1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)位置．
2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效．
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答題標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆寫在答題卡上．
4．本試卷共100分，考試時(shí)間60分鐘．考試結(jié)束后，將試題和答題卡一并交回．
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意.
故選：D.
2. 已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】舉出反例得到充分性不成立，由不等式性質(zhì)得到必要性成立，得到答案.
【詳解】當(dāng)，此時(shí)滿足，，但，
充分性不成立，
當(dāng)，時(shí)，相加得，即，
必要性成立，
故是的必要不充分條件.
故選：B
3. 已知函數(shù)定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式和可得．
【詳解】由題意得：，解得：，
由，解得：，
故函數(shù)的定義域是，
故選：C.
4. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函數(shù)定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】由，解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：A.
5. 已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出函數(shù)的大致圖象，確定四個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，利用函數(shù)解析式代入所求算式化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式求取值范圍.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象的平移和翻折，
作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，

可知，，
于是，所以，
，即，所以，
于是，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的取值范圍為.
故選：C．
6. 已知，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，故求出答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，.
故選：D
7. 已知函數(shù)．若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等變換公式以及正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.
【詳解】,
若，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，
所以，解得；
若，因?yàn)椋裕?br>因在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，
所以，解得；
綜上，，
故選:D.
8. 不等式對(duì)于，恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)得對(duì)于，恒成立，通過(guò)換元求最值即可求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)于，恒成立，
所以不等式對(duì)于，恒成立，
令，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以，.
故選：A
二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的選項(xiàng)中，在多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 為第二象限角B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算求解即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】由同角三角函數(shù)平分關(guān)系可得，
，因?yàn)?，所以，解得?
因?yàn)?，所以是第二象限角，故選項(xiàng)，正確，
有同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
因?yàn)?，故選項(xiàng)正確.
故選：.
10. 下列表達(dá)式正確的是（ ）
A. 若，則
B. 在銳角中，恒成立
C.
D. ，，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)判斷A、C；由且結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷B；作差法比較大小判斷D.
【詳解】A：由題設(shè)，
又，故，錯(cuò)；
B：由題意且，則，所以，對(duì)；
C：，對(duì)；
D：由，
又，，故，故，
所以，對(duì).
故選：BCD
11. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A. 函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象
B. 函數(shù)為偶函數(shù)
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
D. 若，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】
分析】
函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，，
對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)的圖象平移可判斷；對(duì)于B，求出函數(shù)的解析式可判斷；對(duì)于C，求出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增可判斷；對(duì)于D，求出，，的周期可判斷.
【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
，；
，，，
對(duì)于A，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性，可得，可得函數(shù)是偶函數(shù)，故正確；
對(duì)于C，由于，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，?br>又因?yàn)?，的周期為?br>所以則的最小值為，故正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】本題考查了的性質(zhì).有關(guān)三角函數(shù)的題，考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，且難度不大，主要考查以下四類問(wèn)題；（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題；（2）與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題；（3）應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值及化簡(jiǎn)和等式證明的問(wèn)題；（4）與周期有關(guān)的問(wèn)題.
12. 已知，，則（ ）
A. 的最小值為4B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A,代換后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C.
【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故B正確，
，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，滿足題意，故C正確，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確
故選：BCD
三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分．把答案寫在題中橫線上）
13. 若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用求解參數(shù).
【詳解】若是偶函數(shù)，則，
即，所以,
所以，所以,所以，
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，不符合，舍去，
當(dāng)時(shí)，,定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意.
綜上所述，.
故答案為：.
14. 如圖，一個(gè)半徑為3米的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎?分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5米．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒W到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒W剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，且d與時(shí)間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系式為：_______；則d與時(shí)間t之間的關(guān)系是_________．
【答案】 ①. 且 ②. ，且
【解析】
【分析】根據(jù)題意確定關(guān)系式，再結(jié)合已知及題圖求出對(duì)應(yīng)參數(shù)，即可得d與時(shí)間t之間的關(guān)系.
