精品解析：遼寧省沈陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)
命題：___________ 主審：___________
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號填寫在答題卡上，并將條碼粘貼在答題卡指定區(qū)域.
2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡指定位置書寫作答，在本試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.
第I卷（選擇題共60分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交并補即可求解.
【詳解】由題知，
故選：A.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法解出，由模長公式計算.
【詳解】由解得，所以.
故選：C.
3. 曲線在點處的切線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，再寫出切線方程.
【詳解】由題知，切線方程為，即，
故選：B.
4. 已知單位向量滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夾角余弦公式求出答案.
【詳解】由得，
又為單位向量，
，
，
.
故選：B.
5. 已知有100個半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，則這100個圓中最大圓的半徑是（）
A. 8B. 9C. 10D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)這100個圓的半徑從小到大依次為，由題意得且，可求.
【詳解】設(shè)這100個圓的半徑從小到大依次為，則由題知，
每相鄰的兩個圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，
有，則是首項為1公差為1的等差數(shù)列，，
所以，得.
故選：C.
6. 如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（）
A 8B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分步分類計數(shù)原理即可求解.
【詳解】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:
第一類，先向北走再往東走的情況，即第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時有種方法，
第二類，先向東走再往北走的情況上右上，此時共有種方法.
故總的方法有24種，
故選：D.
7. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)和差角公式以及誘導(dǎo)公式可得，由輔助角公式以及二倍角公式即可求解.
【詳解】由得，進而可得，
結(jié)合輔助角公式得，
則，
故選：B.
8. 已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】觀察選項，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
所以且，
所以且，即且，
所以，
又，所以，
綜上所述，，
故選：D.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下圖是離散型隨機變量的概率分布直觀圖，其中，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由所有取值頻率之和為1，結(jié)合已知條件，解出，利用期望和方差公式計算數(shù)據(jù)，驗證選項即可.
【詳解】由題知解得，A選項正確；
所以，B選項正確；
，C選項正確；
，D選項錯誤.
故選：ABC.
10. 已知雙曲線的兩個焦點分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）
A. 實軸長為4B. 雙曲線為等軸雙曲線
C. 離心率為D. 漸近線方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線實軸、離心率、漸近線方程等性質(zhì)逐項分析即可.
【詳解】設(shè)該雙曲線標準方程為，則.
對于A選項，若實軸長為4，則，，符合題意；
對于B選項，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，
可解得，符合題意；
對于C選項，由雙曲線離心率大于1知，不合題意；
對于D選項，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，
故選：ABD.
11. 如圖，點是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（）
A.
B.
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
D. 若將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項驗證BCD選項.
【詳解】令得，或，，
由圖可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A選項正確，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B錯誤.
當(dāng)時，，
因為在為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；
將函數(shù)的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），
為偶函數(shù)得，，
所以，，則的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
12. 正方體的8個頂點分別在4個互相平行的平面內(nèi)，每個平面內(nèi)至少有一個頂點，且相鄰兩個平面間的距離為1，則該正方體的棱長為（）
A. B. C. 2D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分類討論兩個平面的位置，作截面結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征運算求解.
【詳解】設(shè)該正方體為，且其棱長為，
若考慮4個平面中最中間的兩個平面，共有兩種情況.
①若中間的兩個平面為平面和平面，如圖1所示，
則過作截面，截面圖如圖2所示，
其中分別為中點，則，
設(shè)相鄰兩平面間距離即為A到的距離，
可得，解得，
即相鄰兩平面間距離即為A到的距離，
可知，解得；
②若中間的兩個平面如圖3所示，過作截面，截面圖如圖4所示，
其中分別為中點，則，
設(shè)相鄰兩平面間距離即為到距離，
可得，解得，
即相鄰兩平面間距離即為到的距離，
則，解得；
故選：BD.
【點睛】方法點睛：根據(jù)題意分類討論平面的位置分布，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征以及截面分析求解.
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中常數(shù)項的二項式系數(shù)為__________.
【答案】20
【解析】
【分析】求出二項式展開式的通項公式，令的次數(shù)為0，求得答案.
【詳解】此二項式展開式的通項公式為，
，則當(dāng)時，對應(yīng)的為常數(shù)項，
故常數(shù)項的二項式系數(shù)為，
故答案為：20.
14. 已知拋物線的焦點為，若點是拋物線上到點距離最近的點，則__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解, 由拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由題知，設(shè)，其中，則
由于點是拋物線上到點距離最近的點，，
故答案為：3.
15. 的一個充分不必要條件是__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要條件即可求解.
【詳解】因為時，
由可得,
故的一個充分不必要條件是，
故答案為：（答案不唯一）
16. 已知是半徑為1的球面上不同的三點，則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】是球面上不同的三點，不共線，故平面截球面得到的是一個圓，
記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過球心時，.
