2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁左翼中旗實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題含答案

這是一份2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁左翼中旗實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題含答案，共11頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
1．若，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)求模運(yùn)算公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：D
2．已知等比數(shù)列滿足，公比，則（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榍遥?br>所以.
故選：B
3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．18B．54C．128D．192
【答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得．
．
故選：D.
4．若，則下列正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】A選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)可得；BCD可舉出反例
【詳解】A選項(xiàng)，由，兩邊同時(shí)減去c，有，故選項(xiàng)A正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，不成立，排除B選項(xiàng)；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由得，排除C選項(xiàng)；
D選項(xiàng)，，時(shí)，不成立，排除D選項(xiàng).
故選：A.
5．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】作出可行域，利用直線縱截距即可求解.
【詳解】如圖作出可行域：

令，即，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，縱截距最小，最大，
此時(shí)，
即的最大值為1.
故選：D
6．已知，，，則的最小值為（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，，?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
7．若雙曲線C：的焦距長(zhǎng)為8，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，即，
令.
故選：D
8．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解出集合，利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)榛颍遥?br>故.
故選：D.
9．已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和中間值比較出大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，，
所以，故，
，故.
故選：C
10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故選：B
11．計(jì)算的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.
【詳解】.
故選：C．
12．已知向量，，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合二倍角的正切公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以，得，
所以.
故選：A.
13．在中，已知，則角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推論即可求解.
【詳解】由及余弦定理的推論，得，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
14．已知向量，，，若，則（ ）
A．3B．-1C．2D．4
【答案】A
【分析】運(yùn)用共線向量的坐標(biāo)表達(dá)式即得.
【詳解】由，，又由，可得：，解得.
故選：A.
15．已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)可得，進(jìn)而由夾角公式即可求解.
【詳解】由得，
將代入可得，
所以，所以，
由于，所以，
故選：B
二、填空題
16．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)離心率求出，進(jìn)而得到.
【詳解】由題意得，，解得，
故.
故答案為：1
17．的解集為
【答案】
【分析】利用移項(xiàng), 通分, 轉(zhuǎn)化整式不等式求解即可.
【詳解】由, 可得, 即,
所以,
解得,
所以原不等式的解集為.
故答案為: .
18．年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列是周期為的數(shù)列，結(jié)合周期性分析運(yùn)算.
【詳解】由數(shù)列，，，，，，，，，，各項(xiàng)除以的余數(shù)，
可得數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，
一個(gè)周期中八項(xiàng)和為，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的前項(xiàng)的和.
故答案為：.
19．已知向量滿足，的夾角為，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式直接代入求解即可.
【詳解】，
故答案為：.
20．函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】先計(jì)算，從而可求解.
【詳解】，所以.
故答案為：
三、解答題
21．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)最大值為54，最小值為.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，并求出極值即可；
（2）根據(jù)（1）結(jié)果，比較區(qū)間內(nèi)端點(diǎn)值、極值大小，即可得最值.
【詳解】（1）由題設(shè)，令，得或，
當(dāng)時(shí)，即，解得或，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
當(dāng)時(shí)，即，解得，單調(diào)遞減區(qū)間為.
函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）由，，，則
且在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值為54，最小值為.
22．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和值域；
(2)若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)最小正周期為，值域?yàn)?br>(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>故的最小正周期為，值域?yàn)?
（2）令，解得.
又，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
23．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，.
(1)求角的大?。?br>(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值，然后利用余弦定理可求得的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得?br>因?yàn)?、，則，所以，，則，
故.
（2）解：由平面向量數(shù)量積的定義可得，可得，
由余弦定理可得，
解得.
24．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．
(1)求和；
(2)設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以?br>又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
25．已知橢圓的短半軸為3，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得的值，即可求解；
（2）設(shè)，利用“點(diǎn)差法”求得，得到直線的方程，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解.
【詳解】（1）解：由橢圓 的短半軸為，離心率為，
可得且，即，
因?yàn)?，可得，解得，所以?br>所以橢圓的方程為.
（2）解：設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，
則 ，兩式相減得，
即，即，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程組，整理得，可得，
則.

26．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線l的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)（M在x軸上方），求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化關(guān)系求解；
（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義求解.
【詳解】（1）將中的參數(shù)t消去，得曲線C的普通方程為．
將代入，
得直線l的直角坐標(biāo)方程為．
（2）易知直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），
代入，得，
設(shè)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，
則，且，，
所以．