1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程為一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A．B．C．D．
4．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，且在邊上，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
5．關(guān)于拋物線說(shuō)法正確的是（ ）
A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
C．當(dāng)時(shí)，y有最大值D．拋物線的對(duì)稱軸為直線
6．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．等弧所對(duì)的弦相等B．相等的弦所對(duì)的弧相等
C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．相等的圓心角所對(duì)的弦相等
7．在“雙減政策”的推動(dòng)下，我區(qū)某中學(xué)學(xué)生每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少，2022年上學(xué)期每天書(shū)面作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為．設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)每期的下降率為，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知：若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解，另一個(gè)解為（ ）

A．B．C．D．
9．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，若，則的半徑為（ ）．

A．2B．3C．5D．8
10．若點(diǎn)與分別是兩個(gè)函數(shù)圖象與上的任一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在上是“相鄰函數(shù)”．例如，點(diǎn)與分別是兩個(gè)函數(shù)與圖象上的任一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，它在上，成立，因此這兩個(gè)函數(shù)在上是“相鄰函數(shù)”．若函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題，每小題4分，共24分）
11．若是一元二次方程的一個(gè)根，則 ．
12．如果點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
13．如果將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，那么平移后的拋物線解析式是 ．
14．如圖，是圓O的直徑，C是弧的中點(diǎn)，若，則的度數(shù) ．

15．如圖，直線y＝kx＋h和拋物線交于、兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是 ．
16．如圖，是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上兩點(diǎn)，連結(jié)相交于點(diǎn)，連結(jié)． 已知于點(diǎn)，；下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；③若，則；④；其中正確的是 ．
三．解答題（共9小題，總分86分）
17．解方程：
18．如圖，A、B、C、D是上的四點(diǎn)，．求證：．

19．已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)試判斷點(diǎn)是否在此函數(shù)圖象上．
20．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問(wèn)題
(1)的面積為 ；
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，畫(huà)出與成中心對(duì)稱的圖形．并寫(xiě)出坐標(biāo).
21．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若此方程的兩根分別為，，且，求的值．
22．某服裝店以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批恤，物價(jià)部門規(guī)定某銷售單價(jià)不得低于成本．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，在每件元的基礎(chǔ)上漲價(jià)，則每月銷售量(件)與每件漲價(jià)(元)符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；
(2)當(dāng)漲價(jià)多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
23．綜合實(shí)踐：
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且與軸交于另一點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線平行軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下：當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．定義：有且僅有一組對(duì)角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”，例如：凸四邊形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，則稱四邊形ABCD為準(zhǔn)平行四邊形．
(1)如圖（1）A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，延長(zhǎng)BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求證：四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；
(2)如圖（2），準(zhǔn)平行四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半徑為5，AB＝6，求四邊形ABCD的面積；
(3)如圖（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且∠BCD≠∠BAD，求BD長(zhǎng)的最大值．
參考答案與解析
1．D
【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A．該圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B．該圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
C．該圖不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D．該圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；
故選D．
2．D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A．方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
3．A
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為求解即可．
【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，掌握頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，然后由等腰三角形的性質(zhì)，求得的度數(shù)，繼而求得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，
，
，
．
故選B
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
5．D
【分析】根據(jù)拋物線，可判斷出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸以及y 的最大值，再根據(jù)拋物線的圖像可知其增減性
【詳解】解：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)稱軸為直線，故D正確；
拋物線，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故B錯(cuò)誤；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，y有最大值為0，故C錯(cuò)誤；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．
6．A
【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等,即可解答．
【詳解】解：A、等弧所對(duì)的弦一定相等；故原說(shuō)法正確；
B、在同圓和等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
D、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握定理的條件（在同圓或等圓中）是解此題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】利用2023年上學(xué)期平均每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)年上學(xué)期每天書(shū)面作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)每期的下降率，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)根據(jù)題意得：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解即可得到答案；
【詳解】解：由圖像可得，
，，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖像得到對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性求解．
9．C
【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂徑定理得，在中，利用勾股定理得．
【詳解】解：連接，
∵為的直徑，，
∴，
在中，，
∴，即．
解得，．
故選C．

