重慶市長壽區(qū)八校2023-2024學年高一上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題（B）（Word版附解析）

這是一份重慶市長壽區(qū)八校2023-2024學年高一上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題（B）（Word版附解析），共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先確定集合中元素，然后由補集定義求解．
【詳解】，又，
∴．
故選：C．
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分條件和必要條件的定義即可判斷.
【詳解】或，
，
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：B.
3. 下列命題中，正確的個數(shù)有（ ）
①；②；③著名的運動健兒能構(gòu)成集合；④；⑤?；⑥.
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用集合與集合的包含關(guān)系，元素與集合的屬于關(guān)系，集合的確定性，無序性，空集的含義及空集與集合的關(guān)系即可判斷.
【詳解】易知，故①正確；
?，故②錯誤；
著名的運動健兒，元素不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯誤；
表示有一個元素的集合，不是空集，④錯誤；
空集是任意非空集合的真子集，若為空集，⑤錯誤；
，故，故⑥正確.
故選：A
4. 設(shè)，為正數(shù)，且，記，，則（ ）
A. B.
C. D. ，大小關(guān)系不確定
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法判斷即可.
【詳解】，
∵，為正數(shù)，且，，則，
∴，
∴，
故選：C
5. 已知對一切，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，分析可得原題意等價于對一切，恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運算.
詳解】∵，，則，
∴，
又∵，且，
可得，
令，則原題意等價于對一切，恒成立，
∵的開口向下，對稱軸，
則當時，取到最大值，
故實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】結(jié)論點睛：
對，恒成立，等價于；
對，恒成立，等價于.
6. 不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由等價于，進而可求出不等式的解集.
【詳解】由題意，等價于，解得，
所以不等式的解集為.
故選：C.
【點睛】本題考查分式不等式的解集，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式先求出的值，在求出的值即可.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：B.
8. 若分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇偶性的定義求得與的表達式，然后求函數(shù)值．
【詳解】（1），則，
又分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴（2），
（1）（2）兩式相加除以2得，相減除以2得，
∴，，∴，
故選：D．
二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B.
C. 若，則或
D. 若方程有兩個不同的實數(shù)根，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】解方程可判斷A選項；求出的值，可判斷B選項；解不等式可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，當時，由，可得，
當時，由，可得.
綜上所述，若，則或，A錯；
對于B選項，，
所以，，B對；
對于C選項，當時，由，可得，解得，此時，
當時，由，可得，解得，此時，
綜上所述，若，則或，C對；
對于D選項，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
此時方程有兩個不等的實根，D對.
故選：BCD.
10. 已知，若“，使得”是假命題，則下列說法正確的是（ ）
A. 是R上非奇非偶函數(shù)，最大值為1
B. 是R上的奇函數(shù)，無最值
C. 是R上的奇函數(shù)，m有最小值1
D. 是R上的偶函數(shù)，m有最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】先求得函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的解析式可得與的關(guān)系，即可判斷奇偶性，將函數(shù)的解析式變形，求得函數(shù)的值域，從而得到的取值.
【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
又由所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).
“，使得”是假命題，
所以，使得恒成立.則只需.
根據(jù)題意，函數(shù)，變形可得，
即函數(shù)的值域為.
所以，即m有最小值1.
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)說法正確的是（ ）
A. 在區(qū)間的值域為
B. 為奇函數(shù)
C. 在區(qū)間上存在零點
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.首先函數(shù)變形為，再根據(jù)函數(shù)的定義域求值域；
B.根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可判斷；
C.根據(jù)零點存在性定理，即可判斷；
D.代入，即可求解.
【詳解】A.,，
，則，則，故A正確；
B.函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，
故B正確；
C.，，并且函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以根據(jù)零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，故C正確；
D.，故D錯誤.
故選：ABC
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的值域為
B. 點是函數(shù)圖象的一個對稱中心
C. 在區(qū)間上是增函數(shù)
D. 若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由輔助公式得，
根據(jù)正弦函數(shù)的值域判斷A；
用代入法驗證B；
由可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷C；
由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增，從而判斷D.
【詳解】解：因為，
所以函數(shù)的值域為，故A正確；
又因為，
所以點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故B正確；
當時，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在不單調(diào)，故C錯誤；
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以由，可得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，
即的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若恒成立，則的值______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根據(jù)等式恒成立，對應(yīng)項的系數(shù)相等可求得結(jié)果.
【詳解】因為，即恒成立，
所以，所以.
故答案為：5
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)等式恒成立，對應(yīng)項的系數(shù)相等求解是解題關(guān)鍵.
14. 定義在上的奇函數(shù)滿足：當，，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)求得，結(jié)合性質(zhì)即可求解.
【詳解】∵是定義在上的奇函數(shù)，
∴，則，
∴.
