一、單選題
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】理解描述法，求對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，應(yīng)用集合的并集運算即可.
【詳解】，，則.
故選：C．
2．已知，則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡，利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】，
則，所以的虛部是.
故選：A
3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)奇偶性即可求解.
【詳解】∵為奇函數(shù)，
∴時，，則，
∴時，，
則，
故選：C．
4．4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加實踐活動，則周六、周日各有兩位同學(xué)參加實踐活動的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)古典概率模型的概率求法求解即可.
【詳解】4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加實踐活動，共有種選法，
設(shè)4位同學(xué)分別為A，B，C，D，
則4人中選兩人在周六選法有，剩下兩人在周日，
所以周六、周日各有兩位同學(xué)參加實踐活動共有種選法，
所以周六、周日各有兩位同學(xué)參加實踐活動的概率.
故選:B．
5．已知函數(shù)在處取到最大值，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】運用輔助角公式或逆用兩角差的正弦公式化簡后求出，再代入運用兩角差的正弦公式即可求解.
【詳解】因為，
其中，，又在處取到最大值，
所以（），即（），
則，，
所以，
故選：A．
6．已知圓：與直線：（），過上任意一點向圓引切線，切點為，，若的最小值為，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由的最小值給出的范圍，再用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】圓：，圓心，半徑，
由的最小值為，可得．
又，，所以的最小值為2，
而圓心到直線：（）的距離等于2，
即，解得，
故選：D．
7．函數(shù)，若存在，使得對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因為任意，都有，所以是函數(shù)的最小值，也是極小值，又當(dāng)時，，故只需即可.
【詳解】由，又，
因為任意，都有，
所以是函數(shù)的最小值，也是極小值，
故有兩實根，即有兩實根，則，
記二次函數(shù)的零點為，
且，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，因為是最小值，
所以，即，
解得，故，
故選：B．
8．對于數(shù)列，定義：（），稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列命題正確的是（ ）
A．若數(shù)列的通項為：，則數(shù)列的最小值為2
B．若數(shù)列的通項為：，則數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列
C．若數(shù)列的通項為：，則時數(shù)列單調(diào)遞減
D．若數(shù)列的通項為：，則
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在、上的單調(diào)性可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上的單調(diào)性可得，再由在上的單調(diào)性可判斷C；估算出、，由函數(shù)在上單調(diào)遞減可判斷D.
【詳解】，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
對于A，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則數(shù)列的最小值為，故A錯誤；
對于B，數(shù)列單調(diào)遞增，，且時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增，
而時，，又，
∴，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯誤；
對于C，因為函數(shù)，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，且，
所以時，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，則時，數(shù)列單調(diào)遞增，故C錯誤；
對于D，∵，，∴，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減知：，故D正確.
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵點是利用導(dǎo)數(shù)判斷出在、上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解題.
二、多選題
9．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（），為非零常數(shù)，則（ ）
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)可能相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定不同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差可能相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差一定不同
【答案】AC
【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的定義，用特值法可判斷A、B的正誤；C、D利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系即可判斷正誤.
【詳解】當(dāng)取，，，時，可知A正確，B錯誤；
，故時方差可能相同，故C正確；
由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，
時極差相同，故D錯誤，
故選：AC．
10．如圖，在邊長為1的正方體中取四個頂點，得到正四面體，則下列正確的是（ ）
A．正四面體的體積為
B．正四面體的外接球的半徑為
C．正四面體的棱切球的半徑為
D．正四面體的內(nèi)切球的半徑、棱切球的半徑和外接球的半徑成等比數(shù)列
【答案】ACD
【分析】利用正方體、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合錐體的體積，逐項計算判斷即得.
【詳解】對于A，正四面體的體積，A正確；
對于B，正四面體的外接球即為正方體的外接球，球半徑為， B錯誤；
對于C，正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，球半徑為，C正確；
對于D，正四面體的內(nèi)切球的半徑為，由，
解得，顯然，，成等比數(shù)列，D正確.
故選：ACD
11．過雙曲線（，）的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，且該直線與軸的交點為，若（為坐標(biāo)原點），該雙曲線的離心率的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意求出長，利用求出雙曲線離心率范圍，即可得出結(jié)果.
【詳解】
不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，右焦點，
則點到漸近線的距離為，
在方程中，
令，得，所以，
由，可得，
則，即，即，
解得，又因為．所以.
