2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（二）數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫(huà)掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A．   B．  C．  D．2．已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），則的最大值為（    ）A．2    B．    C．3    D．3．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（    ）A．    B．    C．    D．4．已知某摩天輪的半徑為60m，其中心到地面的距離為70m，摩天輪啟動(dòng)后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每30分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．已知當(dāng)游客距離地面超過(guò)100m時(shí)進(jìn)入最佳觀景時(shí)間段，則游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過(guò)程中最佳觀景時(shí)長(zhǎng)約有（    ）A．5分鐘   B．10分鐘   C．15分鐘   D．20分鐘5．現(xiàn)有一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的倒置圓錐（頂點(diǎn)在下方，底面在上方），將半徑為的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側(cè)面相切，過(guò)所有切點(diǎn)所在平面將圓錐分割成兩個(gè)部分，則分割得到的圓臺(tái)的側(cè)面積為（    ）A．   B．   C．   D．6．已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（    ）A．    B．    C．1    D．7．已知，則（    ）A．    B．0    C．1    D．8．已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．  B．   C．   D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線m與平面α有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（    ）A．平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行B．平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直C．存在平面γ與直線m和平面α都平行D．存在過(guò)直線m的平面β與平面α垂直10．已知，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．是周期函數(shù)      B．有對(duì)稱軸C．有對(duì)稱中心      D．在上單調(diào)遞增11．現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件： 甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26，眾數(shù)是24；乙球員；5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29，平均數(shù)是26；丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1個(gè)是32，平均數(shù)是26，方差是9.6；根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是（    ）A．甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分B．乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分C．丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分D．丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于2412．在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點(diǎn)分別為（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），則正方形ABCD四邊所在直線中過(guò)點(diǎn)（0，0）的直線的斜率可以是（    ）A．2    B．    C．    D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，則的公比q=______．14．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，，除面ABCD外，該四棱柱其余各個(gè)面的中心分別為點(diǎn)E，F，G，H，I，則由點(diǎn)E，F，G，H，I構(gòu)成的四棱錐的體積為______．15．已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．16．已知，若過(guò)點(diǎn)P（m，n）恰能作兩條直線與曲線相切，且這兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，則m的一個(gè)可能值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知等差數(shù)列的公差，且滿足，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和．18.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求sinA．19.(12分)如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．（1）證明：（2）若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若，，，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；（2）當(dāng)時(shí)，（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無(wú)需寫出過(guò)程．21．（12分）已知，存在，使得．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）試探究與3的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．22．（12分）已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA與拋物線E交于點(diǎn)C，PB與拋物線E交于點(diǎn)D，且滿足，其中λ是常數(shù)，且．（1）設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，證明：MN垂直于x軸；（2）若點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形ABDC面積的最大值． 2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（二）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)12345678答案BDCBDCAB二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分題號(hào)9101112答案BDACDADABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．2 14．  15．  16．（或，或，或）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．解：（1）因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以，即， 解得或．因?yàn)?/span>，所以，所以．2^{n}，n為奇數(shù)，（2）由（1）得所以所以 ，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)的和．18．解：（1）由正弦定理，得，因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以．所以．因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以． （2）方法一：因?yàn)?/span>，由正弦定理，得，因?yàn)?/span>，所以．．所以，即．因?yàn)?/span>，所以或，所以或．所以或1．方法二：因?yàn)?/span>，由余弦定理得，將代入（*）式得，整理得，因式分解得，解得或，①當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)?/span>，所以， ②當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?/span>，所以， 所以sinA的值為或1．19．（1）證明：如圖1，連接BD，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形，且，，，所以，，，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，，BD，PD平面PBD，所以平面PBD，因?yàn)?/span>PB平面PBD，所以，因?yàn)?/span>，所以．（2）解：如圖2，設(shè)平面PAB和平面PCD的交線為直線l，因?yàn)?/span>，CD平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB，因?yàn)?/span>CD平面PCD，平面PAD平面，所以，因?yàn)?/span>平面PBD，所以平面PBD，因?yàn)?/span>PB，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB與平面PCD的二面角，因?yàn)槠矫?/span>平面PCD，所以，即在Rt△ABP中，因?yàn)?/span>，，所以在Rt△BPD中，因?yàn)?/span>，所以，所以△BPD為等腰直角三角形，方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如圖3，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則解得取，得，記直線AC與平面PBC所成角為θ，則，所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為．方法二：在△ABC中，因?yàn)?/span>，，，則，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，由（1）知CD⊥平面PBD，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，由（1）知CD⊥平面PBD，所以，在△PBC中，，，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，解得，記直線AC與平面PBC所成角為θ，則，所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為．20．（1）解：用事件A，B，C分別表示每局比賽“甲獲勝”“乙獲勝”或“平局”，則，，，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，CCAA共5種， 所以 ．（2）（i）因?yàn)?/span>，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，5，則，，．所以X的分布列為X245P所以X的期望，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以．（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，則．注：（第（ii）小問(wèn)推導(dǎo)過(guò)程參考）由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開(kāi)始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同．所以 所以，即，因?yàn)?/span>，所以．21．解：（1）由題意得有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)， 設(shè)，則，令，解得；令，解得或，所以在（0，2）上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）因?yàn)?/span>，由（1）得，由，得，設(shè)，則，求導(dǎo)得，令，解得，令，解得，所以h（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)，，則，，求導(dǎo)得恒成立，所以在（0，2）上單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，h（x）在上單調(diào)遞減，所以，即，設(shè)且，則，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以． 22．（1）證明：因?yàn)?/span>，且P，A，C共線，P，B，D共線，所以，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設(shè)，，，，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以MN垂直于x軸． （2）解：設(shè)P（，則，且，當(dāng)時(shí)，C為PA中點(diǎn)，則，，因?yàn)?/span>C在拋物線上，所以，整理得，當(dāng)時(shí)，D為PB中點(diǎn)，同理得，所以，是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，所以，所以PM也垂直于x軸，所以，因?yàn)?/span>，所以 ，， 當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以四邊形ABDC面積的最大值為．

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