數(shù)學(xué)
命題：___________ 主審：___________
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號(hào)填寫在答題卡上，并將條碼粘貼在答題卡指定區(qū)域.
2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡指定位置書寫作答，在本試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.
第I卷（選擇題共60分）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)即可求解.
【詳解】由題知，
故選：A.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法解出，由模長(zhǎng)公式計(jì)算.
【詳解】由解得，所以.
故選：C.
3. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，再寫出切線方程.
【詳解】由題知，切線方程為，即，
故選：B.
4. 已知單位向量滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夾角余弦公式求出答案.
【詳解】由得，
又為單位向量，
，
，
.
故選：B.
5. 已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，由題意得且，可求.
【詳解】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，則由題知，
每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，
有，則是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，，
所以，得.
故選：C.
6. 如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（ ）
A 8B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分步分類計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:
第一類，先向北走再往東走的情況，即第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時(shí)有種方法，
第二類，先向東走再往北走的情況上右上，此時(shí)共有種方法.
故總的方法有24種，
故選：D.
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)和差角公式以及誘導(dǎo)公式可得，由輔助角公式以及二倍角公式即可求解.
【詳解】由得，進(jìn)而可得，
結(jié)合輔助角公式得，
則，
故選：B.
8. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】觀察選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
所以且，
所以且，即且，
所以，
又，所以，
綜上所述，，
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由所有取值頻率之和為1，結(jié)合已知條件，解出，利用期望和方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)，驗(yàn)證選項(xiàng)即可.
【詳解】由題知解得，A選項(xiàng)正確；
所以，B選項(xiàng)正確；
，C選項(xiàng)正確；
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（ ）
A. 實(shí)軸長(zhǎng)為4B. 雙曲線為等軸雙曲線
C. 離心率為D. 漸近線方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線實(shí)軸、離心率、漸近線方程等性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.
對(duì)于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長(zhǎng)為4，則，，符合題意；
對(duì)于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，
可解得，符合題意；
對(duì)于C選項(xiàng)，由雙曲線離心率大于1知，不合題意；
對(duì)于D選項(xiàng)，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，
故選：ABD.
11. 如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（ ）
A.
B.
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
D. 若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】公眾號(hào)：高中試卷君
【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).
【詳解】令得，或，，
由圖可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A選項(xiàng)正確，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；
將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），
為偶函數(shù)得，，
所以，，則的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
12. 正方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別在4個(gè)互相平行的平面內(nèi)，每個(gè)平面內(nèi)至少有一個(gè)頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，則該正方體的棱長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分類討論兩個(gè)平面的位置，作截面結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)該正方體為，且其棱長(zhǎng)為，
若考慮4個(gè)平面中最中間的兩個(gè)平面，共有兩種情況.
①若中間的兩個(gè)平面為平面和平面，如圖1所示，
則過作截面，截面圖如圖2所示，
其中分別為中點(diǎn)，則，
設(shè)相鄰兩平面間距離即為A到的距離，
可得，解得，
即相鄰兩平面間距離即為A到的距離，
可知，解得；
②若中間的兩個(gè)平面如圖3所示，過作截面，截面圖如圖4所示，
其中分別為中點(diǎn)，則，
設(shè)相鄰兩平面間距離即為到距離，
可得，解得，
即相鄰兩平面間距離即為到的距離，
則，解得；
故選：BD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意分類討論平面的位置分布，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征以及截面分析求解.
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為__________.
【答案】20
【解析】
【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為0，求得答案.
【詳解】此二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
，則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為常數(shù)項(xiàng)，
故常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，
故答案為：20.
14. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，則__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解, 由拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由題知，設(shè)，其中，則
由于點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，，
故答案為：3.
15. 的一個(gè)充分不必要條件是__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要條件即可求解.
【詳解】因?yàn)闀r(shí)，
由可得,
故的一個(gè)充分不必要條件是，
故答案為：（答案不唯一）
16. 已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】是球面上不同的三點(diǎn)，不共線，故平面截球面得到的是一個(gè)圓，
記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過球心時(shí)，.
在半徑為的圓中，對(duì)于任意的弦，過作于,
由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時(shí)，
取最小值，
則的最小值為，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
又的最大值為1，故所求最小值為.
故答案為：
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列基本量計(jì)算；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求得，由得證.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為，由知，
，
由得，
.
【小問2詳解】
證明：由題知，
所以，
.
18. 在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
（1）求證：；
（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理并結(jié)合正弦函數(shù)兩角和差公式化簡(jiǎn)即可求解.