10．B
【分析】由函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)拋物線的位置不同，令其最大值、最小值，解關(guān)于的不等式組即可得出結(jié)論．
【詳解】函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，
構(gòu)造函數(shù)，在上．
根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的位置不同，來(lái)考慮：
①當(dāng)，即時(shí)（圖，
，解得：，
此時(shí)無(wú)解；
②當(dāng)，即時(shí)（圖，
，解得：，
；
③當(dāng)，即時(shí)（圖，
，解得：，
此時(shí)無(wú)解；
④當(dāng)，即時(shí)（圖，
，解得：，
此時(shí)無(wú)解．
綜上可知：若函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，則的取值范圍為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是按拋物線的對(duì)稱軸不同結(jié)合“相鄰函數(shù)”的定義找出關(guān)于的不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)按對(duì)稱軸的位置不同來(lái)分段討論．
11．
【分析】把代入方程中，得到關(guān)于m的一元一次方程，解之即可求得m的值．
【詳解】解：∵是一元二次方程的一個(gè)根，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的概念，掌握此概念是關(guān)鍵．
12．
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”寫(xiě)出拋物線的解析式即可．
【詳解】解：依題意，得
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移確定函數(shù)圖象的平移可以使求解更簡(jiǎn)便，平移規(guī)律“左加右減，上加下減”．
14．##40度
【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵C是弧的中點(diǎn)，
∴弧弧，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】根據(jù)圖象直線在拋物線上方的部分即可得出答案．
【詳解】解：由知，
即圖象上直線在拋物線上方的部分，
由圖象可知x的取值范圍，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是要會(huì)把數(shù)和形有機(jī)結(jié)合．
16．①②③
【分析】由垂徑定理，圓周角定理的推論得出，由是的直徑，進(jìn)而根據(jù)等角的余角相等進(jìn)而判斷①；點(diǎn)為的中點(diǎn)，得出，進(jìn)而證明全等三角形的判定和性質(zhì)，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理得出，等量代換得出即可判斷②，連接，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)得出，則，得出為等邊三角形，由，即可得出繼而判斷③；勾股定理得出，當(dāng)時(shí)，，即可判斷④．
【詳解】解：①∵，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴
故①正確，符合題意；
②∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正確，符合題意；
③連接，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∵，
∴，
故③正確，符合題意；
④∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故④錯(cuò)誤，不符合題意；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理的推論，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握并熟練應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)．
17．，．
【分析】根據(jù)因式分解法求解一元二次方程即可得．
【詳解】解：，
，
∴或，
∴，．
【點(diǎn)睛】題目主要考查運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解法是解題關(guān)鍵．
18．見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)，得出，求出，即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三個(gè)量關(guān)系定理．
19．(1)
(2)點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)該拋物線的解析式為，把點(diǎn)A代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）把代入解析式，算一下y的值是否為，即可得出答案．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，
∴設(shè)該拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入中，得，
該拋物線的解析式為，
即；
（2）當(dāng)時(shí)，
，
點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，能熟練地運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
20．(1)
(2)見(jiàn)解析，的坐標(biāo)為
【分析】（1）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可；
（2）利用中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．
【詳解】（1）的面積為．
故答案為：．
（2）如圖，即為所求．
的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-中心對(duì)稱，熟練掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，結(jié)合，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
（2）解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，．
又，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，找出關(guān)于m的一元二次方程．
22．(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量的取值范圍是；
(2)當(dāng)漲價(jià)元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
【分析】（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為
則，
解得，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
，
，
自變量的取值范圍是；
（2）設(shè)服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤(rùn)為元，
根據(jù)題意得：
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)漲價(jià)元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
23．（1）①直觀猜想：我認(rèn)為：四種方案小路面積的大小相等；②，；③，；（2）小路的寬為
【分析】本題考查列代數(shù)式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．
