一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
sin 3π 等于
4
（A） ? 2
2
（B） ? 1
2
（C） 2
2
函數(shù) f (x) ? tan 2x 的最小正周期等于
（A） π
2
3π
2
下列函數(shù)中，不．是．表示同一函數(shù)的是
x ? cs?，y ? cs x
1
2
π
（D） 2π
y ? ln x2 ，y ? 2 ln x
y ? 1，y ? sin2 x ? cs2 x
y ? ?x ，x ≥ 0 ， ，y ?| x |
??x ，x ? 0 ．
?
下列函數(shù)中，在區(qū)間(0 ，1) 上單調(diào)遞增的是
x
（A） y ? 2?x（B） y ? ?
y ? lg 1 x
2
y ? sin x
下列區(qū)間中，方程 2x ? 4 x ? 3 ? 0 的解所在區(qū)間是
（A） (? 1 ，0)
4
（B） (0 1 )
，
4
，
（C） (1 1)
4 2
（D） (1 3)
，
2 4
已知?，?? R ，則“?? ?”是“ sin?? sin ?”的
充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
已知?為第二象限角，且sin(?? π) ? ? 3 ，則tan(?? π) 等于
（A） ?7
54
（B）1
（C） ?1（D） 7
要得到函數(shù) y ? sin(1 x ? π) 的圖象，只需將函數(shù) y ? sin x 圖象上的所有點
24
先向右平移 π 個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍
4
先向右平移 π 個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的 1
42
先向右平移 π 個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍
8
先向右平移 π 個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的 1
82
設(shè)0 ? m ? 1 ? a ? b ，給出下列四個結(jié)論：① ma ? mb ；② am ? bm ；
③ lg
m ? lg m ；④ b?a．其中所有正確結(jié)論的序號是
aba ? mb ? m
（A）①②（B）③④
（C）①②③（D）①③④
已知函數(shù) f (x) ? x ? lg2 x ? 4 的零點為 x1 ，g(x) ? x ? lga (x ? 1) ? 5 (a ? 1) 的零點為 x2 ，若 x2 ? x1 ? 1 ，則實數(shù) a 的取值范圍是
（A） (1， 2)（B） ( 2 ，2)
（C） (1，2)
(2 ，? ?)
第二部分 （非選擇題 共 110 分）
二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。
函數(shù) y ? tan x 的定義域是．
“密位”是一種度量角的單位．我國采用的“密位制”是 6000 密位制，即將一個圓周
分為 6000 等份，每一個等份是一個密位．那么 300 密位等于rad．
指數(shù)函數(shù) y ? ax 在區(qū)間[1，2] 上最大值與最小值的差為 2，則 a 等于．
已知函數(shù) f (x) ?| ln x | ，若 f (x) ? 1 ，則 x ? ；若0 ? a ? b ，且 f (a) ? f (b) ，則 a ? b
的取值范圍是．
已知函數(shù) f (x) 對任意的 x ，y ? R ，都有 f (x) ? f (x ? y) 成立．給出下列結(jié)論：
f ( y)
① f (0) ? 1 ；② f (x2 ) ? 2 f (x) ；③ f (x) ? 0 ；④ f (x) ? f ( y) ≥ f ( x ? y ) ．
22
其中所有正確結(jié)論的序號是．
三、解答題共 6 小題，共 85 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題 14 分）
(?2)2
25 ? 1
（Ⅰ）求值： () 2 ?
9
? eln 2 ? lg；
5 100
5
（Ⅱ）已知10a ? 2 ，10b ? 3 ，用 a ，b 表示lg 12 ．
（17）（本小題 14 分）
在平面直角坐標(biāo)系中，角?的終邊與單位圓交于點 P( 4 ，? 3) ，若角?與?的頂點均為
55
坐標(biāo)原點O ，始邊均為 x 軸的非負(fù)半軸，將OP 繞原點O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) π 后與角?的終
4
邊OQ 重合．
求cs 2?的值；
求sin( π ? ?) 的值．
2
（18）（本小題 14 分）
已知函數(shù) f (x) ? sin x cs x ? sin2 x ，x ? R ．
求 f (x) 的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
，
求 f (x) 在區(qū)間[? π π ] 上的最大值與最小值．
4 4
（19）（本小題 14 分）
已知函數(shù) f (x) ? ln(1 ? x) ， g(x) ? ln(1 ? x) ．
求證： f (x) ? g(x) 為偶函數(shù)；
設(shè) h(x) ? f (x) ? g(x) ，判斷 h(x) 的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明．
（20）（本小題 14 分）
設(shè)關(guān)于 x 的函數(shù) y ? cs 2x ? 2a cs x ? 2a 的最小值為 f (a) ．
（Ⅰ）求 f (a) ；
（Ⅱ）若 f (a) ? 1
2
，求函數(shù) y 的最大值．
（21）（本小題15分）
摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m, 轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn) 艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30 min．
（ Ⅰ ） 游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動 t min 后距離地面的高度為 H m, 求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H 關(guān)于 t 的函數(shù)解析式；
求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5 min后距離地面的高度；
若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一
周的過程中，求兩人距離地面的高度差 h (單位：m)關(guān)于t 的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1)．
（參考公式與數(shù)據(jù)： sin?? sin?? 2sin??????