【詳解】由題設(shè)，d與時(shí)間t之間的關(guān)系式為且，
筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎?分鐘轉(zhuǎn)1圈，則，可得，
筒車半徑為3米，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5米，則，，
又盛水筒W剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，在水面下則d為負(fù)數(shù)，
所以，可得，故，
所以，且.
故答案為：且；，且.
15. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的圖像變換得到解析式，由在區(qū)間上的值域?yàn)?，求解的取值范圍即?
【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，
所以.
若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>因?yàn)?，?br>再由的單調(diào)性可知.
故答案為：
16. 關(guān)于函數(shù)有下述結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為；
③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
④函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)；
⑤函數(shù)的最大值為2．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是__________．
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性的概念即可判斷①；由判斷②；
由，去掉絕對(duì)值，得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷③；
由函數(shù)是偶函數(shù)，則只需要考慮上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，，再根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷④；
由函數(shù)是偶函數(shù)，則考慮的情況即可，寫出分段函數(shù)解析式即可判斷⑤．
【詳解】解：①函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，
∴函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；
②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故最小正周期不為，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故③正確；
④∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴只需要考慮上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
此時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，為，
∴在有3個(gè)零點(diǎn)，為，故④正確；
⑤∵函數(shù)是偶函數(shù)，
∴考慮的情況即可，
當(dāng)時(shí)，，
∴的最大值為2，故⑤正確．
故答案為：①③④⑤
四、解答題（本題共5小題，共48分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 計(jì)算下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切的兩角和公式化簡(jiǎn)求值；
（2）利用正弦的兩角差公式、二倍角公式，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
.
18. 設(shè)函數(shù).
（1）求的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）；；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>令，解得，
所以的對(duì)稱軸方程為，
令，得，
可得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，，故.
19. 定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）法一：由奇函數(shù)求參數(shù)，注意驗(yàn)證是否滿足題設(shè)；法二：由奇函數(shù)性質(zhì)得到恒等式求參數(shù)即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性、奇函數(shù)性質(zhì)，將問(wèn)題化為在上有解，利用三角恒等變換及正弦型函數(shù)性質(zhì)求左側(cè)的值域，即可確定參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
法一：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得
此時(shí)，
故是奇函數(shù)，故.
法二：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以，
即對(duì)恒成立，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，則在上為減函數(shù)，又是奇函數(shù)，
由得：，
所以，即在上有解，
記，則
因?yàn)?，則，
所以，所以，
所以，即.
20. 如圖，一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的木塊，長(zhǎng)方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個(gè)等腰三角形，其底邊，點(diǎn)在半圓上.
（1）設(shè)，求三角形木塊面積；
（2）設(shè)，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值.
【答案】（1）；（2）,的面積最大值為
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造垂線，將、的長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，的長(zhǎng)度即為的值，的長(zhǎng)度即為的值，從而求解出；
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)的轉(zhuǎn)化方法，同理可以得出的表達(dá)式，然后將看成整體進(jìn)行換元，進(jìn)而將面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，從而求解出最值.
【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，
所以,
，
所以；
（2）因?yàn)榘雸A和長(zhǎng)方形組成的鐵皮具有對(duì)稱性，
所以可只分析時(shí)的情況，
，
，
所以
，
令，，
故，
，
，
，
，
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的值域問(wèn)題，三角函數(shù)中與的聯(lián)系等等，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用能力.
21. 函數(shù).
（1）若，求的值域；
（2）最小值為，若，求及此時(shí)的最大值.
【答案】21.
22 ，5
【解析】
【分析】（1）代入，對(duì)進(jìn)行配方化簡(jiǎn)，由的范圍，進(jìn)而得到的值域.
（2）對(duì)進(jìn)行配方化簡(jiǎn)，對(duì)的取值進(jìn)行討論，求最小值，由求出，進(jìn)而求出此時(shí)的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
若，則，
即，
因?yàn)椋?br>所以，則，
所以的值域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>若，即，，
若，即，，
若，即，
由題若，
則時(shí)，，無(wú)解；
時(shí)，，無(wú)解；
時(shí)，，
即，解得或舍去；
綜上：，
此時(shí)，，
所以的最大值為.

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