一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40 分．在每小題四個選項(xiàng)中 ，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知向量，，，若，則與的夾角為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，且.然后根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，且.
又，
所以，即有，
所以，.
又，所以.
故選：C.
2. 如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：找到異面直線所成角因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角，結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長度，最后利用余弦定理求解即可；
解法二：用向量法求異面直線夾角的余弦值，分別表示出，，代入公式即可；
解法三：建系，利用空間向量法求異面直線夾角.
【詳解】解法一第一步：找到異面直線所成角因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角．
第二步：結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段長度
連接AP，易知，．
第三步：利用余弦定理求解
在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為，
故選：B．
解法二 設(shè)，，，則，，兩兩垂直，且，，則，，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為，
故選：B．
解法三 易知ED，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED，EB，EP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，得，，故異面直線PD與BC所成角的余弦值為，
故選：B．

3. 閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由所給信息可得平面，與的法向量，后利用向量知識可得直線的方向向量，即可得答案.
【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的一個法向量為.
同理可知，與分別為平面與的一個法向量.
設(shè)直線的方向向量為，則，
不妨取，則.設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
所以.
故選：D.
4. 設(shè)，過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A. 5B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易知動點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知直線化為點(diǎn)斜式可得動點(diǎn)B的坐標(biāo)，由兩條直線垂直公式可得兩條動直線互相垂直，結(jié)合勾股定理和重要不等式可求得結(jié)果.
【詳解】容易知道動直線過定點(diǎn)為，
由可得，所過定點(diǎn)為，
由可知兩條動直線互相垂直，即，因?yàn)椋?br>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故選：A
5. 已知圓，則當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】整理直線、圓的方程，得到圓的圓心、半徑，直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合求的值.
【詳解】由，得，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
由0，得，故直線過定點(diǎn)．
易知點(diǎn)在圓外，連接，則當(dāng)與直線垂直時，
圓的圓心到直線的距離最大，為，
此時，所以，得．
故選：B.
6. 戰(zhàn)國時期成書經(jīng)說記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”這是中國古代人民首次對平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相交所得弦長為，則反射光線所在直線的斜率為（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系求出結(jié)果．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的坐標(biāo)為，
則反射光線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相交．
設(shè)反射光線所在直線的方程為，即，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓心為，半徑．
因?yàn)橄议L，
所以根據(jù)勾股定理得，圓心到反射光線的距離，
故，即，解得或．
故選：A
7. 已知橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，則（ ）
A. -4B. -6C. -8D. -9
【答案】B
【解析】
【分析】由橢圓和雙曲線的定義，求出，由橢圓方程，得，利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理求.
【詳解】已知橢圓和雙曲線公共焦點(diǎn)為，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，
由橢圓和雙曲線的定義，有，解得，
由橢圓方程，得，
.
故選：B.
8. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫出圖形，由已知條件和幾何關(guān)系確定，進(jìn)而確定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，代入即可求出，最終算出離心率.
【詳解】
設(shè)，連接，與軸交于點(diǎn)，
由對稱性可知，
又，所以是正三角形，且.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
又點(diǎn)在直線上，
故，
所以，
所以.
故選：B.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中 ，有多項(xiàng)是符合題目要求的．正確選項(xiàng)全對得5分，正確選項(xiàng)不全得2分，有錯誤選項(xiàng)得0分）
9. 如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 平面
B. Q到平面的距離為
C. 與所成角的取值范圍為
D. 三棱錐外接球體積的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由面面平行得到線面平行；B用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離；C找到與所成的角就是與所成的角，由邊長關(guān)系確定即可找到最大和最?。籇由和外接球體積最小確定球心，再由球的體積公式求出即可.
【詳解】A：由題意可知，且面，面，
所以面面，
又因?yàn)槊妫?br>所以平面，
故A正確；
B：因?yàn)槠矫妫?br>所以Q到平面的距離等于到平面的距離，
以所在直線分別為軸，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，所以，
所以到平面的距離，故B錯誤；
C：
因?yàn)?，所以與所成的角就是與所成的角，
因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），所以與所成角的最大值為，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以在中，，即為與所成角的最小值，但不能取得，
所以與所成角的取值范圍為，故C正確；
D：
因?yàn)?，又是直角三角形，，取的中點(diǎn)，
則，
因?yàn)槔忮F外接球體積最小，所以在處，所以，
所以為外接球的球心，
所以，
所以，故D正確；
故選：ACD
