2023-2024學年天津五十五中九年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

這是一份2023-2024學年天津五十五中九年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析），共36頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）下列圖形是中心對稱圖形的是
A．B．C．D．
2．（3分）一個不透明的袋子里裝有6個紅球和3個黃球，它們除顏色外其余都相同．從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為
A．B．C．D．2
3．（3分）如圖，中，弦與交于點，點為中點，，，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
4．（3分）用配方法解方程，變形后的結果正確的是
A．B．C．D．
5．（3分）關于二次函數(shù)的圖象，下列說法中錯誤的是
A．拋物線開口向下
B．拋物線的頂點坐標是
C．拋物線與軸有兩個交點分別是和
D．當，和，是拋物線上的點，則當時，則
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則邊的對應點的坐標是
A．B．
C．或D．或
7．（3分）如圖，設計一長，寬的彩旗，圖中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條寬度比為，若使彩條所占面積是彩旗的，設豎彩條寬度為 ，則根據(jù)題意可列方程為
A．
B．
C．
D．
8．（3分）在同一平面直角坐標系內(nèi)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是
A．B．
C．D．
9．（3分）如圖，，是的切線，、為切點，為的直徑，弦，則下列選項錯誤的是
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，在中，，，，若四邊形的面積為16，則的面積是
A．4B．C．2D．
11．（3分）如圖，在的內(nèi)切圓（圓心為點與各邊分別相切于點，，，連接，，．以點為圓心，以適當長為半徑作弧分別交，于，兩點；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法正確的是
A．點、、、四點共線
B．點是三條角平分線的交點
C．若是等邊三角形，則
D．若，則
12．（3分）如圖，拋物線的頂點為，與軸的一個交點，與軸的交點在和之間．下列結論中：①；②；③；④，則正確的個數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
13．（3分）半徑為6的圓內(nèi)接正三角形的邊長為 ．
14．（3分）不透明袋子中裝有3個球，其中有2個綠球、1個紅球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出2個球，則兩個都取到綠球的概率為 ．
15．（3分）拋物線有最 點（填“高”或“低” ，這個點的坐標是 ；把這個拋物線向左平移2個單位，再向上平移4個單位得到的新拋物線是 ．
16．（3分）如圖，將繞點逆時針旋轉角得到，點的對應點恰好落在邊上，若，，則的度數(shù)是 ．
17．（3分）如圖，在正方形中，，點，分別為邊，上動點，且，連接，交于點，連接，則線段長度的最小值為 ．
18．（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，內(nèi)接于圓，且頂點、均在格點上．點是圓與格線的交點，為邊上的一個格點，過點作于點．
（Ⅰ）線段的長度為 ；
（Ⅱ）請用無刻度直尺在網(wǎng)格中作出外接圓的圓心；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（Ⅲ）請用無刻度直尺在網(wǎng)格中作出過點的圓的切線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
三、解答題
19．（Ⅰ）用適當方程解一元二次方程：；
（Ⅱ）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．若時，求值及方程的解．
20．如圖，是的直徑，，延長交于點，弦于點，且．
（Ⅰ）求和度數(shù)大小；
（Ⅱ）若，求和的長．
21．如圖，在中，，為上一點，以為直徑的與相切于點，交于點，，垂足為．
（Ⅰ）求證：是的切線；
（Ⅱ）若，，求的長．
22．如圖，在矩形中，為邊中點，連接，過點作交于點，交于點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，時，求的長度．
23．如圖，在中，，，，點是邊上由向運動（不與點、重合）的一動點，點的速度是，設點的運動時間為 ，過點作的平行線交于點，連接．
（Ⅰ）線段 ；線段 ；（請用含的代數(shù)式表示）
（Ⅱ）當為何值時；
（Ⅲ）在點的運動過程中，是否存在某一時刻的值，使得的面積有最大值？若存在，請求出的值，并計算最大面積；若不存在，請說明理由．
24．將等腰直角放置在平面直角坐標系中，點，，，點，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點順時針旋轉，旋轉角為，點，旋轉后的對應點為，．
（Ⅰ）如圖1，當軸時，則旋轉角 ；可以看作是繞點 順時針旋轉 后得到的；直線與所夾角為 ．
（Ⅱ）如圖2，當旋轉角時，點，，恰好共線，求的各邊長．
