、B兩種防疫物品每件各多少元；
（2）現(xiàn)要購買A、B兩種防疫物品共600件，總費用不超過7000元，那么A種防疫物品最多購買多少件？
【知識考點】二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用．
【思路分析】（1）設A種防疫物品每件x元，B種防疫物品每件y元，根據(jù)“如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1140元；如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購買A種防疫物品m件，則購買B種防疫物品（600﹣m）件，根據(jù)總價＝單價×購買數(shù)量結合總費用不超過7000元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整數(shù)值即可得出結論．
【解答過程】解：（1）設A種防疫物品每件x元，B種防疫物品每件y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A種防疫物品每件16元，B種防疫物品每件4元．
（2）設購買A種防疫物品m件，則購買B種防疫物品（600﹣m）件，
依題意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤383，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為383．
答：A種防疫物品最多購買383件．
【總結歸納】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
21．（6分）如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F．求證：FA＝AB．
【知識考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．
【思路分析】在證明全等時常根據(jù)已知條件，分析還缺什么條件，然后用（SAS，ASA，SSS）來證明△AFE≌△DCE，根據(jù)全等的性質再證明AF＝DC，從而證明AF＝AB．
【解答過程】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．
又∵EA＝ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF＝DC．
∴AF＝AB．
【總結歸納】本題考查平行四邊形的性質及全等三角形等知識，是比較基礎的證明題．
22．（6分）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：
未使用節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數(shù)分布表：
使用了節(jié)水龍頭20天的日用水量頻數(shù)分布表：
（1）計算未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量和使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量；
（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少立方米水？（一年按365天計算）
【知識考點】用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表；加權平均數(shù)．
【思路分析】（1）取組中值，運用加權平均數(shù)分別計算出未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量和使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量即可；
（2）先計算平均一天節(jié)水量，再乘以365即可得到結果．
【解答過程】解：（1）未使用節(jié)水龍頭20天的日平均用水量為：×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），
使用了節(jié)水龍頭20天的日平均用水量為：×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；
（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），
答：估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省47.45m3水．
【總結歸納】此題主要考查節(jié)水量的估計值的求法，考查加權平均數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
四、解答題（本題共4道題，其中23、24題每題8分，25、26題每題10分，共36分）
23．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）連接DE，若∠A＝30°，求．
【知識考點】圓周角定理；切線的判定與性質．
【思路分析】（1）連接OE，證明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出結論；
（2）連接DE，先證明△DCE∽△ECB，得出＝，易證∠ACB＝60°，由角平分線定義得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出結果．
【解答過程】（1）證明：連接OE，如圖1所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵OE＝OC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴∠BCE＝∠OEC，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠B，
又∵∠B＝90°，
∴∠AEO＝90°，
即OE⊥AE，
∵OE為⊙O的半徑，
∴AE是⊙O的切線；
（2）解：連接DE，如圖2所示：
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠B，
又∵∠DCE＝∠ECB，
∴△DCE∽△ECB，
∴＝，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，
∴＝cs∠DCE＝cs30°＝，
∴＝．
【總結歸納】本題考查了平行線的判定與性質、角平分線定義、切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)等知識；結合題意靈活運用知識點是解題關鍵．
24．（8分）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數(shù)關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小麗與小明出發(fā) min相遇；
（2）在步行過程中，若小明先到達甲地．
①求小麗和小明步行的速度各是多少？
②計算出點C的坐標，并解釋點C的實際意義．
【知識考點】一次函數(shù)的應用．
【思路分析】（1）直接從圖象獲取信息即可；
