1．下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學家大會的會標，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0007mm，0.0007用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．0.7×10﹣2B．7×10﹣4C．7×10﹣3D．7×10﹣5
3．一個多邊形的內角和是1800°，則這個多邊形是（ ）邊形．
A．9B．10C．11D．12
4．下列運算正確的是（ ）
A．x2?x3＝x6B．a﹣5＝（a3）-2C．a3 ÷ a2＝a D．(x+y) 2=x2+y2
5．一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則它的周長為（ ）
A．8或10B．8C．10D．6或12
6．如圖，點B，E，C，F(xiàn)共線，AB∥DE，∠A＝∠D，添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠ACB＝∠FC．BE＝CFD．AC＝DF
7．如圖，E為△ABC邊AC上一點，且CE＝CB，CD平分∠ACB，與BE相交于D，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，則BD的長為（ ）
A．2.5B．2C．1D．0.5
8．如果a＝（﹣π）0，b＝（﹣0.2）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三個數(shù)的大小為（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a
9．若分式方程無解，則k的值為（ ）
A．-2B．2C．1D．﹣1
10．如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BC，P為直線BC上方的一個動點，△PBC的面積等于△ABC的面積的，則當PB+PC最小時，∠PBC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
二．填空題（每小題4分，總共24分）
11．若等式（a﹣3）0＝1成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
12．分解因式： -3a2 b +9ab2 c＝ ．
13．已知點A（a，﹣2）和點B（8，b）關于y軸對稱，那么a+b＝ ．
14．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，∠DBC＝15°，則∠A的度數(shù)是 ．
15．已知4x2 +(k-3)xy+9y2 是完全平方式，則k= ．
16．我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）＝．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．如果一個兩位正整數(shù)t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”．根據(jù)以上新定義，下列說法正確的是 ．
（1）F（48）＝；
（2）15和26是“吉祥數(shù)”；
（3）“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為．
（4）如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)，則對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）＝1．
三．解答題（8小題，總共86分）
17．計算：
（1）； （2）2024×2022﹣20232（用乘法公式計算）．
．
18．如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等．兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關系？
19．先化簡，再求值： ÷再從﹣1、0、1三個數(shù)中選擇一個你認為合適的數(shù)作為x的值代入求值．
20．為了提高學生體育鍛煉的意識和能力、豐富學生體育鍛煉的內容，學校準備購買一批體育用品．在購買跳繩時，甲種跳繩比乙種跳繩的單價低10元，用420元購買甲種跳繩與用520元購買乙種跳繩的數(shù)量相同，求甲、乙兩種跳繩的單價各是多少元？
21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BA延長線上一點，E為AC的中點．
（1）利用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
①作∠DAC的平分線AP；
②連接BE并延長交AP于點F．
（2）猜想AF與BC位置和數(shù)量的關系，并說明理由．
22．閱讀下列材料：
對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝，例如：f（2）＝＝．
（1）求值：f（3）+f（）＝ ；f（4）+f（）＝ ．
（2）猜想f（x）+f（）＝ ，并證明你的猜想；
（3）應用：請結合（2）的結論，計算下面式子的值：
f（2023）+f（2022）+f（2021）+…+f（2）+f（1）+…+f（）+…+f（）+f（）+f（）．
23．定義：一個三角形，若過一個頂點的線段將這個三角形分為兩個三角形，其中一個是直角三角形，另一個是等腰三角形，則稱這個三角形是等直三角形，這條線段叫做這個三角形的等直分割線段．
例如：
如圖1，在△ABC中，
∵AD⊥BC于D，且BD＝AD，
∴△ACD是直角三角形，
△ABD是等腰三角形，
∴△ABC是等直三角形，
AD是△ABC的一條等直分割線段．
（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，請說明AD是△ABC的一條等直分割線段；
（2）若△ABC是一個等直三角形，恰好有兩條等直分割線，∠B和∠C均小于45°，求證：△ABC是等腰三角形．
24．在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，如果一個凸多邊形的頂點都是網(wǎng)格線交點，我們稱其為格點凸多邊形，并記該格點多邊形的面積為S，多邊形內部的格點數(shù)為N，多邊形邊上的格點數(shù)為L．
（1）對于圖中的五個凸多邊形，補全以下表格：
（2）借助以上表格猜想格點凸多邊形的面積公式：S與N+的數(shù)量關系可用等式表示為 ；
（3）已知格點長方形ABCD，設其邊長AB＝m，BC＝n，其中m，n為正整數(shù)．請以格點長方形ABCD為例，嘗試證明（2）中的格點凸多邊形的面積公式．
25．如圖1，在平面直角坐標系中，點A（a，0）在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，設AB＝b，且b2﹣4a2＝0．
（1）直接寫出∠BAO的度數(shù)；
（2）如圖2，點D為AB的中點，點P為y軸負半軸上一點，以AP為邊作等邊三角形APQ，連接DQ并延長交x軸于點M，若AB＝6，求點M的坐標；
（3）如圖3，點C與點A關于y軸對稱，點E為OC的中點，連接BE，過點B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，連接AF交BC于點P，求的值．
參考答案與試題解析
選擇題（共10小題）
1-5：ABDCC 6-10:BCBAB
10．【解答】解：∵△PBC的面積等于△ABC的面積的，
∴P點在AD的垂直平分線上，
作B點關于該垂直平分線的對稱點B'，連接B'C，交垂直平分線于P點，
由對稱性可知，B'P＝BP，
∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此時PB+PC最小，
∵AD＝BB'，AD＝BC，
∴BB'＝BC，
∴△BCB'是等腰直角三角形，
∴∠B'CB＝∠B'＝45°，
∴∠B'BP＝45°，
∴∠PBC＝45°，
故選：B．
填空題（共6小題）
11．a≠3 12．-3ab(a-3bc) 13．-10
14．50° 15.15或-9 16. （1）（2）（3）（4）
16．【解答】解：（1）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，而48﹣1＞24﹣2＞16﹣3＞12﹣4＞8﹣6，6×8是48的最佳分解，
∴F（48）＝＝，故正確；
（2）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′＝10y+x，
∵t是“吉祥數(shù)”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，
∴滿足“吉祥數(shù)”的有：15，26，37，48，59，故正確；
（3）F（15）＝，F(xiàn)（26）＝，F(xiàn)（37）＝，F(xiàn)（48）＝＝，F(xiàn)（59）＝，
∵＞＞＞＞，
∴“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為，故正確．
（4）∵m是一個完全平方數(shù)，
設m＝x2（x＞0），
∴x×x是m的最佳分解，
∴F（m）＝＝1，故正確；
故說法正確的有4個．
三．解答題（共9小題）
17．【解答】解：（1）
＝a2b4+a2b4
＝a2b4；
（2）2024×2022﹣20232
＝（2023+1）×（2023﹣1）﹣20232
＝20232﹣1﹣20232
＝﹣1．
18．【解答】證明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
又∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°，
即兩滑梯的傾斜角∠ABC與∠DFE互余.
19．【解答】解：原式＝[ ]?
＝?
＝，
要使分式有意義，x不能取﹣1，1，
則當x＝0時，原式＝＝﹣1．
20．【解答】解：設甲種跳繩的單價為x元，則乙種跳繩的單價為（x+10）元，
由題意得：
解得：x＝42，
經檢驗，x＝42是原方程的解，且符合題意，
則x+10＝52，
答：甲種跳繩的單價為42元，乙種跳繩的單價為52．
21．【解答】解：（1）如圖所示；
（2）AF∥BC，且AF＝BC，
理由如下：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，
由作圖可得∠DAC＝2∠FAC，
∴∠C＝∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E為AC中點，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF＝BC．
22．【解答】解：（1）f（3）+f（）
＝+
＝+
＝1，
f（4）+f（）
＝+
＝+
＝1，
故答案為：1，1；
（2）f（x）+f（）＝1，
f（x）+f（）
＝+
＝+
＝
＝1，
故答案為：1；
（3）原式＝[f（2023）+f（）]+[f（2022）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1+1+…+1+0.5
＝2022.5．
23．【解答】證明：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
又∵∠C＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD是△ABC的一條等直分割線段；
（2）如圖，AD，AE是△ABC的兩條等直分割線段，
∴AD＝BD，∠BAE＝90°，AE＝CE，∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
24．【解答】解：（1）Ⅰ的面積是×3×4＝6，內部格點數(shù)是N＝3，邊上的格點數(shù)是L＝8，N+＝7，
Ⅲ的面積是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，內部格點數(shù)是N＝2，邊上的格點數(shù)是L＝9，N+＝6.5．
故答案為：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．
（2）由（1）可以總結出結論：S＝N+﹣1，
故答案為：S＝N+﹣1．
（3）長方形的面積＝mn，內部格點數(shù)是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，邊上的格點數(shù)是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），
∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，
∴S＝N+﹣1．
25．【解答】解：（1）∵點A（a，0）在x軸負半軸上，
∴AO＝﹣a，a＜0，
∵b2﹣4a2＝0，∴b+2a＝0或b﹣2a＝0，
∵AB＝b，
∴b+2a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴AB＝2OA，
在x軸的正半軸上取點C，使OC＝OA，連接BC，如圖1所示：
∵點B在y軸正半軸上，
∴OB⊥AC，
∴AB＝BC，
又∵AC＝2OA，
∴AC＝AB，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAO＝60°；
（2）連接BM，如圖2所示：
∵△APQ是等邊三角形，
∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，
∵∠BAO＝60°，
∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，
∵D為AB的中點，
∴AD＝AB，
∵∠ABO＝30°，
∴AO＝AB，
∴AD＝AO，
在△AQD和△APO中，
，
∴△AQD≌△APO（SAS），
∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，
即DQ⊥AB，
∴AM＝BM，
∴△ABM為等邊三角形，
∴OM＝AB＝3，
∴M（3，0）；
（3）過點F作FM∥x軸交CB的延長線于點M，如圖3所示：
則∠BCA＝∠FMB，
∵∠CBF＝∠AEB，
∴∠BEC＝∠MBF，
在△BEC和△FBM中，
，
∴△BEC≌△FBM（AAS），
∴EC＝BM，BC＝MF，
由（1）可知，△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，
∴AC＝MF，
∵點C與點A關于y軸對稱，
∴OC＝OA＝﹣a，
∴AC＝BC＝﹣2a，
又∵E是OC的中點，
∴OE＝EC＝﹣a＝BM，
∵MF∥AC，
∴∠ACP＝∠FMP，
在△PAC和△PFM中，
，
∴△PAC≌△PFM（AAS），
∴CP＝MP，
又∵MC＝BC+BM＝﹣2a﹣a＝﹣a，
∴BP＝MC﹣BM＝×（﹣a）﹣（﹣a）＝﹣a，CP＝MC＝﹣a，
∴＝＝．
多邊形
面積S
內部格點數(shù)N
邊上格點數(shù)L
N+
Ⅰ




Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ




Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
15.5
11
11
16.5

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