10. 已知正四棱柱的底面邊長為1，，點(diǎn)P，Q分別滿足，，，，則（ ）
A. 當(dāng)時，對于任意的實(shí)數(shù)λ，μ，恒為銳角
B. 當(dāng)時，對于任意的實(shí)數(shù)λ，μ，都有成立
C. 當(dāng)時，滿足的點(diǎn)P的軌跡與BD平行
D. 當(dāng)時，滿足的點(diǎn)P的軌跡圍成的區(qū)域的面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意可知，點(diǎn)P為底面內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界)，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷各選項(xiàng).
【詳解】由題意知，，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
連接，則，，故，，
所以點(diǎn)P為底面內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界)．，，，設(shè)(，)．
選項(xiàng)A：當(dāng)時，，，則
，所以，則恒為銳角，A正確．
選項(xiàng)B：當(dāng)時，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則，連接，，則，
所以，
當(dāng)P為與平面的交點(diǎn)時取等號．
所以存在點(diǎn)P，使得，所以B錯誤．
選項(xiàng)C：當(dāng)時，，，，由，得，
即，所以點(diǎn)P的軌跡為中平行于邊的中位線，C正確．
選項(xiàng)D：當(dāng)時，，，，
由，得：，
整理得，
所以點(diǎn)P的軌跡為正方形的內(nèi)切圓，其圍成的區(qū)域的面積為，D正確．
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算.B選項(xiàng)，在空間直角坐標(biāo)系中，由于點(diǎn)，Q在點(diǎn)P所在平面的同側(cè)，所以可作關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則為的最小值.
11. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且一個法向量為，若點(diǎn)，到的距離相等，則實(shí)數(shù)的可能值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分直線和直線與直線相交兩種情況求解即可．
【詳解】由直線經(jīng)過點(diǎn)，且一個法向量為，可得，
當(dāng)直線時，則，即；
當(dāng)直線與直線相交時，則，在直線的兩側(cè)，
則，解得或．
故選：AC．
12. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P，Q，與C相交于M，N，的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，則（ ）
A. B.
C. 的最大值為16D. 當(dāng)最小時，直線的斜率不存在
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，先得到兩直線斜率均存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦半徑得到，，從而得到；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到和，從而代入計(jì)算出；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D選項(xiàng)，先得到，，表達(dá)出，并結(jié)合基本不等式求出當(dāng)時，取得最小值，此時，故D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，若一條直線的斜率不存在時，則另一條直線斜率為0，
此時與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合要求，
故兩直線斜率均存在且不為0，
由題意得，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立與得，，
易知，設(shè)，則，
則，，
則，A正確；
B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，
由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，
故，B錯誤；
C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最小值為16，C錯誤；
D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
故，所以，
由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，
則
，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
當(dāng)時，取得最小值，此時，
故當(dāng)最小時，直線的斜率不存在，D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義，數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可得解.
【詳解】由題意向量，
則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.
故答案為：.
14. 經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】作出圖象，根據(jù)與線段相交，設(shè)直線的斜率為，由求解.
【詳解】解：，，
如圖所示：
∵與線段相交，由題意設(shè)直線的斜率為，
∴，∴，∴或．
由于在及上均單調(diào)遞增，
∴直線的傾斜角的范圍為．
故答案為：.
15. 如圖，四邊形中，，，，，則面積的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，求解出相應(yīng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，延長交圓③于點(diǎn)F，得到，，進(jìn)而求解的最大值.
【詳解】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，A在圓①：上，
D在圓②：上，
作圓③：，
延長交圓③于點(diǎn)F，則，
所以.
設(shè)直線與圓②交于點(diǎn)G，
取，連接，，得，
則，則，
為圓②內(nèi)接三角形，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時，最大，
此時，所以的最大值為，
即的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用圓的性質(zhì)和三角形面積求解.
16. 已知，分別為橢圓()的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合勾股定理、橢圓的離心率公式乾進(jìn)行求解即可（或者利用余弦定理進(jìn)行求解）.
【詳解】如圖所示，易知，則，
由橢圓的定義可知，由，
得，連接，
由橢圓的定義可知，
過點(diǎn)作于點(diǎn)D，則D為的中點(diǎn)，
所以，．
在中，．
在中，，
所以，
(另解：也可以利用，
得到a與c的關(guān)系式)整理得，即，
解得或．又，故橢圓C的離心率為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義和勾股定理（余弦定理）.
四、解答題：本大題共6小題，共70 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 如圖，在四棱臺中，已知，.
（1）證明：平面；
（2）若四棱臺的體積為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的定義證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)四棱臺體積寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可計(jì)算出二面角的余弦值.
【小問1詳解】
在四邊形中，，

