八年級數(shù)學(xué)
本試卷共三大題，23小題，滿分120分.考試時間120分鐘.
第一部分 選擇題（共30分）
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的）
1．三角形的兩邊長分別為4，9，則第三邊長可能是（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
3．下列多邊形中，內(nèi)角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．計算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
5．分式有意義的條件是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，，垂足為C，且，若用“”證明，則需添加的條件是（ ）

A．B．C．D．
7．如圖，點(diǎn)B，D，E，C在一條直線上，且，，，，則的長為（ ）
A．5B．6C．8D．9
8．下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（ ）
A．連接BC，使B．以點(diǎn)C為圓心，長為半徑畫弧
C．作直線D．連接，并且平分
9．下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
10．師傅和徒弟兩人每小時共做40個零件，在相同時間內(nèi)，師傅做了300個零件，徒弟做了100個零件．師傅每小時做了多少個零件？若設(shè)師傅每小時做了個零件，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非選擇題（共90分）
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．因式分解： ．
12．我國一款手機(jī)的芯片采用了先進(jìn)的制造工藝，已知，將用科學(xué)記數(shù)法表示為：
13． 如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠BAD= °．
14．如圖，已知，，，則的長為 ．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在x軸上取一點(diǎn)C使為等腰三角形，符合條件的C點(diǎn)有 個．
三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
16．計算
(1)；
(2)．
17．如圖，在中，，，作的角平分線，交于點(diǎn)D．
(1)依題意補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)求證．
18．先化簡，再求值：，其中，.
19．如圖，在四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，．
求證．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，．
(1)在圖中畫出關(guān)于x軸對稱的；
(2)在y軸上畫出點(diǎn)P，使得的值最小（保留作圖痕跡），并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
21．列方程解應(yīng)用題：
甲、乙兩人分別從距目的地6km和10km的兩地同時出發(fā)，甲、乙的速度比是3∶4，結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)目的地．求甲、乙的速度．
22．【教材呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第121頁的閱讀與思考：
利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知識應(yīng)用】
（2），則_________，_________；
【拓展提升】
（3）如果，其中m，p，q均為整數(shù)，求m的值.
23．問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：
如圖1，中，，點(diǎn)D在邊上．
要求數(shù)學(xué)小組進(jìn)行如下操作：
作，交直線于點(diǎn)E；過點(diǎn)C作，交直線于點(diǎn)F.
（1）補(bǔ)全圖形；
深入探究：
（2）同學(xué)們探究發(fā)現(xiàn)，圖中有與相等的線段，請找出并證明；
拓展提升：
（3）圖形特殊化，（如圖2），其他條件不變，重復(fù)（1）的操作，設(shè)四邊形的面積是，的面積是，求的值．
答案與解析
1．A
【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，判斷即可．
【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別為4，9，
設(shè)第三邊長為x，
∴第三邊長x的范圍是，即，
故選：A．
2．B
【分析】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案．
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：B．
3．B
【分析】根據(jù)n邊形內(nèi)角和公式分別求解后，即可得到答案
【詳解】解：A．三角形內(nèi)角和是，故選項(xiàng)不符合題意；
B．四邊形內(nèi)角和為，故選項(xiàng)符合題意；
C．五邊形內(nèi)角和為，故選項(xiàng)不符合題意；
D．六邊形內(nèi)角和為，故選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了n邊形內(nèi)角和，熟記n邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
4．D
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解： ．
故選： D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
5．D
【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟記分式有意義的條件是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)分式有意義的條件得出，再求出答案即可．
【詳解】要使分式有意義，必須，
解得：
故選：D
6．B
【分析】根據(jù)“”的判定方法進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：，
理由是：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)“”判定三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．
7．B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過，得到，由，得到，利用三角形外角的性質(zhì)得到，推出，利用，證明，得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】，，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
．
故選：B．
8．B
【分析】本題考查了作圖-尺規(guī)作圖的定義，根據(jù)作圖語言求解．
【詳解】解：A：連接，但是不一定能垂直，故A是錯誤的；
B：以點(diǎn)C為圓心，為半徑畫弧是符合作圖語句的，故B是正確的；
C：直線沒有長度，不可度量，故C是錯誤的；
D：連接，但是不一定能平分，故D是錯誤的；
故選：B．
9．C
【分析】本題考查了因式分解的意義：把一個多項(xiàng)式化為幾個最簡整式的積的形式，叫因式分解．根據(jù)因式分解的意義逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，為乘法運(yùn)算，所以A選項(xiàng)不正確；
B、，為乘法運(yùn)算，所以B選項(xiàng)不正確；
C、，是因式分解，所以C選項(xiàng)正確；
D、，右邊不是整式的積的形式，所以D選項(xiàng)不正確．
故選：C．
10．A
【分析】根據(jù)工作量工作效率工作時間，表示兩者各自完成零件所用的時間，時間相等構(gòu)建方程．
【詳解】解：師傅所用時間為，徒弟所用時間為，于是
；