故選：ABD．
12．已知函數(shù)的定義域是，是的導(dǎo)函數(shù)，若對任意的，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)時，
【答案】ABC
【分析】先構(gòu)造函數(shù)，依題意用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可逐項求解.
【詳解】設(shè)，則，
據(jù)題意，故是一個定義在上的增函數(shù)，
則，即，
化簡得，，故A，B正確；
又，即，化簡得，故C正確；
由于，
當(dāng)時，，解得，故D不正確，
故選：ABC．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運算特征反向構(gòu)造函數(shù)，注意.
三、單空題
13．已知向量，，則 ．
【答案】/
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，向量，，則，
又，，
，
故．
故答案為：
四、填空題
14．已知棱長均相等的正三棱柱，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
【答案】/
【分析】連接，交于點，取的中點，連接，則，則為異面直線所成的角或其補角,解三角形即可.
【詳解】如圖1，連接，交于點，取的中點，連接，
則，則為異面直線所成的角或其補角，不妨令，
則在三角形中，，，
由余弦定理可知：，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：
15．已知橢圓：，為坐標(biāo)原點，，是橢圓上兩點，，的斜率存在并分別記為，，且，則 ．
【答案】36
【分析】設(shè)，，，，應(yīng)用斜率兩點式、差角余弦公式得，進而有，，最后由兩點距離公式求目標(biāo)式的值.
【詳解】設(shè)，，，，
由，整理得，
即，則或，所以，，
．
故答案為：
16．已知函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)在上至少存在兩個最值點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先求得圖象平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)所得函數(shù)在區(qū)間上最值點的情況以及對進行分類討論來求得的取值范圍.
【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后，
所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為，
則當(dāng)，
即時，在上至少存在兩個最值點，滿足題意；
當(dāng)時，，所以（），
解得（）．當(dāng)時，解集為，不符合題意；
當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
【點睛】三角函數(shù)圖象變換，首先要看是變還是變，平移變換中：變是“左加右減”，變是“上加下減”.伸縮變換中，如：由變換為，則是縮小為原來的倍；如變?yōu)?，則是放大為原來的倍.
五、解答題
17．已知的內(nèi)角所對的邊為，，，且．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理及正弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式兩角和的正弦公式化簡即可證明；
（2）結(jié)合正弦定理進行邊角互化，用角表示各邊，由角的范圍確定的取值范圍．
【詳解】（1）證明：由余弦定理可得，
化簡可得，
由正弦定理可得．
又，
∴，
∴或，即或（舍去）．
（2）∵，∴，
∴由正弦定理可得
.
又∵，，，
∴解得，∴．
令，則，
∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，即．
18．記為數(shù)列的前項和，已知：，（）．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)求和：．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用等差數(shù)列定義即可得證，并結(jié)合與的關(guān)系式，求出.
（2）利用前項和的倒序相加法，結(jié)合組合的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，
有，又，故，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，即，
故，兩式相減得，
即，所以，
因此的通項公式為．
（2）設(shè)，
則由（1）知，
又，
兩式相加得：
，
因為，，
，
所以.
19．如圖甲，在菱形與等腰直角中，，，，現(xiàn)將沿旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)到點，如圖乙，若．
(1)求證：；
(2)求二面角平面角的余弦的絕對值，并據(jù)此求出平面在平面上投影的面積．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）由題干數(shù)據(jù)可得為邊長為2的正三角形，且，又，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得平面，.連接，與交于點，可得，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）取的中點，連接，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用向量法求出二面角平面角的余弦的絕對值. 令平面在平面上投影的面積為，利用即可求解.
【詳解】（1）證明：由菱形中，，則為邊長為2的正三角形，
即，又有，，所以，即．
又，即，且，平面，
所以平面.
因為平面，所以.
如圖2，連接，與交于點，則，且，平面，
所以平面.