（Ⅲ）將（Ⅱ）中的旋轉，當旋轉角為何值時的面積最大值？最大值是多少？（直接寫出結果）．
25．如圖，二次函數(shù)圖象交坐標軸于點，，點為線段上一動點．
（Ⅰ）求二次函數(shù)的解析式及頂點坐標；
（Ⅱ）過點作軸分別交線段、拋物線于點和點，求線段的最大值及此時的面積；
（Ⅲ）當取最小值時，求此時點的坐標及的最小值．
參考答案
一、選擇題
1．（3分）下列圖形是中心對稱圖形的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
解：選項、、都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：．
【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．
2．（3分）一個不透明的袋子里裝有6個紅球和3個黃球，它們除顏色外其余都相同．從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為
A．B．C．D．2
【分析】根據(jù)題目中總的球的個數(shù)和紅球個數(shù)，可以計算出從袋中任意摸出一個球是紅球的概率．
解：由題意可得，
從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為，
故選：．
【點評】本題考查概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的概率．
3．（3分）如圖，中，弦與交于點，點為中點，，，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
【分析】由三角形外角定理求得的度數(shù)，再由圓周角定理可求的度數(shù)．
解：
，
，
，
，
點為弧中點，
，
．
故選：．
【點評】本題主要考查了三角形的外角定理，圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關鍵．
4．（3分）用配方法解方程，變形后的結果正確的是
A．B．C．D．
【分析】把常數(shù)項移到等號的右邊，等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即可得出選項．
解：，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關鍵．
5．（3分）關于二次函數(shù)的圖象，下列說法中錯誤的是
A．拋物線開口向下
B．拋物線的頂點坐標是
C．拋物線與軸有兩個交點分別是和
D．當，和，是拋物線上的點，則當時，則
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質對、、選項進行判斷；利用拋物線與軸的交點問題，通過解方程得到拋物線與軸的交點坐標，從而可對選項進行判斷．
解：．由得拋物線開口向下，所以選項不符合題意；
．拋物線的頂點坐標為，所以選項不符合題意；
．時，，解得，，則拋物線與軸的交點坐標為，，所以選項符合題意；
．拋物線的對稱軸為，則當時，，所以選項不符合題意．
故選：．
【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質．
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則邊的對應點的坐標是
A．B．
C．或D．或
【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或解答．
解：點，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，
點的對應點的坐標是或，
故選：．
【點評】本題考查的是位似變換的概念和性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．
7．（3分）如圖，設計一長，寬的彩旗，圖中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條寬度比為，若使彩條所占面積是彩旗的，設豎彩條寬度為 ，則根據(jù)題意可列方程為
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)橫、豎彩條的寬度，可得出剩余部分可合成長為，寬為的矩形，結合彩條所占面積是圖案面積的三分之一，即可列出關于的一元二次方程，此題得解．
解：若設每個橫彩條的寬度為 ，則每個豎彩條的寬度為 ，剩余部分可合成長為，寬為的矩形，
根據(jù)題意得：．
故選：．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
8．（3分）在同一平面直角坐標系內(nèi)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口以及對稱軸與軸的關系即可得出、的正負，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，再與函數(shù)圖象進行對比即可得出結論．
解：、二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側，
，，
一次函數(shù)圖象應該過第一、二、四象限，且與二次函數(shù)交于軸正半軸的同一點，
故正確；
、二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在軸左側，
，，