（2）利用基本不等式求得的最小值時(shí)的取等條件，再結(jié)合余弦定理從而求解.
【小問1詳解】
證明：由余弦定理知，又因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，
所以，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以或（舍），所以.
【小問2詳解】
由題知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又因?yàn)?，所以?br>所以.
19. 如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上.
（1）求證：；
（2）若平面，求的值；
（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可證明線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直，進(jìn)而可求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量即可求解.或者利用空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解.
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.
【小問1詳解】
證明：過作直線于，連接.
由題知，
，即，
又平面,平面，
又平面，
，即
【小問2詳解】
方法一：平面平面，平面平面，
平面平面.
以為原點(diǎn)，以的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，以的方向分別為軸，軸，的正
方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則.
平面.
為中點(diǎn)，由題知
設(shè)，
，
，
又在中，，
所以.
方法二：平面.設(shè)，由知，.
平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，又，
平面.
【小問3詳解】
由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則令則，
，
平面與平面所成角的余弦值為.
20. 某城市有甲、乙兩個(gè)網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡(jiǎn)稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對(duì)甲，乙兩個(gè)公司的乘車費(fèi)用，等待時(shí)間，乘車舒適度等因素的評(píng)價(jià)，得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：
①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：
②選擇甲公司的用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的頻率為；
③選擇甲公司的用戶對(duì)乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)乘車舒適度滿意的頻率為；
④選擇甲公司的用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意的頻率為.
將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.
（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對(duì)等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，并比較用戶對(duì)哪個(gè)因素滿意的概率最大，對(duì)哪個(gè)因素滿意的概率最小.
（2）若已知某位用戶對(duì)乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個(gè)公司網(wǎng)約車出行？并說明理由.
【答案】（1）答案見解析
（2）該用戶選擇乙公司出行的概率更大，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式可計(jì)算出用戶網(wǎng)約車用戶對(duì)等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，即可得出結(jié)論；
（2）利用條件概率公式計(jì)算出該用戶對(duì)甲、乙兩個(gè)公司網(wǎng)約車舒適度滿意率，比較大小后可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：設(shè)事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對(duì)等待時(shí)間滿意，
事件用戶對(duì)乘車舒適度滿意，事件用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意.
則，
，
所以，用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的概率最大，對(duì)乘車費(fèi)用滿意的概率最小.
【小問2詳解】
解：由題知，，
，
所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.
21. 已知如圖，點(diǎn)為橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），直線分別交直線于點(diǎn).求證：四邊形為平行四邊形.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解得橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程，證明后知平分對(duì)角線得四邊形為平行四邊形.
【小問1詳解】
由題知解得.故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
方法一：顯然直線不能水平，故設(shè)直線方程為，
設(shè)，
由得，
令得，.
所以，
令，得.故直線方程為，
直線方程為.
由得，
將中換成得.
，
為線段中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形.
方法二：設(shè).
直線方程為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為，
此時(shí)，直線方程的為，
由得，同理，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，
由得.
令得，.
由韋達(dá)定理得.
將代入得
直線的方程為
由得
同理可得.
，
，綜上所述，為線段中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，
四邊形平行四邊形.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明四邊形為平行四邊形的方法用對(duì)角線相互平分得到.
22. 已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).
（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若與為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分類討論函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)的條件；
（2）根據(jù)方程解出兩個(gè)不等實(shí)根與，有，所以，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，通過的取值范圍求的取值范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由于，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
令，解得，
得函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
【小問2詳解】公眾號(hào)：高中試卷君
不妨設(shè)根據(jù)題意，與是方程的兩根，
，所以，
，且，
所以
，
令，，則.
故在上單調(diào)遞減，又.
故由恒成立可得，進(jìn)而解得，
所以的取值范圍是.
方法二：
由題知與為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，，
即，兩式相減并化簡(jiǎn)可得，則，
不妨設(shè)，則
，
由可得，
所以，
令，，
則，所以函數(shù)單調(diào)遞增.
又，
故由恒成立可得
所以，所以，
令，，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，即，
所以，進(jìn)而解得的取值范圍是
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不等式問題，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

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這是一份遼寧省沈陽市2023-2024高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷及答案，共18頁。

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遼寧省沈陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)（Word版附解析）

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2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（沈陽一模）（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（沈陽一模）（含解析）
精品解析：遼寧省沈陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題

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