一、單選題
1．已知集合，若有且僅有1個元素，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“方程有正實數(shù)根”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（ ）
A．6B．C．D．
4．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）
A．60B．80
C．－84D．120
5．2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等6名志愿者到甲乙兩個路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導(dǎo)員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）
A．40B．28C．20D．14
6．已知一組樣本數(shù)據(jù)共有9個數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12.將這組樣本數(shù)據(jù)增加一個數(shù)據(jù)后，所得新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．18.2B．19.6C．19.8D．21.4
7．現(xiàn)隨機安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（ ）
A．事件A與B相互獨立B．事件A與C為互斥事件
C．D．
8．已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．若、、，則下列命題正確的是（ ）
A．若且，則
B．若，則
C．若且，則
D．
10．下列命題中正確的是（ ）
A．若樣本數(shù)據(jù)，，，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，，的方差為7
B．經(jīng)驗回歸方程為時，變量x和y負(fù)相關(guān)
C．對于隨機事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨立
D．若，則取最大值時
11．等差數(shù)列的前項和記為，若，則成立的是（ ）
A．
B．的最大值是
C．
D．當(dāng)時，最大值為
12．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
C．函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)
D．若函數(shù)滿足，則
三、填空題
13．若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為 ．
14．已知正實數(shù)m，n滿足，則的最小值為 ．
15．已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前30項和為 .
16．已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù) ．
四、解答題
17．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
18．為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的2×2列聯(lián)表：
已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為.
(1)請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整（不用寫計算過程）；
(2)根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷喜愛打籃球與性別有關(guān)？
(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的分布列與均值．
附：，其中，
19．已知正項數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，若數(shù)列滿足，求證：．
20．已知．
(1)討論的單調(diào)性和極值；
(2)若時，有解，求的取值范圍．
21．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．
22．“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．
(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，，且，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競賽？
性別
打籃球
合計
喜愛
不喜愛
男生
6
女生
10
合計
48
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
參考答案：
1．C
【分析】用列舉法表示集合，由題設(shè)條件可得，分析即得解
【詳解】由題意，
由有且僅有1個元素，可知，可得
故選：C
2．B
【分析】根據(jù)零點的幾何意義，將方程有正根問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，
由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負(fù)的兩個零點，
則，解得，
故選：B.
3．D
【分析】求導(dǎo)，令，即可得出答案.
【詳解】
，解得
故選：D
【點睛】本題主要考查了求某點處的導(dǎo)數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.
4．D
【分析】先求出每部分含的系數(shù)，再利用組合數(shù)求解即可.
【詳解】由于的展開式中的系數(shù)是，
而.
故選：D.
5．B
【分析】根據(jù)題意，先分配特殊的兩個人，再將剩余4個人分到兩個路口，按照分組分配相關(guān)知識進(jìn)行計算即可.
【詳解】若小王在1號路口，小李在2號路口，則剩余4個人分到兩個路口，
兩個路口為人分布，共有種方案，
兩個路口為人分布，共有種方案，
此時共有種方案；
同理若小王在2號路口，小李在1號路口，也共有種方案.
所以一共有28種不同的安排方案種數(shù).
故選：B
6．C
【分析】利用平均數(shù)公式及其方差公式求解.
【詳解】設(shè)增加的數(shù)為，原來的9個數(shù)分別為，
則，，
所以，
又因為，即，
所以，
故選：C.
7．C
【分析】根據(jù)條件求出，由互斥事件的定義、相互獨立事件的判定和條件概率公式進(jìn)行逐一判斷即可
【詳解】對于A，每項比賽至少一位同學(xué)參加，則有不同的安排方法，
事件“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有種方法；
若跳高比賽安排1人，則有種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有種，則，同理，
若安排甲、乙同時參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有種不同的安排方法，所以，
因為，事件A與B不相互獨立故A錯誤；
對于B，在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯誤；
對于C，在安排甲參加跳高比賽的同時安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有種，所以，所以，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：C
8．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，進(jìn)而關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增，結(jié)合條件可得，解不等式即得.
【詳解】因為的定義域為R，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，
又時， ，單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
所以關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增．
所以，
兩邊平方，化簡得，解得．
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對稱性化簡不等式進(jìn)而即得.
9．BD
【分析】利用特殊值法可判斷A選項；利用作差法可判斷BCD選項.
【詳解】對于A選項，若且，取，，則，A錯；
對于B選項，若，則，B對；
對于C選項，若且，則，
則，故，C錯；
對于D選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，D對.
故選：BD.
10．BC
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)變量x，y的線性回歸方程的系數(shù)，可判斷B；利用條件概率及獨立事件的定義可判斷C；根據(jù)二項分布概率公式可判斷D.
【詳解】對于A，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，所以A錯誤；
對于B，回歸方程的直線斜率為負(fù)數(shù)，所以變量x與y呈負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確；
對于C，由，得，所以事件A與事件B獨立，所以C正確；
對于D，由，即，
解得或，所以D錯誤．
故選：BC．
11．BC
【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，再根據(jù)等差數(shù)列的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，A選項錯誤.