cs；
22
cs?? cs?? ?2sin??????sin π
? 0.065 ．）
sin；
2248
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）
大興區(qū) 2023～2024 學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測
高一數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）
二、填空題（共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分）
（11）{x | x 1 π + kπ ，k ? Z} ．
2
（12） π ．
10
（13） 2 ．
（14） x ? e ，或 x ? 1 （只寫對一個給 2 分，兩個全對給 3 分）； (2 ，? ?) （2 分）
e
（15）①③④（只選對一個給 2 分，只選對兩個給 3 分；全對給 5 分，有錯誤選項給 0 分）
三、解答題（共 6 小題，共 80 分）
（17）（本小題 14 分）
5? 11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
D
C
B
A
A
D
D
解：（Ⅰ） 原式? (( )2 ) 2 ? | ?2 | ?2 ? lg(102 ) 5
3
…………4 分
5 ?2
? ( ) 1 ? 2 ? 2 ? lg10 5
3
? 3 ? 2
55
? 1
…………7 分
…………8 分
（Ⅱ）由已知， a ? lg 2 ，b ? lg 3 ，2 分
55
則lg 12 ? lg (3 ? 22 )
? lg(3 ? 22 )
lg 10
2
? lg 3 ? 2 lg 2 1 ? lg 2
? 2a ? b
1 ? a
…………3 分
…………5 分
…………6 分
高一數(shù)學(xué)期末檢測試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 1頁（共 5 頁）
（17）（本小題 14 分）
解：（Ⅰ）由三角函數(shù)定義， sin?? ? 3 ， cs?? 4 ，2 分
5
cs 2?? cs2?? sin 2?
5
…………3 分
? 16 ? 9
…………5 分
2525
? 7
25
…………6 分
（Ⅱ）由題意， ???? π ? 2kπ ，k ? Z ，2 分
4
sin( π ? ?) ? cs? 2
? cs(?? π ? 2kπ)
4
? cs(?? π)
4
…………3 分
…………4 分
?2 cs??2 sin?
…………5 分
22
? 4 2 ? 3 2
1010
? 7 2
10
…………7 分
…………8 分
（18）（本小題 14 分）
解：（Ⅰ）因為 f (x) ? sin x cs x ? sin2 x
? 1 sin 2x ? 1 ? cs 2x
22
? 1 sin 2x ? 1 cs 2x ? 1
222
…………2 分
…………3 分
?2 sin(2x ? π) ? 1 ,4 分
242
所以 f (x) 的最小正周期T ? 2π ? π ．6 分
2
函數(shù) y ? sin x 的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k π ? π , 2k π ? π]
22
(k ? Z) ．7 分
由 2k π ? π ≤ 2x ? π ≤ 2k π ? π ，8 分
242
得 k π ? 3π ≤ x ≤ k π ? π ．
88
所以 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為[k π ? 3π , k π ? π ]
88
(k ? Z) ．9 分
（Ⅱ）因為? π ≤ x ≤ π ，所以? π ≤ 2x ? π ≤ 3π ．1 分
44444
高一數(shù)學(xué)期末檢測試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 2頁（共 5 頁）
當(dāng) 2x ? π ? ? π ，即 x ? ? π 時， f (x) 取得最小值 f (? π) ? ?1 ．3 分
4444
當(dāng) 2x ? π ? π ，即 x ? π 時， f (x) 取得最大值 f ( π) ?2 ?1 ．5 分
42882
2 ?1
[? π π
所以 f (x) 在區(qū)間
（19）（本小題 14 分）
， ] 上的最小值為?1 ，最大值為．
4 42
?1 ? x ? 0
證明：函數(shù) f (x) ? g(x) 的自變量 x 滿足?，
?1 ? x ? 0
解得?1 ? x ? 1 ，
所以函數(shù) f (x) ? g(x) 的定義域為(?1，1) ．2 分
對于?x ? (?1，1) ，都有?x ? (?1，1) ，且
f (?x) ? g(?x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ，
? g(x) ? f (x) ．4 分
所以函數(shù) f (x) ? g(x) 為偶函數(shù)．5 分
函數(shù) h(x) 是單調(diào)遞增函數(shù)．1 分
證明：設(shè)?x1 ，x2 ?(?1，1) ，且 x1 ? x2 ，2 分
h(x1 ) ? h(x2 ) ? ln(1 ? x1 ) ? ln(1 ? x1 ) ? (ln(1 ? x2 ) ? ln(1 ? x2 ))
? ln(1 ? x1 ) ? ln(1 ? x2 ) ? (ln(1 ? x1 ) ? ln(1 ? x2 ))
? ln(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ln(1 ? x1 )(1 ? x2 )
…………4 分
(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 2(x1 ? x2 ) ，5 分
因為 x1 ? x2 ，所以 2(x1 ? x2 ) ? 0 ，即(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ，6 分
又知 x1 ，x2 ?(?1，1) ，所以(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ，(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ，因此ln(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? ln(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ，7 分
即 h(x1 ) ? h(x2 ) ，由函數(shù)單調(diào)性定義可知，8 分
函數(shù) h(x) 是單調(diào)遞增函數(shù)．9 分
高一數(shù)學(xué)期末檢測試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 3頁（共 5 頁）
（20）（本小題 14 分）
解：（Ⅰ） y ? 2 cs2 x ? 2a cs x ? 2a ? 1 ，
設(shè)t ? cs x ，則 y ? 2t 2 ? 2at ? 2a ? 1 ， t ?[?1，1]2 分
由于 y ? 2(t ?
