1. 已知集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)榧?，，?br>所以，所以.
故選：C.
2. 某扇形的圓心角為，半徑為2，則該扇形的弧長(zhǎng)為（ ）
A. 60B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把角度數(shù)化為弧度，然后由弧長(zhǎng)公式計(jì)算得解．
【詳解】解：30°=，∴ 弧長(zhǎng)為．
故選：D.
3. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B.
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，C，D；由正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)則，有，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋裕?，所以選項(xiàng)D正確.
故選：D.
4. 若為任意角，則滿足的一個(gè)的值是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式，滿足的一個(gè)的值是2.
k為1、3、4不符合.
故選：B.
5. 一個(gè)口罩廠今年12月份的產(chǎn)量是去年12月份產(chǎn)量的倍，則該口罩廠這一年中產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)月平均增長(zhǎng)率為，去年12月份的產(chǎn)量為1.建立方程關(guān)系，進(jìn)行求解即可．
【詳解】設(shè)這一年該口罩廠的月平均增長(zhǎng)率為，去年12月份的產(chǎn)量為1.
因?yàn)榻衲?2月份的產(chǎn)量是去年12月份產(chǎn)量的倍，
所以，即，即.
故選：B.
6. 若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不小于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零.
【詳解】令，則函數(shù)為減函數(shù)，
又函數(shù)為增函數(shù)，
所以函數(shù)是減函數(shù)，
故在區(qū)間上的最大值是，最小值是，
由題設(shè)得，則，
所以，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共2小題，每小題5分，共10分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
7. 下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D正確.
故選：AD
8. 若，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得，利用誘導(dǎo)公式得，結(jié)合已知等式可得，從而可判斷A，B；由二倍角公式與誘導(dǎo)公式即可判斷C，D.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，代入，得，化簡(jiǎn)得，
所以，，所以，，所以，，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確.
因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)C與選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
9. 已知，且為第四象限角，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解.
【詳解】∵為第四象限角，∴，
又∵，∴.
故答案為：
10. 如圖，一個(gè)半徑為3米的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎?分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為1.5米.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，且與時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系式為：，則與時(shí)間之間的關(guān)系是______.

【答案】，
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出振幅、周期，利用正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】根據(jù)筒車模型中各量的物理意義及題意可知，筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎?分鐘轉(zhuǎn)1圈，
所以筒車旋轉(zhuǎn)的角速度.筒車的半徑為3米，
所以.筒車的軸心距離水面的高度為1.5米，所以.
以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，此時(shí).
所以筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離（單位：米）
（在水面下則為負(fù)數(shù)）與時(shí)間的關(guān)系為，.
故答案為：，.
11. 若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值集合是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、以及零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解.
【詳解】
由已知得，，.
由二次函數(shù)圖象及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，
該函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，解得.
故答案為：.
12. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的圖像變換得到解析式，由在區(qū)間上的值域?yàn)椋蠼獾娜≈捣秶纯?
【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，
所以.
若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>再由的單調(diào)性可知.
故答案為：
四、解答題：本題共3小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.
13. 利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷.
【詳解】，，且，則，
.
當(dāng)時(shí)，與0的大小關(guān)系不能確定，所以與大小關(guān)系不能確定；
當(dāng)時(shí)，，所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，，所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
綜上可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
14. 某科研小組對(duì)面積為8000平方米的某池塘里的一種生物的生長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行研究，一開始在此池塘投放了一定面積的該生物，觀察實(shí)驗(yàn)得到該生物覆蓋面積（單位：平方米）與所經(jīng)過(guò)月數(shù)的下列數(shù)據(jù)：
為描述該生物覆蓋面積（單位：平方米）與經(jīng)過(guò)的月數(shù)的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：；；.
（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，并求出該模型的函數(shù)解析式；
（2）約經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，此生物能覆蓋整個(gè)池塘？
（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）；
（2）9
【解析】
【分析】（1）根據(jù)增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快可選擇函數(shù)模型，再根據(jù)，即可求解；
（2）令，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)刻畫是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的變化規(guī)律，
函數(shù)刻畫的是增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢的變化規(guī)律，
函數(shù)刻畫的是增長(zhǎng)速度不變的規(guī)律，
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知該生物增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，
所以函數(shù)模型更適合.
根據(jù)題意有，解得，
所以，.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)約經(jīng)過(guò)個(gè)月，此生物能覆蓋整個(gè)池塘，
則，解得
故約經(jīng)過(guò)9個(gè)月此生物能覆蓋整個(gè)池塘.
15. 已知函數(shù).
（1）若，為銳角，，，求的值；
（2）函數(shù)，若存在，成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，， ，利用求解即可
（2）設(shè)，則不等式可化為. 求出的最大值即可.
【小問(wèn)1詳解】
因，且為銳角，所以，.
因?yàn)?，所?
因?yàn)椋瑸殇J角，所以，所以.
所以
.
【小問(wèn)2詳解】
.
因?yàn)榇嬖?，成立?br>所以成立，
即成立.
設(shè)，則，所以，則.
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，故的最大值為.0
2
3
4
4
25
62.5
156.3

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