一次函數(shù)圖象應該過第二、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負半軸的同一點，
故錯誤；
、二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側，
，，
一次函數(shù)圖象應該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負半軸的同一點，
故錯誤；
、二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側，
，，
一次函數(shù)圖象應該過第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于軸負半軸的同一點，
故錯誤；
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)、的正負確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關鍵．
9．（3分）如圖，，是的切線，、為切點，為的直徑，弦，則下列選項錯誤的是
A．B．C．D．
【分析】由圓周角定理，切線的性質，垂徑定理可得出答案．
解：．，則，又因為，故正確；
．因為弦，根據(jù)垂徑定理以及圓周角定理即可得出；
．根據(jù)垂徑定理，得弧弧，則，再根據(jù)弦切角定理，得，正確；
．證出，故符合題意．
故選：．
【點評】此題考查了垂徑定理、切線的性質以及圓周角定理．熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．
10．（3分）如圖，在中，，，，若四邊形的面積為16，則的面積是
A．4B．C．2D．
【分析】利用平行線的性質，三角形的外角的性質，相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得到，同理得到，設，則，，利用已知條件列出方程解答即可得出結論．
解：，
，，．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
設，則，，
，
，
．
的面積是4．
故選：．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，平行線分線段成比例定理，比例的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
11．（3分）如圖，在的內(nèi)切圓（圓心為點與各邊分別相切于點，，，連接，，．以點為圓心，以適當長為半徑作弧分別交，于，兩點；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法正確的是
A．點、、、四點共線
B．點是三條角平分線的交點
C．若是等邊三角形，則
D．若，則
【分析】根據(jù)基本尺規(guī)作圖、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的定義、三角形的外心、等邊三角形的性質逐項判斷即可．
解：連接，．
圓為的內(nèi)切圓，
點為三個內(nèi)角平分線的交點，
由尺規(guī)作圖可知，為的平分線，
射線一定過點，
是的切線，
，不一定垂直，
，，，不一定共線．
故選項錯誤，不符合題意；
由題意知，圓為的外接圓，
點是三條垂直平分線的交點，
故選項錯誤，不符合題意；
若是等邊三角形，則點，分別為，的中點，
為的中位線，
，
故選項正確，不符合題意；
，，
，
，
，
故選項錯誤，不符合題意．
故選：．
【點評】本題考查作圖基本作圖、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形的外心、等邊三角形的性質等知識，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．
12．（3分）如圖，拋物線的頂點為，與軸的一個交點，與軸的交點在和之間．下列結論中：①；②；③；④，則正確的個數(shù)為
A．1B．2C．3D．4
【分析】①②根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向，對稱軸可求得，符號和關系，與軸交點判斷的取值范圍，③利用當為1，時，對應的值進行判斷對錯，④依據(jù)頂點坐標可以判斷出系數(shù)與關系式．
解：①函數(shù)圖象開口向上，
，
對稱軸在軸右側，與異號，
，
函數(shù)圖象與軸交負半軸，
，故，正確
②頂點坐標，對稱軸，
，，
點關于對稱軸對稱點為，
當時，，得，
，
，
，錯誤．
③當時，，，正確．
④當，時，，
，，
，
，
，
，即，錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，函數(shù)圖象對稱性性質的使用，解題關鍵是找到各個系數(shù)與頂點坐標之間的關系．
二、填空題
13．（3分）半徑為6的圓內(nèi)接正三角形的邊長為 ．
【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后由垂徑定理，可得，，再利用三角函數(shù)求得的長，繼而求得答案．
解：如圖：是等邊三角形，過點作于，連接，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
半徑為6，即，
，
，
即直徑為6的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為：．
故答案為：．
