數(shù)學(xué)
本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣?區(qū)）?學(xué)校?班級?姓名?考場號?座位號和考生號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（ ）
A. B. C. D.
3.已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4.如圖所示是中國2012-2021年汽車進?出口量統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A.2012-2021年中國汽車進口量和出口量都是有增有減的
B.從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量
C.2012-2021年中國汽車出口量的第60百分位數(shù)是106萬輛
D.2012-2021年中國汽車進口量的方差大于出口量的方差
5.在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對應(yīng)的點為點對應(yīng)的點為點，則點與點之間距離的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有（ ）
A.96種 B.64種 C.32種 D.16種
7.已知雙曲線，點的坐標(biāo)為，若上的任意一點都滿足，則的離心率取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8.水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為（ ）
A.4 B. C. D.6
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運動（忽略小球的大?。?，它在時刻相對于平衡位置的高度可以田確定，則下列說法正確的是（ ）
A.小球運動的最高點與最低點的距離為
B.小球經(jīng)過往復(fù)運動一次
C.時小球是自下往上運動
D.當(dāng)時，小球到達最低點
10.在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，若，則（ ）
A.
B.與所成角為
C.與平面所成角為
D.與平面所成角的正切值為
11.已知拋物線的焦點為，點與點關(guān)于原點對稱，過點的直線與拋物線交于兩點（點和點在點的兩側(cè)），則下列命題正確的是（ ）
A.若為的中線，則
B.若為的角平分線，則
C.存在直線，使得
D.對于任意直線，都有
12.已知定義在上的函數(shù)，對于給定集合，若，當(dāng)時都有，則稱是“封閉”函數(shù).則下列命題正確的是（ ）
A.是“封閉”函數(shù)
B.定義在上的函數(shù)都是“封閉”函數(shù)
C.若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)
D.若是“封閉”函數(shù)，則不一定是“封閉”函數(shù)
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.
13.已知向量滿足，則與的夾角為__________.
14.在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個可能值為__________.
15.已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，若在上恰好有4個不同的實數(shù)根，則__________.
16.已知動圓經(jīng)過點及原點，點是圓與圓的一個公共點，則當(dāng)最小時，圓的半徑為__________.
四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）
在中，角的對邊分別為，已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范圍.
18.（12分）
已知各項都是正數(shù)的數(shù)列，前項和滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式.
（2）記是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和.當(dāng)時，試比較與的大小.
19.（12分）
如圖所示的在多面體中，，平面平面，平面平面，點分別是中點.
（1）證明：平面平面；
（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.
20.（12分）
某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.
（1）若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（2）若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（3）如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.
21.（12分）
已知點，點和點為橢圓上不同的三個點.當(dāng)點，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好是邊長為2的等邊三角形.
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若為原點，且滿足，求的面積.
22.（12分）
已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.
★啟用前注意保密
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬測試（一）
數(shù)學(xué)參考答案
評分標(biāo)準(zhǔn)：
1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則.
2.對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答末改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.
3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.
13. 14.（或） 15.24 16.5
四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.解：（1）因為，
所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因為，所以.
（2）
在中，因為，所以，
所以，所以，所以，
所以的取值范圍為.
18.解：（1）當(dāng)時，，所以或（舍去），
當(dāng)時，有
兩式相減得，
整理得，
因為的各項都是正數(shù)，所以，
所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以.
（2）由（1）得，則，
所以，
由（1）得
所以，
因為，
所以，故，
所以當(dāng)時，.
19.解：（1）如圖，取中點，連接，因為，所以，
又因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
同理可得平面，
所以，
又因為平面平面，所以平面，
因為點分別是中點，所以，
又因為平面平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）方法一：因為，所以，
由（1）知平面平面，所以
所以兩兩相互垂直，
如圖，以點為坐標(biāo)原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，所以，
則，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
由，
得即解得取，得，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
方法二：因為平面平面，所以平面和平面的夾角
即二面角.
如圖，過點作，垂足為點，過點作交于點，
則為二面角所成平面角.
在Rt中，，
在Rt中，，
在直角梯形中，，
所以
在中，，
所以，
利用三角形等面積可得，
所以
因為，所以，
過點作于，則，所以，
在中，，所以，
所以平面和平面夾角的余弦值為.
20.解：（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，
因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)服從二項分布，即，
所以的所有可能取值為，則
，
所以的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為.
（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，
則，
，
，
所以的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為.
（3）（答案不唯一，選擇符合商場老板的預(yù)期即可）
因為（1）（2）兩問的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的大，
即，第（1）不中獎的概率比第問小，即，
回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問方式進行抽.
回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進行抽獎.
21.解：
（1）當(dāng)點，點和點為橢圓的頂點時，恰好構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，
①當(dāng)點，點和點中有兩個點為上頂點和下頂點，一個點為左頂點或右頂點時，不妨設(shè)點，點為上頂點和下頂點，點為右頂點，此時，，
②當(dāng)點，點和點中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右頂點，不妨設(shè)點，點為左頂點和右頂點，點為上頂點，此時，（舍去），
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，
因為，
所以，
①當(dāng)直線斜率不存在時，
即，則，
因為點在橢圓上，所以，則有，
所以，點到的距離為，
此時.
②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立得消去整理得，
滿足，
由韋達定理得，
所以，
所以，
又因為點在橢圓上，
所以，
化簡得，
所以
，
所以點到直線的距離，
所以
綜上所述，的面積為.
22.解：（1）求導(dǎo)得，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，無極大值.
（2）方法一：由題知不等式在上恒成立，
則原問題等價于不等式在上恒成立，
記，
則，
記，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以存在，使得，
即當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，得，
即，
所以，
①當(dāng)時，
因為，所以不等式恒成立，
所以；
②當(dāng)時，
因為存在，使得，而，
此時不滿足，
所以無解.
綜上所述，.
（2）方法二：由題知不等式在上恒成立，
原問題等價于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
因為即，
①當(dāng)時，
因為，所以不等式恒成立，所以；
②當(dāng)時，令，顯然單調(diào)遞增，且，
故存在，使得，即，而，此時不滿足，所以無解.
綜上所述，.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
C
B
A
C
題號
9
10
11
12
答案
BD
ACD
AD
BC
0
1
2
0
1
2

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