一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用并集概念進(jìn)行求解.
【詳解】.
故選：D
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，.
故選：B.
3．以點(diǎn)為對(duì)稱中心的函數(shù)是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性依次判定.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)稱中心為，故不選A；
對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)稱中心為，故不選B;
對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)稱中心為，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，不是中心對(duì)稱圖形，故不選D.
故選：C.
4．在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．1B．C．D．-1
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖所示，
所以.
故選：B.
5．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
6．已知，，，，成等比數(shù)列，且和為其中的兩項(xiàng)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合題意，取最小值時(shí)為負(fù)數(shù)，且，利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意，要使最小，則，，都是負(fù)數(shù)，則和選擇和，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，
所以；
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，
所以；
綜上，的最小值為.
故選：B
7．在足球比賽中，球員在對(duì)方球門前的不同的位置起腳射門對(duì)球門的威脅是不同的，出球點(diǎn)對(duì)球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為室內(nèi)5人制足球場(chǎng)示意圖，設(shè)球場(chǎng)（矩形）長(zhǎng)大約為40米，寬大約為20米，球門長(zhǎng)大約為4米.在某場(chǎng)比賽中有一位球員欲在邊線上某點(diǎn)處射門（假設(shè)球貼地直線運(yùn)行），為使得張角最大，則大約為（ ）（精確到1米）
A．8米B．9米C．10米D．11米
【答案】C
【分析】利用表示出，再結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】由題意知，，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，所以大約為10米.
故選：C.
8．已知正方體每條棱所在直線與平面所成角相等，平面截此正方體所得截面邊數(shù)最多時(shí)，截面的面積為，周長(zhǎng)為，則（ ）
A．不為定值，為定值B．為定值，不為定值
C．與均為定值D．與均不為定值
【答案】A
【分析】利用正方體棱的關(guān)系，判斷平面所成的角都相等的位置，可知截面邊數(shù)最多時(shí)為六邊形，如圖所示，可計(jì)算出周長(zhǎng)為定值，計(jì)算正三角形的面積和截面為正六邊形時(shí)的截面面積通過比較即可得答案.
【詳解】正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，
如圖：與面平行的面且截面是六邊形時(shí)滿足條件，不失一般性設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，

可得平面與其他各面的交線都與此平面的對(duì)角線平行，即等
設(shè)，則，∴，
∴，同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和為，
∴六邊形的周長(zhǎng)為定值．
正三角形的面積為；
如上圖，當(dāng)均為中點(diǎn)時(shí)，六邊形的邊長(zhǎng)相等即截面為正六邊形時(shí)截面面積最大，截面面積為， 所以截面從平移到的過程中，截面面積的變化過程是由小到大，再由大到小，
故可得周長(zhǎng)為定值，面積不為定值，
故選：A.
二、多選題
9．若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，，則
【答案】BC
【分析】由點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A，若，，則可能，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t能在內(nèi)找一條直線，使得，
因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，由面面垂直的判定定理可得，故B正確；
對(duì)于C，若，則能在內(nèi)找一條直線，使得，
，，則，又因?yàn)?，所以，故C正確；
對(duì)于D，若，，，則可能異面，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．下列說法正確的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要條件
B．的最大值為
C．若，則
D．命題 “，”的否定是“，”
【答案】AB
【分析】利用特殊值判斷A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)含有一個(gè)量詞命題的否定判斷D.
【詳解】對(duì)于A：若，，滿足，但是，故充分性不成立，
若，，滿足，但是，故必要性不成立，
即“”是“”的既不充分也不必要條件，故A正確；
對(duì)于B：由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，且，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，又，所以?br>所以，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：命題 “，”的否定是“，”，故D錯(cuò)誤；
故選：AB
11．已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)?若為偶函數(shù)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，先利用求導(dǎo)證明為奇函數(shù)，再證明其還為周期為4的函數(shù)，再通過合理賦值可一一核對(duì)各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，
所以為奇函數(shù)，因?yàn)?，?br>所以，故，所以，
即的周期且，則，故B錯(cuò)誤；
在，中，
令，可得，所以，故A正確；
由，令，可得，則，則，即，
所以，故D錯(cuò)誤；
在中，令得，，
在中，令得，，
兩式相加得，即，故C正確.