【點評】此題考查了正多邊形和圓的性質、垂徑定理以及三角函數(shù)等知識．注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
14．（3分）不透明袋子中裝有3個球，其中有2個綠球、1個紅球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出2個球，則兩個都取到綠球的概率為 ．
【分析】找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
解：袋子中共有3個球，其中綠球有2個，
從袋子中隨機取出2個球，它是綠球的概率是，
故答案為：．
【點評】本題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率（A）．
15．（3分）拋物線有最 高 點（填“高”或“低” ，這個點的坐標是 ；把這個拋物線向左平移2個單位，再向上平移4個單位得到的新拋物線是 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出其開口方向及最大值，根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．
解：，
拋物線開口向下，有最高點，頂點坐標為
把這個拋物線向左平移2個單位，再向上平移4個單位得到的新拋物線是，
故答案為：高，，．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題的關鍵．
16．（3分）如圖，將繞點逆時針旋轉角得到，點的對應點恰好落在邊上，若，，則的度數(shù)是 ．
【分析】先求出，再利用旋轉的性質求出，，然后利用等邊對等角求出，最后利用平角定義求解即可．
解：如圖，
，
，
，
，
，
旋轉，
，，
，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理等，掌握等邊對等角是解題的關鍵．
17．（3分）如圖，在正方形中，，點，分別為邊，上動點，且，連接，交于點，連接，則線段長度的最小值為 ．
【分析】根據(jù)正方形的性質，全等三角形的判定和性質，以及勾股定理即可得到結論．
解：在正方形中，，
，
，
，
，
，
，
，
如圖，取的中點，連接，，
是的中點，，
，
在中，；
在中，，
的最小值是，
故答案為：．
【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．
18．（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，內(nèi)接于圓，且頂點、均在格點上．點是圓與格線的交點，為邊上的一個格點，過點作于點．
（Ⅰ）線段的長度為 ；
（Ⅱ）請用無刻度直尺在網(wǎng)格中作出外接圓的圓心；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（Ⅲ）請用無刻度直尺在網(wǎng)格中作出過點的圓的切線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）如圖，與網(wǎng)格線交于點，連接交一點，點即為所求；
（Ⅲ）延長交直線一點，利用網(wǎng)格特征作出的中點，作直線即可（可以證明，，由，推出，即，推出是切線）．
解：（Ⅰ）線段，
故答案為：；
（Ⅱ）如圖，點即為所求；
（Ⅲ）如圖，直線即為所求．
【點評】本題考查作圖復雜作圖，勾股定理，切線的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的射線 解決問題．
三、解答題
19．（Ⅰ）用適當方程解一元二次方程：；
（Ⅱ）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，．若時，求值及方程的解．
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可；
（Ⅱ）利用根與系數(shù)的關系可用表示出和的值，根據(jù)條件可得到關于的方程，可求得的值，再解方程即可．
解：（Ⅰ），
，
或，
，；
（Ⅱ）方程有兩個實數(shù)根，，
，，
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法和根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
20．如圖，是的直徑，，延長交于點，弦于點，且．
（Ⅰ）求和度數(shù)大小；
（Ⅱ）若，求和的長．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)圓的有關性質求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)直角三角形的性質求出，，根據(jù)等腰三角形的性質及三角形外角性質求出，結合垂直的定義根據(jù)角的和差求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可判定，根據(jù)等腰三角形的性質求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質求出，根據(jù)勾股定理求解即可．
解：（Ⅰ）如圖，交于點，連接，
是的直徑，弦于點，
，
，
，
，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）如圖，過點作于點，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【點評】此題考查了圓周角定理、勾股定理、垂徑定理等知識，熟練運用圓周角定理、勾股定理、垂徑定理是解題的關鍵．
