（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如
需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)
在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足,則
A．2B．C．D．1
3．已知向量，滿足，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
5．若函數(shù)在單調(diào)遞減，則a的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
6．已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則橢圓的離心率是
A．2B． C．3D．
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，命題“”，命題“”，則命題是命題的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
8．在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，現(xiàn)將菱形沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，一組樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不完全相等的正數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差
B．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差
C．若樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是
D．若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是
10．已知正方體，則（ ）
A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為
11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
12．拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．的方程為
B．的最小值為
C．過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有2條
D．過(guò)點(diǎn)分別作的切線，交于點(diǎn)，則直線的斜率滿足
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13．現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有___________種.(用數(shù)字作答)
14．已知正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為3，兩底面邊長(zhǎng)分別為2和4，則該四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____
15．已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．
16．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是____________．
四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為,且．
(1)求角的??。?br>(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．
19．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；
(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．
20．為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．
(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．
21．已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最小值．
22．設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).
2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷
高三數(shù)學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如
需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)
在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得集合B，再求A與B的交集即可得解.
【詳解】解不等式得，
于是得，
而，
所以.
故選：B
2．已知復(fù)數(shù)滿足,則
A．2B．C．D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，根據(jù)模長(zhǎng)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】
本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù).
3．3．已知向量，滿足，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由求得，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?又，所以.
所以，
因?yàn)?，所以與的夾角為.
故選：A
4．已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】C
【分析】由求出，進(jìn)而，由此求出.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
解得或（舍），
由，則，
所以.
故選：C.
5．若函數(shù)在單調(diào)遞減，則a的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來(lái)求得的取值范圍.
【詳解】依題意函數(shù)在單調(diào)遞減，
在上遞減，
的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，.
故選：A
6．已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則橢圓的離心率是
A．2B． C．3D．
【答案】D
【分析】先求出的長(zhǎng)，直角三角形 中，由邊角關(guān)系得建立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值.
【詳解】由已知可得，，
，，
，.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率，求解時(shí)要會(huì)利用直角三角形中的邊角關(guān)系，得到關(guān)于的方程，從而求得離心率的值．
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，命題“”，命題“”，則命題是命題的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】由，不能推出，
例如，則，所以，
故命題是命題的不充分條件；
由，不能推出，例如，則，
所以，故命題是命題的不必要條件；
綜上所述：命題是命題的既不充分也不必要條件.故選：D.
8．在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，現(xiàn)將菱形沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心位置，求得外接球半徑，即可求得答案.
【詳解】由題意在邊長(zhǎng)為6的菱形中，知，
和為等邊三角形，如圖所示，

取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則，，
同理可得，又，則，則，
又平面,故平面，
而平面，故,
由于為等邊三角形，故三棱錐外接球球心O在平面內(nèi)的投影為的外心，即平面，故，
過(guò)O作于H，則H為的外心，則,即共面，
則，則四邊形為矩形，
則在中，，，
所以外接球半徑，則外接球表面積為，
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，一組樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不完全相等的正數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差
B．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差
C．若樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是
D．若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是
【答案】ACD
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)概念和性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為，且，
則樣本乙的數(shù)據(jù)為，且，
對(duì)于選項(xiàng)A：樣本甲的極差為，樣本乙的極差，
因?yàn)?，即?br>所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：記樣本甲的方差為，則樣本乙的方差為，
因?yàn)?，即?br>所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闃颖炯椎闹形粩?shù)是，
則樣本乙的中位數(shù)是，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是，故D正確；
故選：ACD.
10．已知正方體，則（ ）
A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為
【答案】ABD
【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；
連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)椋?，所以平面?br>又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，，所以平面?br>所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD
11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．函數(shù)的周期為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
【答案】BC
【分析】根據(jù)給定的信息，推理論證周期性、對(duì)稱(chēng)性判斷AB；借助變量替換的方法，結(jié)合偶函數(shù)的定義及對(duì)稱(chēng)性意義判斷CD作答.
【詳解】依題意，上的函數(shù)，，則，函數(shù)的周期為4，A錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
且，即，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，B正確；
由得，則函數(shù)為偶函數(shù)，C正確；
由得，由得，
因此，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，D錯(cuò)誤.故選：BC
12．拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．的方程為
B．的最小值為
C．過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有2條
D．過(guò)點(diǎn)分別作的切線，交于點(diǎn)，則直線的斜率滿足
【答案】BD
【分析】求出拋物線方程判斷A；設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及均值不等式計(jì)算判斷B；設(shè)出過(guò)點(diǎn)M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷C；求導(dǎo)并結(jié)合選項(xiàng)B的信息求解判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A；依題意，，解得，的方程為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，設(shè)直線的方程為，由消去y得，
設(shè)，則有，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；
對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不垂直于y軸，設(shè)此直線方程為，
由消去y得：，當(dāng)時(shí)，，直線與拋物線僅只一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，解得，即過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的直線有2條，
所以過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由求導(dǎo)得，由選項(xiàng)B知，，，
，由兩式相減得：
，即，則，
于是，，即點(diǎn)，
所以，D正確.故選：BD

