注意事項(xiàng)：
1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．在空間直角坐標(biāo)系中，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
3．下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B． C． D．
4．圓的圓心和半徑分別為（ ）
A． B． C． D．
5．若橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．3 B．3或5 C．5或8 D．8
6．展開式中的系數(shù)為（ ）
A．45 B． C． D．
7．袋中有除顏色外完全相同的6個小球，其中4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9．下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．同時拋擲兩枚均勻的骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，則表示的隨機(jī)事件不可能是（ ）
A．第一枚擲出5點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn) B．第一枚擲出3點(diǎn)，第二枚擲出3點(diǎn)
C．第一枚擲出1點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn) D．第一枚擲出6點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn)
11．設(shè)兩條不同直線的方向向量分別是，平面的法向量是，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
12．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為是雙曲線上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若的面積為20，則 B．雙曲線的離心率為
C．的最小值為1 D．若為直角三角形，則
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．一個三層書架，分別放置語文類讀物7本，政治類讀物9本，英語類讀物8本，每本圖書各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有________種．
14．已知正方體的棱長為與相交于點(diǎn)，則的值為________．
15．某電子設(shè)備廠所用的元件由甲、乙兩家元件廠提供，根據(jù)以往的記錄，這兩個廠家的次品率分別為0.01，0.03，提供元件的份額分別為0.90，0.10．設(shè)這兩個廠家的產(chǎn)品在倉庫里是均勻混合的，且無任何區(qū)分的標(biāo)志，現(xiàn)從倉庫中隨機(jī)取出一個元件，取到的元件是次品的概率為________．
16．已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236），那么三位漸升數(shù)有________個，其中比516大的三位漸升數(shù)有________個．
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分10分）
已知兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線的斜率和傾斜角；
（Ⅱ）求直線在軸上的截距．
18．（本小題滿分12分）
已知空間向量．
（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)與的值；
（Ⅱ）若，且，求．
19．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)時，求函數(shù)的最值．
20．（本小題滿分12分）
某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．
（Ⅰ）求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；
（Ⅱ）若甲以領(lǐng)先乙時，記表示比賽結(jié)束時還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
21．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面．
（Ⅰ）求點(diǎn)到平面的距離；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
21．（本小題滿分12分）
已知拋物線過點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求證：直線過定點(diǎn)；
（Ⅲ）在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末校際聯(lián)考試題
高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9．ABD 10．ABC 11．BCD 12．BC
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．24 14． 15．0.012 16．84 10
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．解：（Ⅰ）根據(jù)題意，直線的斜率為，傾斜角為，
由兩點(diǎn)，得斜率，
則，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的斜率，則其方程為，
即，令，則直線在軸上的截距為1．
18．解：（Ⅰ）根據(jù)題意，故可設(shè)，
則解得．
（Ⅱ），且，
，解得．
，
．
19．解：（Ⅰ），
函數(shù)的最小正周期為．
令，則，
函數(shù)的對稱中心為．
（Ⅱ）令，
則，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅲ），
．
．
的最小值為，最大值為．
20．解：（Ⅰ）甲3局全勝的概率為，
乙3局全勝的概率為，
進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為．
（Ⅱ）的可能取值為1，2，
，
，
故的分布列為：
故．
21．解：由題易知兩兩垂直，
不妨以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
．
（Ⅰ）設(shè)平面的法向量為，
則即
不妨取，則，
故平面的一個法向量為，
點(diǎn)到平面的距離．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的一個法向量為，
由題意知，底面的一個法向量為，
則，
又二面角的平面角為銳角，故其余弦值為．
22．解：（Ⅰ）拋物線過點(diǎn)，
，即，
拋物線的方程為．
（Ⅱ）證明：不妨設(shè)，
聯(lián)立消去并整理得，
此時，
由韋達(dá)定理得，
，
又，
，即，
，解得或（舍），
直線的方程為，即直線過定點(diǎn)．
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，使得，
，
，
即，解得或，1
2

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