（1）①通過(guò)平移的性質(zhì)，猜想即可；②直接利用兩條小路的面積之和減去重疊的小正方形的面積求出甲方案中的面積，根據(jù)平移的性質(zhì)，用大長(zhǎng)方形的面積減去平移后得到的長(zhǎng)方形的面積計(jì)算乙方案中的面積；③同法②，列出代數(shù)式即可；
（2）設(shè)小路的寬為，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可；
正確的識(shí)圖，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出代數(shù)式和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）①直觀猜想：我認(rèn)為：四種方案小路面積的大小相等，
故答案為：四種方案小路面積的大小相等；
②甲：；
乙：，
故答案為：，；
③甲：，
乙：，
故答案為：，；
（2）設(shè)小路的寬為，則，
解得：或（不合題意，舍去），
答：小路的寬為．
24．(1)答案見(jiàn)詳解
(2)答案見(jiàn)詳解
(3)答案見(jiàn)詳解
【分析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)得二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出線段的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在軸上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．由（3）得，，由勾股定理求出，由等腰的腰長(zhǎng)為或求出的長(zhǎng)即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）解：當(dāng)時(shí)，由，得，，
；
設(shè)直線的解析式為，
則，解得，
；
設(shè)，，則，
，
當(dāng)時(shí)，，
面積的最大值
∵點(diǎn)M在直線上，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴．
故面積的最大值，點(diǎn)
（3）解：存在．如圖，
由（2）得，當(dāng)最大時(shí)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，則，，
；
，
．
點(diǎn)、、、在軸上，
當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，則，
；
當(dāng)時(shí)，則，
；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則，
∴；
當(dāng)時(shí)，則，
．
綜上所述，存在以點(diǎn)M、點(diǎn)B、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰三角形的判定、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及勾股定理、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)和方法，解最后一題時(shí)要注意分類討論，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
25．(1)證明見(jiàn)解析
(2)49
(3)2+2
【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的判定定理可得是等邊三角形，可得，由，可證四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；
（2）連接BD，由準(zhǔn)平行四邊形的性質(zhì)可得，，得出BD是直徑，利用勾股定理可得，，結(jié)合圖形，四邊形ABCD的面積為與的面積和，求解即可得；
（3）根據(jù)題意作，然后作的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC延長(zhǎng)線于F，利用三角形內(nèi)角和定理及銳角三角函數(shù)解三角形可得，，根據(jù)四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，得出，由等邊對(duì)等角及三線合一性質(zhì)可得，，利用銳角三角函數(shù)可得，，由矩形的判定可得四邊形CFOE是矩形，，利用勾股定理得出，結(jié)合圖形可得：當(dāng)點(diǎn)D在BO的延長(zhǎng)線時(shí)，BD的長(zhǎng)有最大值，求解即可得．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
∵四邊形APBC是圓的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵，
∴四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；
（2）如圖所示：連接BD，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴，，
∵AC不是直徑，
∴，
∵四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，
∴，，
∴，
∴BD是直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四邊形ABCD的面積為：
，
；
，
，
∴四邊形ABCD的面積為49；
（3）如圖所示：根據(jù)題意作，然后作的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于F，
∵，，，
∴，，
∵四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且，
∴，
∴，且，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四邊形CFOE是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵當(dāng)點(diǎn)D在BO的延長(zhǎng)線時(shí)，BD的長(zhǎng)有最大值，
∴BD長(zhǎng)的最大值為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，利用勾股定理，銳角三角函數(shù)解三角形，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
主題
“晉中市第六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)主題”草坪設(shè)計(jì)
情境
為了迎晉中市第六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)，同學(xué)們參與一塊長(zhǎng)為米，寬為米的矩形“市運(yùn)主題”草坪方案設(shè)計(jì)，以下為小組對(duì)草坪設(shè)計(jì)的研究過(guò)程．
活動(dòng)任務(wù)一
請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩條相同寬度的小路連接矩形草坪兩組對(duì)邊．小組內(nèi)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)的方案主要有甲、乙、丙、丁四種典型的方案

驅(qū)動(dòng)問(wèn)題一
（1）小組設(shè)計(jì)出來(lái)的四種方案小路面積的大小關(guān)系？
①直觀猜想：我認(rèn)為 ；（請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言或代數(shù)式表達(dá)你的猜想）
②具體驗(yàn)證：選擇最簡(jiǎn)單的甲、乙方案，假設(shè)小路寬為1米，則甲、乙方案中小路的面積分別為 和 ；
③一般驗(yàn)證：若小路寬為米，則甲、乙方案中小路所占的面積分別為 和 ．
活動(dòng)任務(wù)二
為施工方便，學(xué)校選擇甲方案設(shè)計(jì)，并要求除小路后草坪面積約為1064平方米．
驅(qū)動(dòng)問(wèn)題二
（2）請(qǐng)計(jì)算兩條小路的寬度是多少？

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