2024北京房山區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）
A. B. C. D.
4. 的展開式中的常數(shù)項是（）
A. B. C. D.
5. 已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確是（）
A. B. C. D.
6. 已知直線與圓相切，則實數(shù)（）
A. 或B. 或C. 或D. 或
7. 已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，對于實數(shù)a，b，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 保護環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關(guān)系社會發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（）
A. B. C. D.
9. 已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為雙曲線C左支上一動點，為雙曲線C的漸近線上一動點，且最小時，與雙曲線C的另一條漸近線平行，則雙曲線C的方程可能是（）
A B.
C. D.
10. 數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由于，取3為弱率，4為強率，計算得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知，則（）
A. 8B. 7C. 6D. 5
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域是______.
12. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則______.
13. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則______.
14. 已知平面直角坐標(biāo)系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是______.
15. 如圖，在棱長為的正方體中，點是線段上的動點.給出下列結(jié)論：
①；
②平面；
③直線與直線所成角的范圍是；
④點到平面的距離是.
其中所有正確結(jié)論的序號是______.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 如圖，在四棱錐中，為等腰三角形，，，底面是正方形，，分別為棱，的中點.
（1）求證：平面；
（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求與平面所成角的正弦值.
條件①：；
條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
17. 已知函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.
（1）求的值；
（2）設(shè)，若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.
18. 某移動通訊公司為答謝用戶，在其APP上設(shè)置了簽到翻牌子贏流量活動.現(xiàn)收集了甲、乙、丙3位該公司用戶2023年12月1日至7日獲得流量（單位：MB）數(shù)據(jù)，如圖所示.
（1）從2023年12月1日至7日中任選一天，求該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率；
（2）從2023年12月1日至7日中任選兩天，設(shè)是選出的兩天中乙獲得流量大于丙獲得流量的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）將甲、乙、丙3位該公司用戶在2023年12月1日至7日獲得流量的方差分別記為，，，試比較，，的大小（只需寫出結(jié)論）.
19. 設(shè)橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為，已知，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點是橢圓上一個動點（不與頂點重合），直線交軸于點，若的面積是面積的4倍，求直線的方程.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求的取值范圍.
21. 若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.
（1）若具有性質(zhì)“”，且，，，求；
（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；
（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，，求證：具有性質(zhì)“”.房山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測試卷
高三數(shù)學(xué)
本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】計算出集合后由交集定義運算可得.
【詳解】，故.
故選：C.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法可求得的值.
【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，
因此，.
故選：A.
3. 已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先表示出，然后根據(jù)求解出的值.
【詳解】因為，，
所以，所以，
解得或（舍去），
故選：B.
4. 的展開式中的常數(shù)項是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】寫出二項式展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.
【詳解】的展開式通項為，
令，可得，
因此，展開式中的常數(shù)項為.
故選：B.
5. 已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對A、B、C舉反例即可得，對D作差計算即可得.
【詳解】對A：若，則，故錯誤；
對B：若，則，故錯誤；
對C：若，則，，左右同除，有，故錯誤；
對D：由且，為非零實數(shù)，則，即，故正確.
故選：D.
6. 已知直線與圓相切，則實數(shù)（）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可求得實數(shù)的值.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
因為直線與圓相切，則，即，解得或.
故選：D.
7. 已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，對于實數(shù)a，b，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性判斷即得.
【詳解】由函數(shù)滿足，得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，而在上單調(diào)遞減，
因此，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
8. 保護環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關(guān)系社會發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案.
【詳解】因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即所以．
再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為．
故選：A.
9. 已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為雙曲線C左支上一動點，為雙曲線C的漸近線上一動點，且最小時，與雙曲線C的另一條漸近線平行，則雙曲線C的方程可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義確定最小時，點的位置，進而求出的關(guān)系即得.
【詳解】雙曲線C：的漸近線為，由對稱性不妨令點在第二象限，
由雙曲線定義得，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線的交點時取等號，
因此的最小值為的最小值與的和，顯然當(dāng)與漸近線垂直時，
取得最小值，而平行于漸近線，于是雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即，
則雙曲線的漸近線方程為，顯然選項ABD不滿足，C滿足，
所以雙曲線C的方程可能是.
故選：C
10. 數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由于，取3為弱率，4為強率，計算得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知，則（）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意不斷計算即可解出．
【詳解】因為為強率，由可得，，即為強率；
由可得，，即為強率；
由可得，，即為強率；
由可得，，即強率；
由可得，，即為弱率，所以，
故選：B.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域是______.
【答案】
【解析】
【分析】由真數(shù)大于零及分母不等于零計算即可得.
【詳解】由題意可得、，故且，
故該函數(shù)定義域為.
故答案為：.
12. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由等差數(shù)列及其前項和的性質(zhì)計算即可得.
【詳解】設(shè)，則，
即，故.
故答案為：.
13. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
【詳解】在中，由及正弦定理，得，
則，整理得，而，
因此，又，所以.
故答案為：
14. 已知平面直角坐標(biāo)系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是______.
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，利用已知列出方程化簡即得.
【詳解】設(shè)點，依題意，，即，整理得，
所以軌跡方程是或.
故答案為：或
15. 如圖，在棱長為的正方體中，點是線段上的動點.給出下列結(jié)論：
①；
②平面；
③直線與直線所成角的范圍是；
④點到平面的距離是.
其中所有正確結(jié)論的序號是______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后逐個分析即可得.
【詳解】
以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則有、、、、、、
、，
則、、、、
、、，
設(shè)，，則，
，故，故①正確；
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，取，則，
有，故，又平面，則平面，故②正確；
當(dāng)時，有，此時，即，
即此時直線與直線所成角為，故③錯誤；
由，，
則，故④正確.