因為平面，所以．
（2）解：取的中點，連接，如圖3建立以，，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，．
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，則，，即．
設(shè)為平面的一個法向量，
則，即，
令，則，，即．
令二面角的平面角為，則．
如圖4，在三角形中，由題意知：
，，則，
令平面在平面上投影的面積為，
則，所以，
所以平面在平面上投影的面積為．
20．2023年10月7日，杭州第19屆亞運會女子排球決賽，中國隊以3比0戰(zhàn)勝日本隊，奪得冠軍，這也是中國女排第9個亞運冠軍．她們用汗水詮釋了幾代女排人不屈不撓、不斷拼搏的精神．某學(xué)校為了弘揚女排精神，組織高三同學(xué)參加《三環(huán)杯》排球賽，采用5局3勝制，每局25個回合，決勝局15個回合．在一個回合中，贏的球隊獲得1分，輸?shù)那蜿牪坏梅?，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方．經(jīng)統(tǒng)計，甲、乙兩支球隊在每一個回合中輸贏情況如下：當(dāng)甲隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊獲勝的概率為；當(dāng)乙隊擁有發(fā)球權(quán)時，乙隊獲勝的概率為，且在第一回合中，甲隊和乙隊擁有相同的發(fā)球權(quán)．
(1)在第一局比賽中，求在前三個回合里乙隊獲得2分的概率；
(2)在第二局比賽中，假設(shè)由乙隊先發(fā)球，試比較在第五個回合中，甲乙兩隊誰發(fā)球的概率更大？
【答案】(1)
(2)乙隊開球的概率更大
【分析】（1）考慮甲隊先發(fā)球和乙隊先發(fā)球兩種情況，根據(jù)乙隊贏2次輸1次計算概率得到答案.
（2）確定，，，依次計算得到答案，或確定，得到數(shù)列由是以為首項，為公比的等比數(shù)列，計算得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)某局比賽開始，甲隊先發(fā)球，乙隊獲取2分的概率為：
；
當(dāng)某局比賽開始，乙隊先發(fā)球，乙隊獲取2分的概率為：
；
所以在前三局比賽中，乙隊獲得2分的概率．
（2）方法一：設(shè)在第個回合中，甲隊開球的概率為，
在第五個回合中，甲隊開球的概率：，
同理：，，，
故，，，，，
又，故在第五個回合中，乙隊開球的概率更大．
方法二：設(shè)在第個回合中，甲隊開球的概率為，
由全概率公式得：，即，
由題意得：，
所以數(shù)列由是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以：，即：，
所以：，
故在第五個回合中，乙隊開球的概率更大．
21．已知雙曲線：（，）過且離心率為．
(1)求的方程；
(2)若直線與雙曲線交于，兩點，且，求證：直線恒過定點，且該定點不在上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)點坐標(biāo)和離心率得到雙曲線方程.
（2）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)直線和點坐標(biāo)，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)垂直得到，代入計算得到，得到定點坐標(biāo)，法2，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.
【詳解】（1）經(jīng)過點，可知，離心率，解得．
，解得，
所以的方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，整理得．
由得（*），
且，，
因為，所以，．
因為，所以，即，
所以，
即，
所以，化簡得，
即，解得或，且均滿足（*），
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，即點，
不符合題意，舍去；
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，符合題意；
當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)的方程為（），
由解得，依題意，因為，，
所以，即，所以，即，
解得（舍）或，
所以直線的方程為，直線過點，
綜上所述：直線經(jīng)過一個不在雙曲線上的定點，定點的坐標(biāo)為．
法二：由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，整理得，
得（*），
且，．
因為，所以，，
因為，所以，即，
故，
即，
，
所以，化簡得，
解得或，均滿足（*）．
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，即點，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，符合題意；
直線經(jīng)過一個不在雙曲線上的定點，定點的坐標(biāo)為．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了雙曲線方程，直線過定點問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系進行計算，可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.
22．已知函數(shù)．
(1)若在處的切線與直線垂直，求的方程；
(2)若，且恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，進而寫出切線方程；
（2）問題化為恒成立，構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)研究最小值，利用恒成立，確定極值點范圍，進而求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）直線的斜率為，又，
由題得，故，則，所以，
切線的方程為，即．
（2）由題得：恒成立，即恒成立，
設(shè)，，則，
當(dāng)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨向于0時，趨向；當(dāng)趨向于時，趨向，
∴唯一使得，即．
當(dāng)時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，
對于且，則，即函數(shù)在上遞增，
所以，即在上恒成立，
，
由恒成立，則，只需，故，
由在上遞增，則，解得，
而時，，不滿足題意，
綜上，．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，問題化為，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值點范圍，結(jié)合區(qū)間單調(diào)性、函數(shù)值符號確定參數(shù)范圍.

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