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用；理解工程問題中：工作量工作效率工作時間的基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．
【分析】利用提公因式法即可求解．
【詳解】．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查利用提公因式法進(jìn)行因式分解．掌握相關(guān)方法即可．
12．
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．
科學(xué)記數(shù)法確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】的左邊起第一個不為零的數(shù)字7前面的0有9個
，
故答案為：
13．30
【分析】根據(jù)正三角形ABC得到∠BAC=60°，因?yàn)锳D⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠BAD的度數(shù)．
【詳解】∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
故答案為30°．
14．5
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等的性質(zhì)可得，觀察圖形得．
【詳解】解：，，，
，
，
故答案為：5．
15．4
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的定義，以點(diǎn)A為圓心，以為半徑畫弧，以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫弧，畫線段的垂直平分線，按照等腰三角形成立的條件分析可得答案．
【詳解】解：觀察圖形可知，若以點(diǎn)A為圓心，以為半徑畫弧，與x軸有2個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)中有一個是與B重合的，應(yīng)舍掉，故只有1個；
若以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫弧，與x軸有2個交點(diǎn)，故有2個；
線段的垂直平分線與x軸有1個交點(diǎn)；
∴符合條件的C點(diǎn)有：（個），
故答案為：4．
16．(1)
(2)
【分析】本題考查整式的乘法，分式混合運(yùn)算．
（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則去掉括號，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）首先根據(jù)分式乘方運(yùn)算法則計算乘方，再將待化簡式中的除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算；接下來，根據(jù)分式乘法計算法則，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法計算法則計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的特征，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作已知角的角平分線．
（1）根據(jù)作已知角的角平分線步驟作圖即可；
（2）由，平分，可得，故，由，知，從而．
【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：
（2）證明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴．
18．；
【分析】本題主要考查分式的化簡求值，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分化簡，再代入求值．
【詳解】解：
；
把，代入上式得，
原式．
19．見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過三角形外角的性質(zhì)得到，由推出，利用，證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：，，
，
在與中，
，
，
．
20．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-軸對稱變換、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，作圖即可．
（2）取點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，即可得出答案．
【詳解】（1）解：與關(guān)于x軸對稱，
，，
如圖，即為所求；
（2）解：如圖，取點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接，交y軸于點(diǎn)P，
此時，為最小值，
則點(diǎn)P即為所求．
21．甲的速度km/h，乙的速度6km/h
【分析】先根據(jù)甲乙的速度比分別設(shè)兩者的速度，再根據(jù)時間×速度=路程表示出時間，根據(jù)時間差20min列方程求解．
【詳解】設(shè)甲的速度為，乙的速度為
由題意，得
解得
則甲的速度，乙的速度
答：甲的速度km/h，乙的速度6km/h．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是用速度、時間、路程三者之間的關(guān)系表示出時間差建立方程．
22．（1）（2）（3）
【分析】本題主要考查某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式及其應(yīng)用：
（1）根據(jù)閱讀材料中提供的方法進(jìn)行解答即可；
（2）先將等號右邊的括號括號展開合并，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得結(jié)論；
（3）先將等號右邊的括號括號展開合并，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得，根據(jù)m，p，q均為整數(shù)討論求解即可.
【詳解】解：（1）∵，
∴，
故答案為：；
（2）由，
∴，
解得，，
故答案為：；
（3）由，
∴，
∵m，p，q均為整數(shù)，
∴，此時；
或者，此時；
或者，此時；
或者，此時；
或者，此時；
或者，此時；
綜上，的值為：
23．（1）補(bǔ)全圖形見解析（2），證明見解析（3）2
【分析】（1）由題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）在上截取，在上截取，連接，證，得，再證，得，然后證，即可得出結(jié)論；
（3）在上截取，連接，證，得，再證，得，設(shè)，則，，然后證，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1，
（2），證明如下：
如圖，在上截取，在上截取，連接，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖2，在上截取，連接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
設(shè)，則，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
型式子的因式分解
型式子是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一類多項(xiàng)式，如何將這種類型的式子進(jìn)行因式分解呢?
在第102頁的練習(xí)第2題中，我們發(fā)現(xiàn)，.這個規(guī)律可以利用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)得出：
因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得
①
利用①式可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。例如，將式子分解因式。這個式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，因此這是一個型的式子.利用①式可得.
上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)（圖1）.
這樣，我們也可以得到.

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