21．如圖，在中，，為上一點，以為直徑的與相切于點，交于點，，垂足為．
（Ⅰ）求證：是的切線；
（Ⅱ）若，，求的長．
【分析】（1）由等腰三角形的性質可證，可證，可得結論；
（2）由得到，由切線的性質推導出四邊形是正方形，利用勾股定理求得，
再利用三角函數(shù)，代入數(shù)據(jù)解答即可．
【解答】（1）證明：如圖1，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半徑，
是的切線；
（2）解：如圖2，連接，過點作于，
．
又，
，
，
與相切于點，
，
又，，，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
或（不合題意，舍去）．
【點評】本題考查切線的性質和判定，勾股定理，等腰三角形的性質，矩形的判定和性質，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
22．如圖，在矩形中，為邊中點，連接，過點作交于點，交于點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，時，求的長度．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)矩形的性質及直角三角形的性質推出，，根據(jù)“兩角對應相等的兩個三角形相似”即可得解；
（Ⅱ）根據(jù)矩形的性質及勾股定理求出，，再根據(jù)相似三角形的性質求解即可．
【解答】（Ⅰ）證明：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）解：四邊形是矩形，，，
，，，
為邊中點，
，
，
，
，
，
．
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
23．如圖，在中，，，，點是邊上由向運動（不與點、重合）的一動點，點的速度是，設點的運動時間為 ，過點作的平行線交于點，連接．
（Ⅰ）線段 ；線段 ；（請用含的代數(shù)式表示）
（Ⅱ）當為何值時；
（Ⅲ）在點的運動過程中，是否存在某一時刻的值，使得的面積有最大值？若存在，請求出的值，并計算最大面積；若不存在，請說明理由．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出，再利用平行線分線段成比例定理，求出、即可解決問題；
（Ⅱ）依據(jù)得出比例式，進一步解答即可；
（Ⅲ）構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題；
解：（Ⅰ）在中，，，，
，
，，
，
，
，，
．
故答案為：；；
（Ⅱ），
，
，
，
，
解得：或0（不合題意，舍去），
當時，；
（Ⅲ）由題意：，
，
時，的面積最大，最大值為．
【點評】本題考查三角形綜合題、勾股定理、平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．
24．將等腰直角放置在平面直角坐標系中，點，，，點，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點順時針旋轉，旋轉角為，點，旋轉后的對應點為，．
（Ⅰ）如圖1，當軸時，則旋轉角 45 ；可以看作是繞點 順時針旋轉 后得到的；直線與所夾角為 ．
（Ⅱ）如圖2，當旋轉角時，點，，恰好共線，求的各邊長．
（Ⅲ）將（Ⅱ）中的旋轉，當旋轉角為何值時的面積最大值？最大值是多少？（直接寫出結果）．
【分析】（Ⅰ）由旋轉可得，，進而得出平分，進一步得出結果；
（Ⅱ）作于，可得出△是等腰直角三角形，從而，進而得出，進一步得出結果；
（Ⅲ）可得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，從而推出當時，且離距離最大時，的面積最大，最大值為：．
解：（Ⅰ），，繞點順時針旋轉，點，旋轉后的對應點為，，
，，
軸，
平分，
，
故答案為：，，90，90；
（Ⅱ）如圖1，
作于，
由（Ⅰ）知：△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
（Ⅲ）如圖2，
，
點在以為圓心，為半徑的圓上運動，
當時，且離距離最大時，的面積最大，最大值為：．
【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，直角三角形的性質，確定圓的條件等知識，解決問題的關鍵是圓的集合定義．
25．如圖，二次函數(shù)圖象交坐標軸于點，，點為線段上一動點．
（Ⅰ）求二次函數(shù)的解析式及頂點坐標；
（Ⅱ）過點作軸分別交線段、拋物線于點和點，求線段的最大值及此時的面積；
（Ⅲ）當取最小值時，求此時點的坐標及的最小值．
【分析】（Ⅰ）由待定系數(shù)法即可求解；
（Ⅱ），即可求解；
（Ⅲ）過點作直線使直線和軸負半軸的夾角為，過點作交于點，交軸于點，則，此時，為最小，則為最小，即可求解．
解：（Ⅰ）由題意得：
，解得：，
則拋物線的表達式為：，
則頂點的坐標為：，；
（Ⅱ）由點、的坐標的，直線的表達式為：，
設點，則點，
則，
故的最大值為：，
此時的面積；
（Ⅲ）過點作直線使直線和軸負半軸的夾角為，過點作交于點，交軸于點，
則，
此時，為最小，
則為最小，
在中，，，
則，則，
則，
則，
則的最小值為：．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、點的對稱性、面積的計算等，綜合性強，難度適中．