故答案為：
15. 函數(shù)的定義域是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．
【詳解】解：函數(shù)中，
令，
解得，
所以的定義域是，．
故答案：，．
16. 如圖，摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為.已知摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動一圈.游客在摩天輪的艙位轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙則游客進艙時他距離地面的高度為_________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)在時，距離地面的高度為，其中，根據(jù)題中條件求出、的值，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后將代入函數(shù)解析式，即可得解.
【詳解】因為摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，
設(shè)在時，距離地面的高度為，其中，
則，可得，則，
由摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)動一圈，可得，所以，
即，
當時，可得，即，
因為，解得，
所以，
令，可得.
所以，游客進艙時他距離地面的高度為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 設(shè)集合．
（1）若，；
（2）若，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.
（2）根據(jù)并集、補集、交集的知識求得正確答案.
【小問1詳解】
，所以，所以.
，解得，所以.
若，則，所以.
【小問2詳解】
或，
若，則，
所以.
18. 某兒童玩具廠生產(chǎn)的某一款益智玩具去年年銷量為2百萬件，每件銷售價格為20元，成本16元.今年計劃投入適當廣告費進行促銷.預計該款玩具的年銷售量百萬件與年廣告費用百萬元滿足，現(xiàn)已知每件玩具的銷售價為年平均每件玩具所占廣告費的與原銷售價之和.
（1）當投入廣告費為2百萬元時，要使該玩具的年利潤不少于12百萬元，求的取值范圍；
（2）若時，則當投入多少百萬元廣告費該玩具生產(chǎn)廠獲得最大利潤.
【答案】（1）；
（2）當廣告費2百萬時最大利潤為萬元.
【解析】
分析】（1）年利潤，解即可；
（2）當時，,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
當 時，銷售價為，
年利潤，解得.
【小問2詳解】
當時，
年利潤，
設(shè)，
設(shè)，
則
，
因為，所以，
所以，所以，
所以.
因為，所以，
所以在上單調(diào)遞減，
所以當時,
所以.
綜上：當廣告費2百萬時最大利潤為萬元.
19. 已知（a，b均為常數(shù)），且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對，不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由，代入函數(shù)解析式求出，得函數(shù)的解析式；
（2）不等式等價于，利用函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的值域，求實數(shù)m的取值范圍．
【小問1詳解】
由，得，即，
由，
可得解得
所以
【小問2詳解】
由，可得，
所以對，都有成立．
由于，所以在上單調(diào)遞減，且，
因此當時，，要使，則，且，
解得．
故實數(shù)m的取值范圍為．
20. 行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離稱為剎車距離，在某種路面上，經(jīng)過多次實驗測試，某種型號汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米/時，）的一些數(shù)據(jù)如表．為了描述汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米時）的關(guān)系，現(xiàn)有三種函數(shù)模型供選擇：，，．
（1）請選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）如果要求剎車距離不超過米，求行駛的最大速度．
【答案】（1）最符合實際的函數(shù)模型，，；
（2）千米/時．
【解析】
【分析】（1）結(jié)合表格數(shù)據(jù)選出最符合實際的函數(shù)模型，然后列方程組求解即可；
（2）令，結(jié)合二次不等式的解法求解，再結(jié)合，即可求出的取值范圍，即可得解．
【小問1詳解】
結(jié)合表格數(shù)據(jù)可得最符合實際的函數(shù)模型，
將，；，；，分別代入上式可得，解得，
即所求的函數(shù)解析式為，；
【小問2詳解】
令，即，解得，
又，所以，
即要求剎車距離不超過米，則行駛的最大速度為千米時．
21. 已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求函數(shù)的值域；
（2）若函數(shù)（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對稱軸以及判別式等于得出，再由基本不等式得出函數(shù)的值域；
（2）利用換元法結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性得出a的值．
【小問1詳解】
依題意得，
因為，所以，
解得，，故，，
當時，，當且僅當，即時，等號成立．
當時，，當且僅當，即時，等號成立．
故的值域為．
【小問2詳解】
，
令，則．
①當時，，因為，所以，解得．
因為，所以，解得或（舍去）．
②當時，，因為，所以，解得．
，解得或（舍去）．
綜上，a的值為或．
22. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）記關(guān)于x的方程在區(qū)間上的解從小到大依次為，試確定正整數(shù)n的值，并求的值．
【答案】（1）最大值為，最小值為；
（2），.
【解析】
【分析】（1）將代入，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)求出的范圍，即可求出函數(shù)的最大值和最小值；
（2）由方程可得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得n的值和的值.
【小問1詳解】
將代入，
得，即，
解得，，因為，所以，
所以，
當時，，
所以，所以，
所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為；
【小問2詳解】
因為，所以，
即，，
由余弦函數(shù)性質(zhì)可知，在上有4個解，
所以，即，，，0
40
60
80
0
8.4
18.6
32.8