第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13．現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有___________種.(用數(shù)字作答)
【答案】
【分析】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，②選兩名男志愿者，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有種選派方法；
②選兩名男志愿者，則有種選派方法；
綜上可得一共有種選派方法；
故答案為：
14．已知正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為3，兩底面邊長(zhǎng)分別為2和4，則該四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____
【答案】
【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)求出高，即可由體積公式求出.
【詳解】如圖，正四棱臺(tái)中，設(shè)下底面中心為，上底面中心為,
則即為四棱臺(tái)的高，過(guò)作，則,
在中，，則，
又，
所以該四棱臺(tái)的體積為.
故答案為：.
15．已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．
【答案】（中任意一個(gè)皆可以）
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．
【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．
16．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，不能滿足在上極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，
由的部分圖象如下圖所示：

則，解得，即，
故答案為：.
四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用，作差得到是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，從而求出其通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】（1）由，可知
兩式相減得，
即，
∵，∴，
∵當(dāng)時(shí)，，∴（舍）或，
則是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，
∴的通項(xiàng)公式；
（2）∵，
∴，
∴數(shù)列的前項(xiàng)和
.
18．在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為,且．
(1)求角的???；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）對(duì)已知條件的邊換成角，結(jié)合三角公式求出，根據(jù)的范圍得出角的度數(shù)；
（2）根據(jù)正弦定理，將邊用角來(lái)表示，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問(wèn)題的求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又，，
則，
化簡(jiǎn)得，
又，所以，則，
因?yàn)椋?br>所以；
（2）由正弦定理得：，
∴，，
∴，
；
為銳角三角形，
∴，
解得： ，
∴，
∴，
∴，
∴，
即△ABC的取值范圍為.
19．如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；
(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長(zhǎng)，由勾股定理逆定理得到，從而證明出線面垂直，面面垂直；
（2）解法一：以C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫矫妫?br>所以．
因?yàn)?，，所以?br>所以，所以．
又因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
又平面EAC，
所以平面平面PBC．
（2）解法一：
以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以?br>即，，，所以．
所以，．
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．
所以，取，則，．
所以平面ACE的一個(gè)法向量為．
又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，
則．
所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．
解法二：
取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示
的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以?br>即，，，所以．
所以，．
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則．
所以，取，則，．
所以，平面ACE的一個(gè)法向量為．
又因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，
則．
所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為
20．為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．
(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，3
(3)選擇小宇，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，然后求各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）分別計(jì)算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過(guò)比較概率的大小可得答案.
【詳解】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則
．
（2）X的可能取值為2，3，4
，
，
，
X的分布列為；
數(shù)學(xué)期望．
（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；
記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；
因?yàn)椋市∮钸M(jìn)決賽的可能性更大，
所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽．
21．已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)0
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出上的最大值即可得出答案.
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br>由題意知，
解得，；
（2），
則，
令，其中，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以存在唯一?br>使得，即，可得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
又因，所以，
即，因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 恒成立，
所有.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于把恒成立問(wèn)題通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化后利用導(dǎo)數(shù)判斷出其定義域上的單調(diào)性求出值域或最值問(wèn)題就解決了.
22．設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過(guò)的定點(diǎn).
【詳解】（1）雙曲線：的漸近線方程為，
不妨設(shè)，
因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，
所以，又，所以.
（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
依題意，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，
設(shè)，，則，
聯(lián)立，得，
且，
化簡(jiǎn)得且，
所以，，
因?yàn)橹本€的斜率存在，所以直線的斜率也存在，
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，
即，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，所以經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)直線的方程為，，，則，再將其與雙曲線方程聯(lián)立，從而得到韋達(dá)定理式，根據(jù)三點(diǎn)共線，則有，整理代入韋達(dá)定理式化簡(jiǎn)求出值即可.
X
2
3
4
P

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