高二年級(jí)數(shù)學(xué) 試題（B卷）
注意事項(xiàng)：
1．考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分.試題卷總頁(yè)數(shù)：4頁(yè).
2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效.
3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑.需要書(shū)寫(xiě)的地方一律用0.5MM簽字筆書(shū)寫(xiě).
4．答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）
1．下列直線中，與直線平行的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，遞推公式為，則（ ）
A．B．C．D．
3．下列導(dǎo)數(shù)公式不正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
5．已知空間四點(diǎn)，，，，且，則滿足條件點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓心為點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．或B．C．D．
8．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
9．在函數(shù)圖象上取一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則為（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如下表，為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如下圖所示.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分.）
11．已知兩條直線和互相垂直，則a＝ .
12．拋物線的準(zhǔn)線方程為 .
13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則 .
14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，則左焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為 .
15．如圖，是棱長(zhǎng)為4的正方體，點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則到面的距離為 .
三、解答題（本題共5小題，每小題15分，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
16．已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17．已知直線l的傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，
(1)求直線l的直線方程；
(2)若以原點(diǎn)為圓心的圓C恰好與直線l相切，求圓C的方程.
18．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，且，， 平面，、分別是線段、的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
19．已知點(diǎn)，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，且橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線過(guò)點(diǎn)且斜率為2，與橢圓交于兩點(diǎn)，求線段的值．
20．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的極值．
參考答案與解析
1．D
【解析】直線的斜率為2，找出斜率為2的直線方程即可.
【解答】因?yàn)橹本€的斜率為2，
又直線的斜率也為2，
所以兩直線平行.
故選：D
【點(diǎn)撥】本題考查兩直線平行斜率相等，考查對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.
2．D
【分析】利用遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得出的值.
【解答】由題意.
故選：D.
3．C
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式直接判斷即可．
【解答】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，ABD正確；C錯(cuò)誤，應(yīng)為.
故選：C.
4．B
【分析】?jī)蓚€(gè)方程的聯(lián)立，加減消元法計(jì)算即可.
【解答】……①
……②
①+②得：……③
③代入②有：……④
由③④得交點(diǎn)坐標(biāo)為：.
故選：B.
5．A
【分析】根據(jù)，得，然后利用空間共線平行向量即可求解.
【解答】由題意知，，，且設(shè)，
所以得，解得，即，故A正確.
故選：A.
6．A
【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，從而可求出圓的方程.
【解答】由題意得圓的半徑為，
則圓的方程為.
故選：A.
7．A
【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，列出關(guān)于不等式，求解即可得到答案
【解答】由雙曲線的性質(zhì)：，
解的或，
故選：A
8．B
【分析】對(duì)求導(dǎo)后，解不等式即可.
【解答】因?yàn)?),
所以,
令,解得：,
故函數(shù)()的單調(diào)增區(qū)間是 .
故選：B.
9．C
【分析】利用解析式求解出后，直接作比可得結(jié)果.
【解答】，，.
故選：C.
10．A
【分析】由圖象可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即可求解.
【解答】由題意知當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，
由，，所以，得，故A正確.
故選：A.
11．
【分析】由兩直線互相垂直斜率間的關(guān)系，求的值.
【解答】直線斜率為3，直線和互相垂直，
則直線的斜率.
故答案為：
12．
【分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由此得到題目所求準(zhǔn)線方程.
【解答】拋物線的準(zhǔn)線方程是.
故答案為：.
13．
【分析】結(jié)合已知條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式解出首項(xiàng)和公比，可求前5項(xiàng)的和.
【解答】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則有，解得，
.
故答案為：
14．2
【分析】求出雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)及漸近線的方程，再借助點(diǎn)到直線距離求出答案.
【解答】由雙曲線得，，
∴雙曲線的漸近線方程為，即
∴左焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，
故答案為：2.
15．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)面距離即可.
【解答】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
所以，
取，即，
故到平面的距離.
故答案為：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義判斷數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)，公差求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出的前項(xiàng)和即可.
【解答】（1）因?yàn)椋郑?br>由等差數(shù)列的定義知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由等差數(shù)列的求和公式可得：，所以
17．(1)
(2)
【分析】（1）由傾斜角算斜率，點(diǎn)斜式求直線方程；
（2）由圓心到直線距離等于半徑，根據(jù)圓心和半徑求圓的方程.
【解答】（1）直線l的傾斜角為，則直線的斜率，
直線過(guò)點(diǎn)，所以直線l的方程為，即.
（2）圓心到直線l的距離為，
由于直線l與圓相切，所以圓的半徑，
故圓的方程為.
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由題意得，，從而得平面，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量夾角公式求線面所成的角.
【解答】（1）因?yàn)榈酌媸蔷匦危?
又因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，
則平面，
因?yàn)槠矫?，所?
（2）如圖，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，可得，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)和離心率，結(jié)合，求出，，得到橢圓方程；
（2）求出直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出答案.
【解答】（1）由題意得，解得，
又，故，解得，
故橢圓方程為；
（2）由題意得，，
可得直線方程為，
聯(lián)立與得，
設(shè)，故，
故.
20．(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而由極值的定義表示極值.
【解答】（1）當(dāng)時(shí)，，
由得，切點(diǎn)，
，則切線的斜率，
故切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
∴函數(shù)有極小值.

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