1.下列四個字中可以看作是軸對稱圖形的是( )
A. 幸B. 福C. 惠D. 州
2.下列長度的三條線段，能組成三角形的是( )
A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6
3.下列汽車標志中，不是由多個全等圖形組成的是( )
A. B. C. D.
4.計算a3?a2的結果是( )
A. aB. a6C. 6aD. a5
5.在平面直角坐標系中，若點P的坐標為(2,1)，則點P關于y軸對稱的點的坐標為( )
A. (?2,?1)B. (2,?1)C. (?2,1)D. (2,1)
6.如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是( )
A. B. C. D.
7.下列式子中是分式的是( )
A. 1πB. x3C. 25D. 1x?1
8.如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離DE的長度為( )
A. 30cmB. 27cmC. 24cmD. 21cm
9.如圖，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，則∠A等于( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
10.小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應該在( )
A. B.
C. D.
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.分解因式：a2?ab=______．
12.若代數(shù)式5x?2有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______ ．
13.在“三角尺拼角”實驗中，小明同學把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則∠1=______°.
14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC、AB于點M、N，再分別以M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點D，若CD=3，AB=10，則△ABD的面積是________．
15.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結BD.若CD=1，則AD的長為 ．
三、解答題：本題共9小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題4分)
分式化簡：3?aa?2+1．
17.(本小題4分)
如圖，AB=AC，∠BAD=∠CAD.求證：BD=CD．
18.(本小題8分)
將一個正六邊形的紙片對折，并完全重合.那么得到的圖形是幾邊形？它的內角和(按一層計算)是多少度？
19.(本小題8分)
隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評.某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務，問原計劃平均每大制作多少個擺件？
20.(本小題9分)
回答下列問題：
(1)計算：
①(x+2)(x+3)= ______ ；
②(x+2)(x?3)= ______ ．
③(x?2)(x+3)= ______ ；
④(x?2)(x?3)= ______ ．
(2)總結公式(x+a)(x+b)=x2+ ______ x+ab
(3)已知a，b，m均為整數(shù)，且(x+a)(x+b)=x2+mx+5.求m的所有可能值．
21.(本小題9分)
如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D均為格點(網(wǎng)格線的交點)．
(1)畫出線段AB關于直線CD對稱的線段A1B1；
(2)將線段AB向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A2B2，畫出線段A2B2；
(3)描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．
22.(本小題9分)
如圖，BD是△ABC的角平分線，DE/?/BC，交AB于點E．
(1)求證：∠EBD=∠EDB．
(2)當AB=AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．
23.(本小題12分)
【教材原題】觀察圖①，用等式表示圖中圖形的面積的運算為______ ．
【類比探究】觀察圖②，用等式表示圖中陰影部分圖形的面積和為______ ．
【應用】(1)根據(jù)圖②所得的公式，若a+b=10，ab=5，則a2+b2= ______ ．
(2)若x滿足(11?x)(x?8)=2，求(11?x)2+(x?8)2的值．
【拓展】如圖③，某學校有一塊梯形空地ABCD，AC⊥BD于點E，AE=DE，BE=CE.該校計劃在△AED和△BEC區(qū)域內種花，在△CDE和△ABE的區(qū)域內種草.經(jīng)測量種花區(qū)域的面積和為252，AC=7，直接寫出種草區(qū)域的面積和．
24.(本小題12分)
如圖，在△ABC中，BC=7，AD⊥BC于D、BE⊥AC于E，AD、BE相交于點O，且AE=BE．
(1)求∠ACB+∠AOB=______°.
