陜西省漢中市漢臺區(qū)2024屆高三上學期第四次校際聯(lián)考數(shù)學（理）試題（教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1．本試卷共4頁，答題時間120分鐘．
2．答卷前，務必將答題卡上密封線內(nèi)的各項目填寫清楚
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設全集，集合，則的值為（）
A. B. 和C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用補集的定義即可求解.
【詳解】由題知，因為，
所以，，.
故選：C
2. 已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】化簡后，得到方程與不等式，求出.
【詳解】因為為純虛數(shù)，
所以，解得.
故選：D．
3. 一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為40秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，當你到達路口時，看見黃燈的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)幾何概型運算求解即可.
【詳解】由題意可得：看見黃燈的概率為.
故選：D.
4. 已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，再由夾角公式計算可得.
【詳解】因為，且，所以，即，
所以，
設與的夾角為，則，因為，
所以，即與的夾角為.
故選：D
5. “二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關的古詩．他準備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)氣中共選出3個節(jié)氣，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）
A. 90B. 180C. 220D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)組合知識進行求解.
【詳解】小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)為.
故選：C
6. 已知則p是q的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)解分式不等式的方法，結(jié)合充分不必要條件的定義進行判斷即可.
【詳解】或，
顯然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p，
所以p是q的充分不必要條件，
故選：A
7. 在長方體中，，，，則異面直線和所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化為共面直線，再結(jié)合余弦定理求夾角即可.
【詳解】
如圖所示，在長方體中易知，即異面直線和所成角為,
由，，及勾股定理可得,
由余弦定理可得，
故選：A
8. 已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用焦點重合可得的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得答案.
【詳解】因為拋物線的焦點為，所以雙曲線的一個焦點也是，
所以，解得，即雙曲線的方程為，
其漸近線的方程為：.
故選：A.
9. 若實數(shù)滿足約束條件則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出可行域，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖所示作出可行域，當過直線和的交點即時，此時.
故選：C
10. 已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且關于點對稱，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式、對稱性進行求解即可.
【詳解】因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
所以該函數(shù)的最小正周期為，
又因為，所以有，即，
因為該函數(shù)關于點對稱，
所以，
因為，
所以令，
故選：B
11. 已知圓錐的底面半徑為4，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圓錐的軸截面、側(cè)面展開圖性質(zhì)求體高，應用圓錐體積公式求體積即可.
【詳解】設該圓錐的母線長為l，高為h，
由，得，則，
所以該圓錐的體積為．
故選：C
12. 定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用給定的性質(zhì)把函數(shù)值化成上某個數(shù)對應的函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較作答.
【詳解】因為在上的函數(shù)滿足，則，，
又，于是，
所以.
故選：D
二、填空題：本大題共4小題．
13. 函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則______.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義直接求解即可.
【詳解】.
故答案為：2
【點睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.
14. 已知為第二象限角，滿足，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】運用正、余弦的二倍角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.
【詳解】，
因為為第二象限角，所以，
因此由，
故答案為：
15. 過四點、、、中的三點的一個圓的方程為______（寫出一個即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用圓的一般式方程求過三點的圓.
【詳解】過，，時，設圓的方程為，
則，解得，
圓的方程是：，即；
同理可得：
過、、時，圓的方程是：；
過，，時，圓的方程是：；
過，，時，圓的方程是：.
故答案為：.（、、、寫其中一個即可）
16. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)法求解即可.
【詳解】定義域為，而，由已知得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，化簡得，令，由冪函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，，則.
故答案為：
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題
17. 設等差數(shù)列的前項和為，，．
（1）求的通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和為，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設出的公差為，利用等差數(shù)列通項公式和前項和公式求解即可；
（2）由（1）判斷出前六項為正，后四項為負，進而利用前項和公式求解即可.
【小問1詳解】
設等差數(shù)列的公差為，
，，，
解得，，
故.