a )2
a2
???
2a 1，3 分
22
若 a ? ?1 ，則當(dāng)t ? ?1 時， y 取得最小值1，即 f (a) ? 1 ；5 分
2
?aaya2a2
若 1≤ ≤1，則當(dāng)t ?時， 取得最小值?? 2a ? 1 ，即 f (a) ? ?? 2a ?1 ；…7 分
2222
若 a ? 1 ，則當(dāng)t ? 1 時， y 取得最小值1 ? 4a ，即 f (a) ? 1 ? 4a ．
2
?1，a ? ?2 ，
? a2
所以 f (a) ? ??? 2a ?1 ，? 2 ≤ a ≤ 2 ，9 分
2
?
?
??1 ? 4a ，a ? 2 .
由第（Ⅰ）問的結(jié)論可知，
當(dāng) a ? ?2 時， f (a) ? 1 無解；.……1 分
2
當(dāng)?2 ≤ a ≤ 2 時，由 f (a) ? 1 ，解得 a ? ?1，或 a ? ?3 （舍）；.……2 分
2
當(dāng) a ? 2 時，由 f (a) ? 1 ，解得 a ? 1 （舍），.……3 分
28
綜上 a ? ?1，
此時 y ? 2 cs2 x ? 2 cs x ? 1
? 2(cs x ? 1) 2 ? 1 ．
22
當(dāng)cs x ? 1，即 x ? 2kπ(k ? Z) 時， y 取得最大值 5 ．5 分
（21）（本小題 15 分）
解：（Ⅰ）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點 P ，以軸心 O 為原點，與地面平行的直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系.
設(shè) t ? 0min 時，游客甲位于點 P(0 ，? 55) ，
以 OP 為終邊的角為? π ；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)
2
一周大約需要 30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的
π
角速度約為 15 rad/min, 由題意可得
H ? 55sin( π t ? π) ? 65 ，0 ≤ t ≤ 30.5 分
152
高一數(shù)學(xué)期末檢測試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 4頁（共 5 頁）
（Ⅱ）當(dāng)t ? 5 時，
H ? 55sin( π ? 5 ? π) ? 65 ? 37.5 ．
152
所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動 5min 后距離地面的高度約為 37.5m．2 分
如圖，甲、乙兩人的位置分別用點 A，B 表示，則?AOB ? 2π ? π
. .……1 分
經(jīng)過 t min 后甲距離地面的高度為 H1
4824
? 55sin( π t ? π) ? 65 ，點 B 相對于點 A 始終落后
152
π rad， 此時乙距離地面的高度為 H
241
? 55sin( π t ? 13π) ? 653 分
1524
則甲、乙距離地面的高度差
h ?| H
1 ? H 2
|? 55 | sin( π t ? π) ? sin( π t ? 13π
) |
1521524
.……4 分
? 55 | sin( π t ? π) ? sin( 13π ? π t) | ．
1522415
cs
利用sin?? sin?? 2sin ??????，可得
22
h ? 110 | sin
π sin( π t ? π ) | ，0 ≤t ≤30 ．6 分
481548
當(dāng) π t ? π ? π （或 3π ），即t ? 7.8 （或 22.8)時，h 的最大值為110sin( π ) ? 7.2 ．
15482248
所以， 甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為 7.2m．8 分
高一數(shù)學(xué)期末檢測試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 5頁（共 5 頁）

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