(2)試說明：△AEO≌△BEC；
(3)點F是直線AC上的一點且CF=BO，動點P從點O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t秒，問是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請在備用圖中畫出大致示意圖，并求出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D選項中的字都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：A．
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
2.【答案】C
【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項不符合題意；
∵2+27，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；
∵3+3=6，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，
故選：C．
根據(jù)三角形的三邊關系分別判斷即可．
本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．
3.【答案】B
【解析】解：A、組成圖形的四個圓形全等，故本選項不符合題意；
B、組成圖形的三個圖形不全等，故本選項符合題意；
C、組成圖形的兩個圖形全等，故本選項不符合題意；
D、組成圖形的三個圖形全等，故本選項不符合題意．
故選：B．
根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形對各選項分析判斷利用排除法求解．
本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質，屬于較容易的基礎題．
4.【答案】D
【解析】解：a3?a2=a5．
故選：D．
直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案．
此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
5.【答案】C
【解析】解：點P的坐標是(2,1)，則點P關于y軸對稱的點的坐標是(?2,1)，
故選：C．
根據(jù)關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案．
本題考查了關于y軸的對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
6.【答案】A
【解析】解：△ABC中BC邊上的高的是A選項．
故選：A．
【分析】本題考查了三角形的高線，熟記高線的定義是解題的關鍵．
根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點向對邊引垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．
7.【答案】D
【解析】解：1π，x3，25分母中都沒有未知數(shù)，所以不是分式，而1x?1分母中有未知數(shù)，故D選項是分式．
故選：D．
根據(jù)分式的定義逐個判斷即可．
本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關鍵，已知整式A和B，如果AB中分母B含有字母，那么AB叫分式．
8.【答案】A
【解析】解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
由題意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=30(cm)，
答：兩堵木墻之間的距離為30cm．
故選：A．
根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質進行解答．
此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．
9.【答案】B
【解析】解：如圖所示，連接BC，
∵BD=CD，∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵∠ABD=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=50°，
∴∠A=180?∠ABC?∠ACB=80°，
故選：B．
連接BC，根據(jù)等腰三角形的性質可求出∠ABC和∠DBC的度數(shù)，即可得答案．
本題考查等腰三角形的性質，等腰三角形的兩個底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質是解題關鍵．
10.【答案】C
【解析】解：如圖：作點A關于街道的對稱點A′，連接A′B交街道所在直線于點C，
∴A′C=AC，
∴AC+BC=A′B，
在街道上任取除點C以外的一點C′，連接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′=A′C′+BC′，
在△A′C′B中，兩邊之和大于第三邊，
∴A′C′+BC′>A′B，
∴AC′+BC′>AC+BC，
∴點C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?br>故選：C．
本題利用軸對稱的性質，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題，結合三角形的三邊關系解題即可．
本題考查軸對稱?最短路線的問題，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題．會作對稱點是解此類問題的基礎，要求學生能熟練掌握，并熟練應用．另外本題的解決還應用了三角形的三邊關系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會有變式：請你找出點C的位置．
11.【答案】a(a?b)
【解析】解：a2?ab=a(a?b)．
直接把公因式a提出來即可．
本題主要考查提公因式法分解因式，屬于基礎題．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由題意得：x?2≠0，
解得：x≠2，
故答案為：x≠2．
根據(jù)分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．
本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式的分母不為零是解題的關鍵．
13.【答案】120
【解析】解：由三角形的外角的性質可知，∠1=90°+30°=120°，
故答案為：120．
根據(jù)三角形的外角的性質計算即可．
本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．
14.【答案】15
【解析】解：如圖，作DE⊥AB于E，
由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面積=12×AB×DE=12×10×3=15，
故答案為：15．
作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質得到DE=DC=3，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
本題考查的是角平分線的性質、基本作圖，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本題主要考查線段的垂直平分線，含30°角的直角三角形的性質，求得AD=BD是解題的關鍵．
由線段垂直平分線的性質可得AD=BD，利用含30°角的直角三角形的性質可求解BD的長，進而求解．
【解答】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°?30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC?∠ABD=30°，
∵∠C=90°，CD=1，
∴BD=2CD=2，
∴AD=2．
故答案為2．
16.【答案】解：3?aa?2+1=3?aa?2+a?2a?2
=1a?2．
【解析】根據(jù)分式的加法進行計算即可求解；
本題考查了分式的混合運算，注意1的轉化．
