一、單選題
1．設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．
【詳解】由題意有，故．
故選：B．
3．若，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】由題意可得，
對于A，不是奇函數(shù)；
對于B，是奇函數(shù)；
對于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；
對于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題.
5．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
6．若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.
【詳解】，，
.
故選：C.
7．設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，已知，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、等比中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)?，且也成等比?shù)列，
因?yàn)?，，所以?br>所以8，-1，S9-S6成等比數(shù)列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D錯(cuò)誤.
故選：A.
8．下列說法不正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；利用作差法即可判斷BC；舉出反例即可判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；
對于B，，
因?yàn)?，，所以?br>所以，即，故B正確；
對于C，，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
9．已知，若 ，則 的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的應(yīng)用即可求解.
【詳解】由題意得，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，，取等號，故B項(xiàng)正確.
故選：B.
10．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線，的一個(gè)周期為4，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)各項(xiàng)解析式，結(jié)合正余弦型函數(shù)性質(zhì)，將代入驗(yàn)證，應(yīng)用排除法即可判斷.
【詳解】對于A，由，顯然不是對稱軸，排除A；
對于C, 的最小正周期，不合題意，排除C；
由，顯然不是對稱軸，排除D；
，即是對稱軸，最小正周期，滿足題設(shè).
故選：B
11．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
12．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的n=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次計(jì)算，結(jié)合判斷條件，即可求解.
【詳解】根據(jù)給定的程序框圖，可得：
第1次循環(huán)：，不滿足判斷條件，執(zhí)行循環(huán)；
第2次循環(huán)：，不滿足判斷條件，執(zhí)行循環(huán)；
第3次循環(huán)：，此時(shí)，
滿足判斷條件，輸出結(jié)果.
故選：B.
二、填空題
13．設(shè)為單位向量，且，則 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.
【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?br>所以
解得：
所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.
14．函數(shù)的定義域是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且?br>故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
15．若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則 ．
【答案】1
【分析】利用可得答案.
【詳解】若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，
則，
即，解得.
故答案為：1.
16．已知命題：，，則為 .
【答案】，
【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定即得.
【分析】因?yàn)槊}：，，
所以為，.
故答案為：，.
三、解答題
17．已知關(guān)于的不等式.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集為，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）將代入，利用一元二次不等式的解法即可求解.
（2）根據(jù)不等式的解集確定方程的根，再利用韋達(dá)定理即可求解.
【詳解】解：（1）時(shí)，不等式即為，
它等價(jià)于，則.
時(shí)，原不等式的解集為.
（2）不等式的解集為，
，且，是關(guān)于的方程的根.
，.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法、由一元二次不等式的解求參數(shù)的取值，屬于基礎(chǔ)題.
18．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由已知判定數(shù)列是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，即可求解（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解
【詳解】（1）由已知
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列滿足
所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
（2）①
對上式兩邊同乘以2，
整理得②
①-②得
所以
19．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
20．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為；
(3)
【分析】（1）直接計(jì)算，求導(dǎo)計(jì)算，寫出切線方程即可；
（2）直接求導(dǎo)確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，寫出單調(diào)區(qū)間即可；
（3）先根據(jù)必要性得到，再證明當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（2）中單調(diào)性證得，即滿足充分性，即可求解.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，，，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）易得定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，或，
當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；
故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為；
（3）“，即”是“當(dāng)時(shí)，恒成立”的必要條件.
當(dāng)，時(shí)，，令，
由（2）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，
即，所以的取值范圍是.
21．如圖，在正四棱柱中，，是棱上任意一點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若是棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法從而求證；
（2）利用空間向量法求解異面直線夾角.
【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
因?yàn)?，所以，?br>，，
所以，所以.
（2）是棱的中點(diǎn)，故，
則，
設(shè)異面直線與所成角的大小為，
則，
故異面直線與所成角的余弦值為.
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到的距離的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】（1）；；（2）；
【解析】（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程即可得到的普通方程，利用，即可得到的直角坐標(biāo)方程.
（2）首先設(shè)，利用點(diǎn)到直線的公式得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】（1）對于曲線有，所以的普通方程為.
對于曲線有，，
，即的直角坐標(biāo)方程為.
（2）聯(lián)立，整理可得，
，所以橢圓與直線無公共點(diǎn)，
設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為
，
當(dāng)時(shí)，取最大值為，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

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