1.已知集合A={-2,0},B={x|x2-2x=0},則下列結(jié)論正確的是( )
A.A=B
B.A∩B={0}
C.A∪B=A
D.A?B
2.已知集合P={x|-3≤x≤1},Q={y|y=x2+2x},則P∪(?RQ)=( )
A.[-3,-1)
B.[-1,1]
C.(-∞,-1]
D.(-∞,1]
3.(2022·新高考Ⅱ,3)中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處,更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).圖1是某古建筑物中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中DD1,CC1,BB1,AA1是脊,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步的比分別為DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k1,k2,k3是公差為0.1的等差數(shù)列,直線OA的斜率為0.725,則k3=( )
圖1
圖2
B.0.8
D.0.9
4.(2022·新高考Ⅰ,5)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為( )
A.16B.13
C.12D.23
5.土樓有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型.某大學(xué)建筑系學(xué)生對這七種主要類型的土樓依次進(jìn)行調(diào)查研究.在制定調(diào)查順序時,要求將圓形排在第一個或最后一個,方形、五角形相鄰,則共有( )種不同的排法.
A.480B.240
C.384D.1 440
6.記x+12x4展開式的偶數(shù)項之和為P,則P的最小值為( )
A.1B.2
C.3D.4
7.在正方形ABCD中,O為兩條對角線的交點,E為BC邊上的動點.若AE=λAC+μDO(λ>0,μ>0),則2λ+1μ的最小值為( )
A.2B.5
C.92D.143
8.已知f(x)=x2+4x+1+a,且對任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.5-12,+∞
B.[2,+∞)
C.[-1,+∞)
D.[3,+∞)
二、多項選擇題
9.如果平面向量a=(2,-4),b=(-6,12),那么下列結(jié)論正確的是( )
A.|b|=3|a|
B.a∥b
C.a與b的夾角為30°
D.a·b=-60
10.已知a>b>0,且ab=4,則( )
A.2a-b>1
B.lg2a-lg2b>1
C.2a+2b>8
D.lg2a·lg2by的充分不必要條件的是( )
A.xc2>yc2
B.1xln y
12. 如圖,圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m,圓柱的表面積與球的表面積之比為n,若f(x)=mnx3-1x8,則( )
A.f(x)的展開式中的常數(shù)項是56
B.f(x)的展開式中的各項系數(shù)之和為0
C.f(x)的展開式中的二項式系數(shù)最大值是70
D.f(i)=-16,其中i為虛數(shù)單位
三、填空題
13.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=4i1+i,則z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第 象限.
14.將x+1x7的二項展開式的各項重新隨機排列,則有理項互不相鄰的概率為 .
15.為滿足某度假區(qū)游客綠色出行需求,某電力公司在該度假區(qū)停車樓建設(shè)了集中式智慧有序充電站,充電站共建設(shè)901個充電樁,其中包括861個新型交流有序充電樁、37個直流充電樁以及3個專門滿足新能源大巴快速補電需求的大功率直流充電樁.現(xiàn)有A,B,C,D,E,F六輛新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3個新能源大巴大功率直流充電樁充電,每個充電樁在上午和下午均只安排一輛大巴充電.若要求A,B兩大巴不能同時在上午充電,而C大巴只能在下午充電,且F大巴不能在甲充電樁充電,則不同的充電方案一共有 種.(用數(shù)字作答)
16.在邊長為2的正三角形ABC中,D是BC邊的中點,AE=2EB,CE交AD于點F.若BF=xBC+yBA,則x+y= ;BF·DE= .
專題突破練1 ?？夹☆}點過關(guān)檢測
1.B 解析 由題設(shè)得B={0,2},所以A≠B,A∩B={0},A∪B≠A,A不是B的子集.
2.D 解析 因為Q={y|y=x2+2x}={y|y=(x+1)2-1}={y|y≥-1},所以?RQ={y|y0,所以P=C41x3·12x+C43x·12x3=2x2+12x2≥21=2,
當(dāng)且僅當(dāng)2x2=12x2,
即x=±22時,等號成立.
7. C 解析 如圖所示,以A為原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方形的邊長為1,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),于是可得O12,12.
設(shè)點E的坐標(biāo)為(1,m)(0≤m≤1),則由AE=λAC+μDO(λ>0,μ>0),可得(1,m)=λ(1,1)+μ12,-12(λ>0,μ>0),所以1=λ+12μ(λ>0,μ>0),則2λ+1μ=2λ+1μλ+12μ=2+12+μλ+λμ≥52+2μλ·λμ=92,當(dāng)且僅當(dāng)λμ=μλ,1=λ+12μ,λ>0,μ>0,即λ=μ=23時取等號,此時2λ+1μ的最小值為92.