故選：AC.
12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，P為正方體的內(nèi)切球上任意一點(diǎn)，則（ ）
A．球被截得的弦長(zhǎng)為
B．的范圍為
C．與所成角的范圍是
D．球被四面體表面截得的截面面積為
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，利用對(duì)稱性以及球心到端點(diǎn)的距離，再結(jié)合余弦定理可計(jì)算得弦長(zhǎng)為，從而可判斷出選項(xiàng)A的正誤；
對(duì)于B，利用向量運(yùn)算可得，即可求得其范圍為，從而可判斷出選項(xiàng)B的正誤；
對(duì)于C，截取截面可知，當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的最大滿足，可得，從而可判斷出選項(xiàng)C的正誤；
對(duì)于D，求得球心到正四面體表面的距離為，可得四個(gè)相同截面圓的半徑為，即可得截面面積為，從而可得出選項(xiàng)D正確.
【詳解】如圖所示，
對(duì)于選項(xiàng)A，易知內(nèi)切球的半徑，且球心在正方體的中心，易得，
設(shè)球被截得的弦長(zhǎng)為，在中，易得，
如下圖所示，在中，
由對(duì)稱性可知，，且，由余弦定理知，
在中，，解得或（舍），
則弦長(zhǎng)，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，不妨設(shè)的中點(diǎn)為，
則，
由選項(xiàng)A知，，，所以，，
，
當(dāng)共線同向時(shí)，，
當(dāng)共線反向時(shí)，，
所以，的范圍為，即選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，與所成的角最小為，
取截面如下圖所示，
易知，當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的角最大，設(shè)最大角為，
則，所以，得到，
所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，易知四面體為正四面體，所以四個(gè)截面面積相同，
由對(duì)稱性可知，球心即為正四面體的外接球（也是內(nèi)切球）球心，如下圖所示：
設(shè)為的中點(diǎn)，為球心在平面內(nèi)的射影，則為的中心，
易知正四面體的棱長(zhǎng)為，
又正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以，
又為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，易得，
由勾股定理，可得，所以，
設(shè)截面圓的半徑為，則，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則由，得到，
所以截面面積為，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：選項(xiàng)A和C的關(guān)鍵在于空間問題平面化，將空間問題轉(zhuǎn)化到平面上來處理，選項(xiàng)C關(guān)鍵在于利用向量的線性運(yùn)算，得到，選項(xiàng)D關(guān)鍵在于求出截面圓的半徑.
三、填空題
13．的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為
【答案】20
【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為．
令得．所以的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為．
14．已知向量，，其中，，，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】/
【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量垂直的表示列方程求參數(shù)即可.
【詳解】，
又，則
故答案為：
四、雙空題
15．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），.問：當(dāng)時(shí)，試確定使得需要 步“雹程”；若，則所有可能的取值所構(gòu)成的集合為 .
【答案】 12
【分析】根據(jù)“冰雹猜想”的計(jì)算規(guī)律，由17一直計(jì)算下去，直到使得，即可求解，再由，根據(jù)“冰雹猜想”的規(guī)律倒推，分類情況討論，求得的值，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)，可得，
所以需要12步使得；
（2）若，則或1，
①當(dāng)時(shí)，或，
②當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，可得或或，所以集合.
故答案為：；.
五、填空題
16．已知函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設(shè)直線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意意求出當(dāng)時(shí)切線方程，再聯(lián)立方程，求出當(dāng)時(shí)的切線方程，再結(jié)合兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，圖像如圖，
設(shè)直線，由，消得到，
由，得，解得或（舍去），即直線與相切，
當(dāng)時(shí)，設(shè)與的切點(diǎn)為，
則，整理得到，
令，則在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以方程的解為，得到，即直線與相切，
記直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，
所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)圖像上不同的兩個(gè)點(diǎn)，
顯然，當(dāng)點(diǎn)在一條線上時(shí)，，所以，
又易知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于求出過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖像相切的兩條切線的方程，再利用兩角差的正切公式以及數(shù)形結(jié)合思想求解.