所以，C選項正確.
所以的最大值是，B選項正確.
由于時，，是單調(diào)遞減數(shù)列，
所以當(dāng)時，沒有最大值，D選項錯誤.
故選：BC
12．ABD
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性，以及條件的變形，即可判斷ABC；首先判斷函數(shù)的周期性，再利用周期性和函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；
因為，所以，又，
所以，所以，所以，所以為偶函數(shù).故B正確；
因為，所以是最小正周期為4的周期函數(shù)，故C錯誤；
因為，所以，那么，
所以也是周期為4的函數(shù)，
，
因為，所以，，
所以，
所以，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，理解抽象函數(shù)，理解自變量的任意性，從而學(xué)會變形，達(dá)到判斷性質(zhì)的目的.
13．
【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．令，則 解得，故實數(shù)的最大值為
故答案為：
14．17
【分析】由“1”的代換，利用基本不等式求解.
【詳解】因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以．
故答案為：17
15．465
【分析】根據(jù)遞推公式得出奇數(shù)項數(shù)列和偶數(shù)項數(shù)列各為等差數(shù)列，分組求和即可得出前30項和.
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；
當(dāng)為偶數(shù)時，，是首項為2，公差為3的等差數(shù)列；
故答案為：465
16．1
【分析】設(shè)函數(shù)，的公共點為，則，代入化簡即可求得，令，易得在上單調(diào)遞增，即可求出，進(jìn)而求得實數(shù)的值.
【詳解】設(shè)函數(shù)，的公共點為，則即則．令，易得在上單調(diào)遞增，所以以由，解得，所以切點為，所以，則．
故答案為：1.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)以及，即可求解數(shù)列的通項公式；
（2）將數(shù)列的通項公式帶入數(shù)列，進(jìn)行化簡，利用錯位相減法進(jìn)行求解.
【詳解】（1），①
當(dāng)時，，②
①-②得，∴，∴，
∵，∴，∴也滿足上式，
∴為等比數(shù)列且首項為2，公比為3，∴.
即的通項公式為.
（2）由（1）知，所以，
令，①
得，②
①-②得，
所以.
18．(1)答案見解析；
(2)認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)；
(3)分布列見解析，1.
【分析】（1）求出喜歡打籃球的學(xué)生人數(shù)，完善2×2列聯(lián)表.
（2）求出的觀測值，再與臨界值比對作答.
（3）求出的可能值，求出每個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.
【詳解】（1）依題意，喜歡打籃球的學(xué)生人數(shù)為，
完善列聯(lián)表如下：
（2）零假設(shè)：喜愛打籃球與性別無關(guān)，
由（1）得，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，
所以認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān).
（3）喜愛打籃球的女生人數(shù)的可能取值為0，1，2，
則，
所以的分布列為
的數(shù)學(xué)期望.
19．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用和與項的關(guān)系可求得，從而利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）由（1）知，從而利用裂項相消法求得，從而可證.
【詳解】（1）∵，當(dāng)時，，
兩式相減得：，整理得，
∵，∴，當(dāng)時，，
∴（舍）或，
∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，∴，即．
20．(1)見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；
（2）首先不等式參變分離為，在時有解，再構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1），
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，無極值；
當(dāng)時，令 ，得，
，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)，函數(shù)取得極小值，
綜上可知，時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無增區(qū)間，無極值；
時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間，極小值，無極大值.
（2）由題意可知，，時有解，
則，在時有解，即，
設(shè)，，
，
令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，即，
所以實數(shù)的取值范圍是.
21．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）當(dāng)時，，，再令，求導(dǎo)可得存在，使得，進(jìn)而得出的單調(diào)性，從而根據(jù)代入化簡可得，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），，又，
故在點處的切線斜率為，切線方程為：
（2）證明：當(dāng)時，，
則，
當(dāng)時，，令，
則，故在上單調(diào)遞增.
∵，，
故存在，使得，即，即，
故當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，此時，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則
.
令，，則，
故在上單調(diào)遞增，則，故.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用隱零點法得，再計算，最后再設(shè)新函數(shù)，，得到的單調(diào)性即可證明原不等式.
22．(1)分布列見解析，
(2)11輪
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列計算數(shù)學(xué)期望即可；
（2）先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應(yīng)用獨立重復(fù)實驗數(shù)學(xué)期望的范圍求出最少輪數(shù).
【詳解】（1）由題意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，隨機變量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他們在每輪答題中取得勝利的概率為
，
由，，，得，
則，因此，
令，，于是當(dāng)時，．
要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值．
設(shè)他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，
由，即，解得．
而，則，所以理論上至少要進(jìn)行11輪答題．
性別
打籃球
合計
喜愛
不喜愛
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合計
32
16
48
0
1
2
0
1
2
3

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