故答案為：①②④.
【點睛】關(guān)鍵點睛：對空間中線上動點問題，可設(shè)出未知數(shù)表示該動點分線段所得比例，從而用未知數(shù)的變化來體現(xiàn)動點的變化.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 如圖，在四棱錐中，為等腰三角形，，，底面是正方形，，分別為棱，的中點.
（1）求證：平面；
（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求與平面所成角的正弦值.
條件①：；
條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線面平行的判定定理即可得；
（2）選①，由題意及去推導(dǎo)得到、、兩兩垂直，即可建立空間直角坐標(biāo)系解決問題；選②，由題意及結(jié)合勾股定理的逆定理去推導(dǎo)得到、、兩兩垂直，即可建立空間直角坐標(biāo)系解決問題.
【小問1詳解】
連接點與中點、連接，又，分別為棱，的中點，
故、，又底面是正方形，
故、，故且，
故四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面；
【小問2詳解】
選條件①：，
由且為等腰三角形，故，又，
故，有，
由，，、平面，，
故平面，又平面，故，
故、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、、、，
則、、，
令平面的法向量為，
則有，即，令，則，
則，
故與平面所成角的正弦值為.
條件②：，
由且為等腰三角形，故，又，
故，有，
由，則，故，又，
故，又，、平面，，
故平面，又平面，故，
故、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、、、，
則、、，
令平面的法向量為，
則有，即，令，則，
則，
故與平面所成角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.
（1）求的值；
（2）設(shè)，若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出平移后所得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性，結(jié)合的取值范圍可求得的值；
（2）利用三角恒等變換化簡得出，由可得，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【小問1詳解】
解：將函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，
可得到函數(shù)，
由題意可知，函數(shù)為奇函數(shù)，則，
可得，又因為，則.
【小問2詳解】
解：由（1）可知，，
則，
因為，則，
由，可得，
因為在區(qū)間上有且只有一個零點，則，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
18. 某移動通訊公司為答謝用戶，在其APP上設(shè)置了簽到翻牌子贏流量活動.現(xiàn)收集了甲、乙、丙3位該公司用戶2023年12月1日至7日獲得的流量（單位：MB）數(shù)據(jù)，如圖所示.
（1）從2023年12月1日至7日中任選一天，求該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率；
（2）從2023年12月1日至7日中任選兩天，設(shè)是選出的兩天中乙獲得流量大于丙獲得流量的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）將甲、乙、丙3位該公司用戶在2023年12月1日至7日獲得流量的方差分別記為，，，試比較，，的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.
【答案】（1）
（2）的分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型計算公式進行求解即可；
（2）利用古典概型計算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進行求解即可.
（3）根據(jù)數(shù)據(jù)的集中趨勢進行判斷即可.
【小問1詳解】
由圖可知，七天中只有1日、2日乙獲得流量大于丙獲得流量，
所以該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率為；
【小問2詳解】
由（1）可知七天中只有1日、2日乙獲得流量大于丙獲得流量，
因此，
，，，
所以的分布列如下圖所示：
；
【小問3詳解】
根據(jù)圖中數(shù)據(jù)信息，甲、乙七天的數(shù)據(jù)相同，都是1個50,2個30,1個10,3個5；而且丙的的數(shù)據(jù)最分散，
所以， .
19. 設(shè)橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為，已知，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點是橢圓上的一個動點（不與頂點重合），直線交軸于點，若的面積是面積的4倍，求直線的方程.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）由題意計算即可得；
（2）設(shè)出直線，聯(lián)立曲線，得到、兩點的縱坐標(biāo)，結(jié)合面積公式計算即可得.
【小問1詳解】
由，，解得，，故，
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則、、，
由題意可得直線斜率存在且不為，設(shè)，
令，則，故，
聯(lián)立，消去得，
即，故或，
由，故，
則，
又，即，
即，
若，則，即，
即，即，則，
若，則，即，不符，故舍去，
即，故，
即直線的方程為.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）、
（3）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；
（2）當(dāng)時，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）令，分析可知，函數(shù)在上有且只有一個異號零點，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，，則，所以，，，
故當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，
，
由，即，解得或，
因此，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.
【小問3詳解】
解：因為，則，
令，因為函數(shù)在上有且只有一個極值點，
則函數(shù)在上有一個異號零點，
當(dāng)時，對任意的，，不合乎題意；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為，只需，合乎題意；
當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，
因為，只需，不合乎題意，舍去.
綜上所述，實數(shù)取值范圍是.
21. 若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.
（1）若具有性質(zhì)“”，且，，，求；
（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；
（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，，求證：具有性質(zhì)“”.
【答案】（1）
（2）不具有性質(zhì)“”，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由具有性質(zhì)“”，可得當(dāng)時，，結(jié)合題意計算即可得；
（2）由題意計算出通項公式后，檢驗是否恒等于即可得；
（3）借助既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，則當(dāng)時，有，，則有，，通過運算得到，從而可驗證對任意的時，是否有即可得.
【小問1詳解】
由具有性質(zhì)“”，則當(dāng)時，，
故，，，又，，
故，
即；
【小問2詳解】
不具有性質(zhì)“”，理由如下：
設(shè)，，由，，
即有，解得，故，，
則，有，
則，不恒等于，故不具有性質(zhì)“”；
【小問3詳解】
由既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，
即當(dāng)時，有，，
則有，，
由，故，
故，即，由，，則，
當(dāng)，即時，有，
即對任意的時，有，即具有性質(zhì)“”.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵點在于通過對數(shù)列新定義的分析，從而得到，，并由此得到，，從而得出.0
1
2

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