六、解答題
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求；
(2)將中滿足的第項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；
（2）計(jì)算出，，故取出的項(xiàng)為原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，利用求和公式求出答案.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足①，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，②
①-②得，即
因，所以，從而，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）根據(jù)題意可知，
故，.
所以取出的項(xiàng)就是原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，
所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以.
18．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)設(shè)D是AB邊上靠近A的三等分點(diǎn)，，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，再利用正弦定理邊化角，借助同角公式計(jì)算作答.
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計(jì)算作答.
【詳解】（1）在中，由得：，由正弦定理得，
而，即，則，又,
所以.
（2）依題意，，在中，由余弦定理得：，
即，解得，
所以的面積.
19．已知函數(shù)在處有極值-1.
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可列出相應(yīng)方程，即可求得的值，驗(yàn)證后即可確定答案；
（2）由題意得在上恒成立，繼而參變分離得在內(nèi)恒成立.，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知，
因?yàn)樵谔幦〉脴O值-1，
所以，
解得，
即，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
即在處取得極小值-1，符合題意，
故.
（2）在上恒成立，
即在內(nèi)恒成立.
令，
則，令，得或，
令，得或，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，，即符合題意，
即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答第二問根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)取值范圍，得到不等式在上恒成立，即可參變分離，轉(zhuǎn)化為不等式在內(nèi)恒成立，繼而構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題.
20．已知兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，滿足，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）依題意可得，，即可求出、；
（2）根據(jù)高斯函數(shù)先推出的解析式，再運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）由，得，
由，得，，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，，
；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)
，
當(dāng)時(shí)滿足，
所以.
21．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)E在母線上，且，.
(1)求證：平面平面；
(2)若點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）利用余弦定理與勾股定理推得，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量表示得到關(guān)于的表達(dá)式，從而求得的值，進(jìn)而利用點(diǎn)面距離公式即可得解.
【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，
解得，又，，
所以，即，，
所以在中，，
在中，由余弦定理：
，
所以，故.
因?yàn)榈酌?，面，所以平面平面?br>又面，面面，，故面，
又平面，所以平面平面；
（2）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
設(shè)，可得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
即，
令，，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值4，
即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，
所以，
所以點(diǎn)M到平面的距離，
故當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.
22．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程的兩根互為相反數(shù).
①求實(shí)數(shù)的值；
②若，且，證明：.
【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是
(2)①0；②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）①變形得到，設(shè)其兩根分別為和，得到方程組，相減得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，且，若時(shí)，推出矛盾，得到，求出；
②由①可得，求導(dǎo)，得到在處的切線方程，切線放縮得到，，分別令，且滿足，，則，令，則，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得：.
令，得，令，得，
故函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是.
（2）①根據(jù)題意得：，，
即，，
設(shè)方程的兩根分別是和，
故①，
，即②，
①-②可得：③，
令，則，
易證，所以單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；
所以，若時(shí)，由①式可知：，，不可能成立；
故，即，由③式可知：，可得；
②因?yàn)?，可得，則，
設(shè)在處的切線斜率為，則，
又，則在處的切線方程為，
設(shè)，，則，且，
設(shè)，則，
又，則，所以在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
則，即，，
分別令，且滿足，，
則
令，則，
故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的切線放縮不等式有，，，，等，常用來進(jìn)行不等式證明.

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這是一份山東省日照市2024屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（教師版），共23頁(yè)。試卷主要包含了 實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是，3B， 設(shè)為復(fù)數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

山東省日照市2024屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（學(xué)生版）：

這是一份山東省日照市2024屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（學(xué)生版），共6頁(yè)。試卷主要包含了 實(shí)數(shù)滿足，則大小關(guān)系是，3B， 設(shè)為復(fù)數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年山東省日照市高二上學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年山東省日照市高二上學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含答案，共23頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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