（2）①設小麗步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1，根據(jù)圖象和題意列出方程組，求解即可；
②設點C的坐標為（x，y），根據(jù)題意列出方程解出x，再根據(jù)圖象求出y即可，再結合兩人的運動過程解釋點C的意義即可．
【解答過程】解：（1）由圖象可得小麗與小明出發(fā)30min相遇，
故答案為：30；
（2）①設小麗步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1，
則，
解得：，
答：小麗步行的速度為80m/min，小明步行的速度為100m/min；
②設點C的坐標為（x，y），
則可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，
解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，
∴點C（54，4320），
點C表示：兩人出發(fā)54min時，小明到達甲地，此時兩人相距4320m．
【總結歸納】本題考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次方程的實際應用，從圖象獲取信息是解題關鍵．
25．（10分）在綜合與實踐活動中，活動小組的同學看到網(wǎng)上購鞋的鞋號（為正整數(shù)）與腳長（毫米）的對應關系如表1：
為了方便對問題的研究，活動小組將表1中的數(shù)據(jù)進行了編號，并對腳長的數(shù)據(jù)bn定義為[bn]如表2：
定義：對于任意正整數(shù)m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，則m﹣2≤bn≤m+2．
如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．
（1）通過觀察表2，猜想出an與序號n之間的關系式，[bn]與序號n之間的關系式；
（2）用含an的代數(shù)式表示[bn]；計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍；
（3）若腳長為271毫米，那么應購鞋的鞋號為多大？
【知識考點】一元一次方程的應用；一元一次不等式組的應用．
【思路分析】（1）觀察表格里的數(shù)據(jù)，可直接得出結論；
（2）把n用含有an的式子表示出來，代入[bn]＝5n+155化簡整理，再計算鞋號為42對應的n的值，代入[bn]＝5n+155求解即可；
（3）首先計算[bn]＝270，再代入[bn]＝5an+50求出an的值即可．
【解答過程】解：（1）an＝21+n；
[bn]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；
（2）由an＝21+n與[bn]＝5n+155解得：[bn]＝5an+50，
把an＝42代入an＝21+n得n＝21，
所以[b21]＝5×42+50＝260，
則：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．
答：鞋號為42的鞋適合的腳長范圍是258mm～262mm；
（3）根據(jù)[bn]＝5n+155可知[bn]能被5整除，
∵270﹣2≤271≤270+2，
∴[bn]＝270，
將[bn]＝270代入[bn]＝5an+50中得an＝44．
故應購買44號的鞋．
【總結歸納】此題主要考查了一元一次不等式組的應用，一元一次方程的應用，讀懂題意是解題的關鍵．
26．（10分）如圖（1）放置兩個全等的含有30°角的直角三角板ABC與DEF（∠B＝∠E＝30°），若將三角板ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動（點C與點E重合時移動終止），移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線上，如圖（2），AB與DF、DE分別交于點P、M，AC與DE交于點Q，其中AC＝DF＝，設三角板ABC移動時間為x秒．
（1）在移動過程中，試用含x的代數(shù)式表示△AMQ的面積；
（2）計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？
【知識考點】二次函數(shù)的最值；全等三角形的性質；含30度角的直角三角形．
【思路分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，設CF＝x，可求，，根據(jù)三角形面積公式即可求出結論；
（2）根據(jù)“S重疊＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函數(shù)關系式，通過配方求解即可．
【解答過程】解：（1）解：因為Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ為等邊三角形，
過點M作MN⊥AQ，垂足為點N．
在Rt△ABC中，，
∴EF＝BC＝3，
根據(jù)題意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，
∴，
∴，
而，
∴，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，
∴
＝＝，
所以當x＝2時，重疊部分面積最大，最大面積是．
【總結歸納】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平移變換，等邊三角形的性質和判定，解直角三角形，二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
頻數(shù)
0
4
2
4
10
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
頻數(shù)
2
6
8
4
鞋號（正整數(shù)）
22
23
24
25
26
27
…
腳長（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
序號n
1
2
3
4
5
6
…
鞋號an
22
23
24
25
26
27
…
腳長bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
腳長[bn]
160
165
170
175
180
185
…
4
5
6
4
9
10
5
9
11
6
10
11
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
頻數(shù)
0
4
2
4
10
日用水量/m3
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
頻數(shù)
2
6
8
4
鞋號（正整數(shù)）
22
23
24
25
26
27
…
腳長（毫米）
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
序號n
1
2
3
4
5
6
…
鞋號an
22
23
24
25
26
27
…
腳長bn
160±2
165±2
170±2
175±2
180±2
185±2
…
腳長[bn]
160
165
170
175
180
185
…

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