在半徑為的圓中，對于任意的弦，過作于,
由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時，
取最小值，
則的最小值為，
當(dāng)時，取最小值，
又的最大值為1，故所求最小值為.
故答案為：
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列基本量計算；
（2）根據(jù)對數(shù)運算求得，由得證.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為，由知，
，
由得，
.
【小問2詳解】
證明：由題知，
所以，
.
18. 在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求證：；
（2）當(dāng)取最小值時，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理并結(jié)合正弦函數(shù)兩角和差公式化簡即可求解.
（2）利用基本不等式求得的最小值時的取等條件，再結(jié)合余弦定理從而求解.
【小問1詳解】
證明：由余弦定理知，又因為，
所以，化簡得，
所以，因為，
所以，
所以，
所以，因為，
所以或（舍），所以.
【小問2詳解】
由題知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，又因為，所以，
所以.
19. 如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，點在線段上，點在線段上.
（1）求證：；
（2）若平面，求的值；
（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可證明線線垂直，進而可得線面垂直，進而可求證，
（2）建立空間直角坐標系，利用向量即可求解.或者利用空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解.
（3）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
證明：過作直線于，連接.
由題知，
，即，
又平面,平面，
又平面，
，即
【小問2詳解】
方法一：平面平面，平面平面，
平面平面.
以為原點，以的長度為單位長度，以的方向分別為軸，軸，的正
方向建立空間直角坐標系，如圖，則.
平面.
為中點，由題知
設(shè)，
，
，
又在中，，
所以.
方法二：平面.設(shè)，由知，.
平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，又，
平面.
【小問3詳解】
由（2）知，平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，
則令則，
，
平面與平面所成角的余弦值為.
20. 某城市有甲、乙兩個網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個公司的乘車費用，等待時間，乘車舒適度等因素的評價，得到如下統(tǒng)計結(jié)果：
①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：
②選擇甲公司的用戶對等待時間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對等待時間滿意的頻率為；
③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為；
④選擇甲公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車費用滿意的頻率為.
將上述隨機事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.
（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，并比較用戶對哪個因素滿意的概率最大，對哪個因素滿意的概率最小.
（2）若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個公司網(wǎng)約車出行？并說明理由.
【答案】（1）答案見解析
（2）該用戶選擇乙公司出行的概率更大，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式可計算出用戶網(wǎng)約車用戶對等待時間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費用滿意的概率，即可得出結(jié)論；
（2）利用條件概率公式計算出該用戶對甲、乙兩個公司網(wǎng)約車舒適度滿意率，比較大小后可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：設(shè)事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對等待時間滿意，
事件用戶對乘車舒適度滿意，事件用戶對乘車費用滿意.
則，
，
所以，用戶對等待時間滿意的概率最大，對乘車費用滿意的概率最小.
【小問2詳解】
解：由題知，，
，
所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.
21. 已知如圖，點為橢圓的短軸的兩個端點，且的坐標為，橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點（點在線段上），直線分別交直線于點.求證：四邊形為平行四邊形.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解得橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程，證明后知平分對角線得四邊形為平行四邊形.
【小問1詳解】
由題知解得.故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
方法一：顯然直線不能水平，故設(shè)直線方程為，
設(shè)，
由得，
令得，.
所以，
令，得.故直線方程為，
直線方程為.
由得，
將中換成得.
，
為線段中點，又為中點，
四邊形為平行四邊形.
方法二：設(shè).
直線方程為，
當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)方程為，
此時，直線方程的為，
由得，同理，
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為，
由得.
令得，.
由韋達定理得.
將代入得
直線的方程為
由得
同理可得.
，
，綜上所述，為線段中點，
又為中點，
四邊形平行四邊形.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：證明四邊形為平行四邊形的方法用對角線相互平分得到.
22. 已知函數(shù)，其中為實數(shù).
（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若與為方程的兩個不等實根，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)的條件；
（2）根據(jù)方程解出兩個不等實根與，有，所以，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，通過的取值范圍求的取值范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，由于，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，令，解得或，
則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
令，解得，
得函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
【小問2詳解】
不妨設(shè)根據(jù)題意，與是方程的兩根，
，所以，
，且，
所以
，
令，，則.
故在上單調(diào)遞減，又.
故由恒成立可得，進而解得，
所以的取值范圍是.
方法二：
由題知與為方程的兩個不等實根，，
即，兩式相減并化簡可得，則，
不妨設(shè)，則
，
由可得，
所以，
令，，
則，所以函數(shù)單調(diào)遞增.
又，
故由恒成立可得
所以，所以，
令，，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，即，
所以，進而解得的取值范圍是
【點睛】方法點睛：
利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不等式問題，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

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