經(jīng)檢驗,此時m=13∈[0,1]符合題意.
8.B 解析 由題意,函數(shù)f(x)=x2+4x+1+a,
令t=f(x),則t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,
又對任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0對任意t≥a-3恒成立,
當(dāng)a-3≤-2時,即a≤1時,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此時無解;
當(dāng)a-3>-2時,即a>1時,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.
綜上可得,實數(shù)a的取值范圍為[2,+∞).
9.ABD 解析 因為a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.
所以|b|=3|a|,a∥b,a與b的夾角為180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故選項A,B,D正確,選項C錯誤.
10.ACD 解析 因為a>b>0,且ab=4,對A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正確;
對B,取a=83,b=32,則lg2a-lg2b=lg2ab=lg2169b>0,所以不能取等號,故C正確;
對D,當(dāng)a>1>b>0時,lg2a>0,lg2b1時,lg2a>0,lg2b>0,所以lg2a·lg2b≤(lg2a+lg2b)24=[lg2(ab)]24=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,因為a>b>0,所以不能取等號,故D正確.
11.ABD 解析 對于A選項:若xc2>yc2,則c2≠0,于是x>y,而當(dāng)x>y,c=0時xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要條件,故A符合題意;
對于B選項:由1xy也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要條件,故C不符合題意;
對于D選項:若ln x>ln y,則x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“l(fā)n x>ln y”是“x>y”的充分不必要條件.
故選項D符合題意.
12.BC 解析 設(shè)內(nèi)切球的半徑為r(r>0),則圓柱的高為2r.
于是m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=x3-1x8.
對于A,f(x)展開式通項為Tr+1=C8rx24-3r·-1xr=(-1)rC8rx24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展開式中的常數(shù)項為(-1)6C86=28,A錯誤;
對于B,f(1)=0,即f(x)展開式的各項系數(shù)之和為0,B正確;
對于C,f(x)展開式中二項式系數(shù)最大值為C84=70,C正確;
對于D,f(i)=i3-1i8=(-i+i)8=0,D錯誤.
13.四 解析 因為z=4i1+i=4i(1-i)(1+i)(1-i)=4i(1-i)2=2i(1-i)=2i-2i2=2+2i,所以z=2-2i,所以共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.
14.114 解析 x+1x7的展開式的通項為Tr+1=C7rx7-r·x-12r=C7rx7-32r,當(dāng)r=0,2,4,6時,對應(yīng)的項為有理項,一共4項,當(dāng)r=1,3,5,7時,對應(yīng)的項為無理項,一共4項,要使得有理項互不相鄰,采用插空法,先把無理項排好,再把有理項插到無理項的5個空檔中,共有A44A54=2 880種情況,全部的情況有A88=40 320種,故所求概率P=A44A54A88=2 88040 320=114.
15.168 解析 先排F大巴,第一種方案,F大巴在上午充電,有C21種可能情況,此時再排C大巴,C大巴在下午充電,有C31種可能情況,再排A,B大巴,又分A,B大巴同在下午和一個上午、一個下午兩種情況,有(A22+C21C21C21)種可能情況;第二種方案,F大巴在下午充電,有C21種可能情況,此時再排C大巴,C大巴在下午充電,有C21種可能情況,再排A,B大巴,只能一個上午、一個下午,有C21C31種可能情況.
最后再排剩下的兩輛大巴,有A22種可能情況,故共有[C21C31(A22+C21C21C21)+C21C21C21C31]A22=168種不同的充電方案.
16. 35 -715 解析 如圖,過點E作EM∥AD交BC于點M,由AE=2EB,得EM=13AD,BM=13BD,MD=23BD,又D是BC邊的中點,得DC=35MC,∴FD=35EM,故FD=15AD,即AF=45AD,所以AF=45AD=45(BD-BA)=4512BC-BA=25BC-45BA,
所以BF=BA+AF=15BA+25BC,故x+y=35.
易知DE=BE-BD=13BA-12BC,
由已知得BA=BC=2,=60°,
所以|BA|=|BC|=2,BA·BC=2×2×cs 60°=2.
所以BF·DE=15BA+25BC·13BA-12BC=115BA2-15BC2+130BA·BC=115×4-15×4+130×2=-715.

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