【小問2詳解】
由（1）知，，
，，，
．
18. 大學生劉銘去某工廠實習，實習結(jié)束時從自己制作的某種零件中隨機選取了10個樣品，測量每個零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得．
（1）估算劉銘同學制作的這種零件平均每個零件的橫截面積以及平均一個零件的耗材量；
（2）求劉銘同學制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；
（3）劉銘同學測量了自己實習期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請幫劉銘計算一下他制作的零件的總耗材量的估計值．附：相關系數(shù)．
【答案】（1）平均每個零件的橫截面積為，一個零件的耗材量
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）計算出樣本中10個零件的橫截面積的平均值和耗材量的平均值，得到答案；
（2）代入相關系數(shù)公式計算出答案.
（3）根據(jù)零件的耗材量和其橫截面積近似成正比得到方程，求出答案.
【小問1詳解】
樣本中10個這種零件的橫截面積的平均值，
樣本中10個這種零件的耗材量的平均值，
由此可估算劉銘同學制作的這種零件平均每個零件的橫截面積為，
平均一個零件的耗材量為．
【小問2詳解】
，
這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關系數(shù)為.
【小問3詳解】
設這種零件的總耗材量的估計值為，
又已知這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，
，解得，
故這種零件的總耗材量的估計值為．
19. 在如圖所示幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，平面平面，且．
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理推理證明易得；
（2）通過建系，寫出相關點的坐標，分別求得兩個平面的法向量即可求得.
【小問1詳解】
四邊形是正方形，，
又平面平面平面，
又平面平面平面，
平面平面，
平面平面．
【小問2詳解】
依題意知兩兩垂直，故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設平面的一個法向量為，
則則可取，易知為平面的一個法向量，
平面與平面夾角的余弦值為．
20. 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，焦距為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的左焦點，且斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可求得橢圓的標準方程.
（2）先根據(jù)題意寫出直線的方程；再聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用韋達定理和弦長公式求出，利用點到直線距離公式求出點到直線AB的距離；最后利用三角形面積公式即可求解.
【小問1詳解】
由題意可得：焦距，離心率,
則，.
又由，得，
所以橢圓的標準方程為：．
【小問2詳解】
由（1）知：左焦點為.
則直線的方程為：.
設，，
聯(lián)立整理可得：，
則，且，.
由弦長公式得，
又因為點到直線AB的距離，
所以．
21. 已知函數(shù)．
（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；
（2）設，證明：當時，有兩個零點．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）過點的切線，切點處的導數(shù)值即為直線的斜率，用點斜式求切線方程即可；
（2）先求的導函數(shù)，借助導函數(shù)研究的單調(diào)性，進而應用零點存在性定理判斷零點個數(shù)即可.
【小問1詳解】
由題意可得，
此時，，
切線斜率為，
切線方程為，即．
【小問2詳解】
證明：，
則，令，得，
令，得，令，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
又，在上有一個零點，
又，
令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
，，
故在上有一個零點，
綜上所述，當時，有兩個零點．
（二）選考題：考生從22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為4.
（1）寫出的一個參數(shù)方程；
（2）直線與相切，且與軸和軸的正半軸分別交于，兩點，若，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程.
【答案】（1）（參數(shù)）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）由題可得的標準方程進而可得的參數(shù)方程；
（2）根據(jù)題意可得直線的斜率為，然后利用直線與圓的位置關系可得直角坐標方程，進而即得.
【小問1詳解】
由題意可知，的標準方程為，
所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
【小問2詳解】
由題意可知，直線的斜率為，設其方程為，即，
因為圓心到直線的距離為4，所以，
化解得，解得，或，
所以直線的直角坐標方程為，或，
所以直線的極坐標方程為，或.
選修4-5：不等式選講
23. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，去掉絕對值號，分，和討論，即可求得不等式的解集；
（2）求得二次函數(shù)的最大值，以及分段函數(shù)的最小值，根據(jù)恒由公共點，列出關于的不等式，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)，
當時，令，即，所以；
當時，此時恒成立，所以；
當時，令，即，所以，
所以不等式的解集為.
（2）由二次函數(shù)，
知函數(shù)在取得最大值，
因為，在處取得最小值2，
所以要是二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點.
只需，即.
【點睛】本題主要考查了含有絕對值的不等式的求解，以及二次函數(shù)與分段函數(shù)的性質(zhì)的應用，著重考查了分類討論與轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計算能力.樣本號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
零件的橫截面積
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
0.43
0.41
3.9

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