17.【答案】證明：在△ABD與△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴BD=CD．
【解析】由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD可證明△ABD≌△ACD，從而可得BD=CD．
本題考查全等三角形的判定及性質，解題關鍵是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性質．
18.【答案】解：當沿過兩個端點的對稱軸所在的直線折疊時，得到的圖形是四邊形，內角和是(4?2)×180°=360°；
當沿對邊中點所在的直線折疊時，得到的圖形是五邊形，內角和是(5?2)×180°=540°．
【解析】由于正六邊形有2種對稱軸，可按這兩種對稱軸分別折疊計算．
解決本題的關鍵是抓住不同的對稱軸進行折疊得到不同的多邊形．
19.【答案】解：設原計劃平均每天制作x個擺件，
根據(jù)題意，得3000x?30001.5x=5，
解得x=200，
經(jīng)檢驗，x=200是原方程的根，且符合題意，
答：原計劃平均每天制作200個擺件．
【解析】設原計劃平均每天制作x個擺件，根據(jù)“結果提前5天完成任務”列分式方程，求解即可．
本題考查了分式方程的應用，理解題意并能根據(jù)題意建立方程是解題的關鍵．
20.【答案】解：(1)①x2+5x+6；
②x2?x?6；
③x2+x?6；
④x2?5x+6；
(2)(a+b)；
(3)(x+a)(x+b)=x2+mx+5，
∴x2+(a+b)x+ab=x2+mx+5，
∴a+b=m，ab=5，
∵a，b，m均為整數(shù)，
∴a=1，b=5或a=?1，b=?5或a=5，b=1或a=?5，b=?1，
當a=1，b=5時，m=a+b=1+5=6；
當a=?1，b=?5時，m=a+b=?1?5=?6；
當a=5，b=1時，m=a+b=5+1=6；
當a=?5，b=?1時，m=a+b=?5?1=?6；
綜上，mm的所有可能值為6或?6．
【解析】【分析】
本題主要考查多項式乘多項式，注意不要漏項，漏字母，有同類項的要合并同類項．
(1)根據(jù)多項式乘多項式的法則計算①②③④這四個式子即可；
(2)根據(jù)(1)中的結果總結公式即可；
(3)運用(2)中的結論計算等式的左邊，然后根據(jù)左右兩邊相等得到a+b=m，ab=5，再根據(jù)a，b，m均為整數(shù)，得出a=1，b=5或a=?1，b=?5或a=5，b=1或a=?5，b=?1，最后計算即可得出m的所有可能值．
【解答】
解：(1)①(x+2)(x+3)
=x2+3x+2x+6
=x2+5x+6；
②(x+2)(x?3)
=x2?3x+2x?6
=x2?x?6；
③(x?2)(x+3)
=x2+3x?2x?6
=x2+x?6；
④(x?2)(x?3)
=x2?3x?2x+6
=x2?5x+6；
故答案為：x2+5x+6；x2?x?6；x2+x?6；x2?5x+6；
(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
故答案為：(a+b)；
(3)見答案．
21.【答案】解：(1)線段A1B1如圖所示；
(2)線段A2B2如圖所示；
(3)直線MN即為所求．
【解析】(1)根據(jù)軸對稱的性質畫出圖形即可；
(2)根據(jù)平移的性質畫出圖形即可；
(3)根據(jù)線段垂直平分線的作法畫出圖形即可．
本題考查了作圖?軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．也考查了線段垂直平分線的性質．
22.【答案】(1)證明：∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠CBD=∠EBD，
∵DE/?/BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB．
(2)解：CD=ED，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DE/?/BC，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
又AB=AC，
∴CD=BE，
由(1)得，∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴CD=ED．
【解析】(1)利用角平分線的定義和平行線的性質可得結論；
(2)利用平行線的性質可得∠ADE=∠AED，則AD=AE，從而有CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，可知BE=DE，等量代換即可．
本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關鍵．
23.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+b2 90
【解析】解：【教材原題】：觀察圖①可得，(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案為：(a+b)2=a2+2ab+b2；
【類比探究】：觀察圖②可得，圖中陰影部分圖形的面積和=a2+b2，
故答案為：a2+b2；
【應用】：(1)a2+b2=(a+b)2?2ab=100?10=90，
故答案為：90；
(2)(11?x)2+(x?8)2=[(11?x)+(x?8)]2?2(11?x)(x?8)=9?4=5，
∴(11?x)2+(x?8)2的值是5；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE=DE，BE=CE，
∴S△ADE=12AE2，S△BEC=12CE2，
∵種花區(qū)域的面積和為252，
∴AE2+CE2=25，
∵AC=7，
∴AE?CE=12，
∴AE?BE=DE?CE=12，
∴種草區(qū)域的面積和=12(AE?BE+DE?CE)=12．
【教材原題】觀察圖①，可得等式；
【類比探究】陰影部分由兩個正方形組成；
【應用】(1)根據(jù)完全平方公式可得；
(2)運用完全平方公式可得；
【拓展】已知種花區(qū)域面積和AC=7，可得AE?CE，即可求出種草區(qū)域的面積和．
本題考查了完全平方公式，關鍵是熟練掌握并學會運用完全平方公式解決問題．
24.【答案】180
【解析】(1)解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠DOE=360°?(∠BEC+∠ADC)=180°，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠ACB+∠DOE=180°，
故答案為：180；
(2)證明：∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=∠ACB+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△AEO和△BEC中，
∠AEO=∠AEC=90°∠CAD=∠CBEAE=BE，
∴△AEO≌△BEC(AAS)；
(3)解：如圖1，
當點F在AC的延長線上時，
∵∠ACB+∠DOE=180°，∠FCQ+∠ACB=180°，
∴∠AOB=∠FCQ，
∵OB=CF，
∴當CQ=OP時，△BOP≌△CFQ，
∴7?4t=t，
∴t=75，
如圖2，
同上：△FCQ≌△BOP，
此時CQ=OP，
∴4t?7=t，
∴t=73，
綜上所述：當t=75或73時，△BOP與△CFQ全等．
(1)在四邊形CDOE中，∠ADC=∠BEC=90°，根據(jù)四邊形內角和得出∠ACB和∠DOE互補，進一步求得結果；
(2)由“AAS”可證△AEO≌△BEC；
(3)分為點F在AC的延長線時，△BOP≌△FCQ，此時CQ=OP，可求得結果；當點F在AC上，點Q帶BC的延長線上時，△FCQ≌△BOP，根據(jù)CQ=OP可求得另一個值．
本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是正確分類，考慮全面．

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廣東省惠州市2021-2022學年八年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

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