，，，
又平面，
平面而平面，.
又平面平面；
【小問2詳解】
，
，
如圖建系，

，
，設(shè)平面的一個法向量，
，取，則，
平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，
顯然銳角，.
18. 正四棱柱中，底面是邊長為4的正方形，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，且．
（1）用向量方法求的長；
（2）對于個向量，如果存在不全為零的個實(shí)數(shù)，，使得，則稱個向量叫做線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)．試判斷是否線性相關(guān)．
【答案】（1）
（2）線性無關(guān)．
【解析】
【分析】（1）設(shè)長為，建立空間直角坐標(biāo)系后由計(jì)算即可得；
（2）設(shè)，計(jì)算出的值后即可得.
【小問1詳解】
設(shè)長為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，
，
由，故，即有，
解得(負(fù)值舍去)，即；
【小問2詳解】
由，故，
設(shè)實(shí)數(shù)，使得成立．
則有，解得時，即當(dāng)且僅當(dāng)時
∴線性無關(guān)．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若長為，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出方程，化簡，即得答案；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，求出弦長的表達(dá)式，結(jié)合題意列式計(jì)算，求得k的值，即可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
則由點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，得，
化簡得，
即動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
【小問2詳解】
軌跡C為圓心為，半徑為2的圓，
由于直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，

故到的距離為，
則，解得，
此時，滿足直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
故直線的方程為或，
即或.
20. 已知橢圓E:，點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓E上.
（1）求橢圓E的方程;
（2）設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C，D），直線與x軸分別交于M，N兩點(diǎn).證明:在x軸上存在兩點(diǎn)A，B，使得·是定值，并求此定值.
【答案】（1）；
（2）證明見解析，定值為.
【解析】
【分析】（1）將橢圓過的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用待定系數(shù)法計(jì)算即可；
（2）設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)坐標(biāo)來表示M、N坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示·，構(gòu)造平方差結(jié)構(gòu)及點(diǎn)在橢圓上消元計(jì)算即可.
【小問1詳解】
將點(diǎn)C，D代入橢圓方程有，
所以橢圓E的方程為；
【小問2詳解】

設(shè)，則，
且直線，
令y=0，得，
所以，
令，則，
則
，
故存在和，使得是定值，且定值為.
【點(diǎn)睛】第二問難點(diǎn)在于設(shè)點(diǎn)表線表點(diǎn)后得出，
整個式子變量較多，若要得出定值，首先構(gòu)造平方差結(jié)構(gòu)，利用待定系數(shù)法得出的值，并利用點(diǎn)在橢圓上對式子進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化得出定值.技巧性很強(qiáng)，不容易想到.
21. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，記直線的斜率為k，直線的斜率為，且，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限），記直線，的斜率為，直線的斜率為，若，求證：直線過定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)帶入化簡即可求得P的軌跡方程；
（2）設(shè)，聯(lián)立直線方程與曲線方程，求得關(guān)于的一元二次方程，再由韋達(dá)定理求得兩根之和與兩根之積，再求得，，帶入中，即可求得直線過定點(diǎn).
【小問1詳解】
設(shè)，則，，
整理得，
曲線的方程為．
【小問2詳解】

由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，
與方程聯(lián)立并化簡，得，
設(shè)，，
則，，
點(diǎn)在曲線上，，
，
又，，
，
，即，
，
，
得，
，，
，
直線的方程為，直線過定點(diǎn)．
22. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知過點(diǎn)的直線與交于不重合的兩點(diǎn)，且，直線和的斜率分別為和.求證：為定值.
【答案】（1）
（2）證明過程見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦點(diǎn)弦公式得到方程，求出，得到拋物線方程；
（2）當(dāng)直線的斜率為0時不合要求，設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，得到結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意得，故直線方程為，
聯(lián)立與得，
設(shè)，
則，
則，所以，解得，
故拋物線的方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)直線的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合要求，
設(shè)直線為，聯(lián)立得，，
設(shè)，
則，
則，
所以
.
所以，為定值.
【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

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