1.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的( )
A. 充分不必要條件．B. 必要不充分條件．
C. 充要條件．D. 既不充分也不必要條件．
2.下列命題中正確的是( )
A. 終邊重合的兩個(gè)角相等B. 銳角是第一象限的角
C. 第二象限的角是鈍角D. 小于90°的角都是銳角
3.下列說法正確的是( )
A. 若|a|=|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反
B. 若|a|=|b|，且a與b的方向相同，則a=b
C. 平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上
D. 若a//b，則a與b方向相同或相反
4.已知i為虛數(shù)單位，下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A. 復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量為OZ1，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的向量為OZ2，若|z1+z2|=|z1?z2|，則OZ1⊥OZ2
B. 互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，且|z?|2=|z|2=z?z?
C. 復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模
D. 若復(fù)數(shù)z滿足|z?i|= 5，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)為圓心， 5為半徑的圓上
二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。
5.角2023°是第象限角______.
6.平面上兩點(diǎn)A(2,1)、B(?3,2)，則|AB|=______ .
7.已知復(fù)數(shù)z=1i，i是虛數(shù)單位，則z的虛部為______.
8.已知sinα=45，且α∈(π2,π)，則tan2α的值是______ .
9.若1?i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個(gè)根，則p?q=______ .
10.已知向量a=(1,2),b=(2,?2)，則=______ .
11.化簡(jiǎn)sin(2π?x)tan(π+x)ct(?π?x)cs(π?x)tan(3π?x)=______ .
12.設(shè)向量a、b滿足|a|=2,|b|=3，?a,b?=π3，則|3a?2b|=______ .
13.若θ為銳角，則lgsinθ(1+ct2θ)=______ .
14.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為 5?12時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為______.
15.已知a=(1,2),b=(1,1)，且a與a+λb夾角為銳角，則λ的取值范圍為______ .
16.在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,0)，B(1,2)兩點(diǎn)繞定點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角后，分別到A′(4,4)，B′(5,2)兩點(diǎn)，則csθ的值為______ .
三、解答題：本題共5小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知sinθ=45，cs?=?513，且θ∈(π2,π)，?∈(π2,π)，求sin(θ??)的值.
18.(本小題10分)
已知|a|=4，|b|=8，a與b的夾角為2π3.
(1)求|a+b|；
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a+2b)⊥(ka?b)？
19.(本小題10分)
某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位： ℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)=10? 3csπ12t?sinπ12t，t∈[0,24).
(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差．
(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？
20.(本小題10分)
已知△ABC的周長(zhǎng)為4( 2+1)，且sinB+sinC= 2sinA.
(1)求邊長(zhǎng)a的值；
(2)若S△ABC=3sinA，求角A的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).
21.(本小題12分)
已知a=(2csx,csx? 3sinx),b=(sin(x+π3),sinx)，且函數(shù)f(x)=a?b.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期；
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間；
(3)若函數(shù)y=f(x+φ)(其中φ∈[0,π])是R上的偶函數(shù)，求φ的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根據(jù)正切函數(shù)的定義，分別判斷當(dāng)x=2kπ+π4(k∈Z)時(shí)，tanx=1是否成立及tanx=1時(shí)，x=2kπ+π4(k∈Z)是否成立，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義可得答案
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正切函數(shù)的定義及充要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：當(dāng)x=2kπ+π4(k∈Z)時(shí)，tanx=1成立，
當(dāng)tanx=1時(shí)，x=2kπ+π4或x=2kπ+5π4(k∈Z)，
故x=2kπ+π4(k∈Z)是tanx=1成立的充分不必要條件，
故選：A.
2.【答案】B
【解析】解：對(duì)于A，終邊相同的角可表示為β=α+2kπ(k∈Z)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，銳角的取值范圍為(0,π2)，故B正確；
對(duì)于C，第二象限角的取值范圍為(π2+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，銳角的取值范圍為(0,π2)，其π2=90°，則0°0，12≠1+λ2+λ
∴5+3λ>0，且λ≠0
解得λ>?53,且λ≠0
故答案為 λ>?53,且λ≠0.
若a與a+λb的夾角為銳角，則a?(a+λb)>0，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的不等式，解不等式并討論a與a+λb同向時(shí)，λ的取值，即可得到答案．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，其中根據(jù)，則a?(a+λb)>0，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的不等式，是解答本題的關(guān)鍵，但本題易忽略λ=0時(shí)，a與a+λbb同向的情況，而錯(cuò)解為λ>?53.
16.【答案】?35
【解析】解：由題意，畫出圖形，如圖所示；
∵AA′的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，
∴它的中垂線方程：y?2=?(x?2)，
即x+y?4=0；
同理BB′的中垂線方程為x=3；
由x+y?4=0x=3，
解得x=3y=1；
∴點(diǎn)P(3,1)為固定點(diǎn)．
又kPB=2?11?3=?12，kPB′=2?15?3=12，
∴tanα=?12?121+(?12)×12=?43；
∴csα=?35.
求出AA′和BB′的中垂線方程，聯(lián)立得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出PB與PB′的斜率，利用兩條直線所成的角公式求出tanα，即可求出csα的值．
本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形解答問題，是中檔題．
17.【答案】解：∵sinθ=45且θ∈(π2,π)，∴csθ=? 1?sin2θ=?35.
∵cs?=?513且?∈(π2,π)，∴sin?= 1?cs2?=1213.
則sin(θ??)=sinθcs??csθsin?
=45×(?513)?(?35)×1213=1665.
【解析】根據(jù)角的范圍和平方關(guān)系分別求出csθ、sinφ，再由兩角差的正弦公式求出sin(θ??)的值．
本題考查了平方關(guān)系和兩角差的正弦公式應(yīng)用，注意角的范圍和三角函數(shù)值的符號(hào)，這是易錯(cuò)點(diǎn)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力．
18.【答案】解：(1)∵a?b=|a|?|b|cs=32cs2π3=?16，
∴|a+b|2=|a|2+2a?b+|b|2=16?32+64=48，
∴|a+b|=4 3.
(2)(a+2b)⊥(ka?b)，
則(a+2b)?(ka?b)=k|a|2+(2k?1)a?b?2|b|2=16k?16(2k?1)?128=0，解得k=?7.
【解析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得|a+b|2，進(jìn)而得到|a+b|；
(2)由向量垂直可得(a+2b)?(ka?b)=0，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得結(jié)果．
本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
19.【答案】解：(1)∵f(t)=10? 3csπ12t?sinπ12t=10?2sin(π12t+π3)，t∈[0,24),
∴π3≤π12t+π311時(shí)，需要降溫，由(Ⅰ)可得f(t)=10?2sin(π12t+π3)，
由10?2sin(π12t+π3)>11，求得sin(π12t+π3)

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