一、選擇題
1．已知集合,那么( )
A.B.C.D.
2．命題“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．( )
A.B.C.D.
4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是( )
A.B.C.D.
5．函數(shù)的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
6．流行病學(xué)基本參數(shù)：基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可用模型：（其中是開始確診病例數(shù)）描述累計(jì)感染病例隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與,T滿足,有學(xué)者估計(jì)出,.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,當(dāng)時,t的值為（）( )
A.1.2B.1.7C.2.0D.2.5
7．設(shè),,,則( )
A.B.C.D.
8．函數(shù),,滿足,若,在有兩個實(shí)根,則m的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．函數(shù)其中,,的部分圖象如圖所示,則( )
A.B.函數(shù)的最小正周期是
C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
10．已知函數(shù)其中a為實(shí)數(shù),則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.B.
C.函數(shù)一定不存在最大值D.函數(shù)一定不存在最小值
11．下列結(jié)論中,正確的是( )
A.若,則函數(shù)的最小值為-1
B.若,,則的最小值為8
C.若x,,,則xy的最大值為1
D.若,,,則xy的最大值為
12．給出定義：若(其中m為整數(shù),則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù),記作設(shè)函數(shù),則下列命題正確的是( )
A.函數(shù)為的增函數(shù)
B.函數(shù)為偶函數(shù)
C.函數(shù)的最大值為
D.函數(shù)有無數(shù)個解
三、填空題
13．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),則____________.
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角的頂點(diǎn)為O,始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過點(diǎn),則_________________.
15．寫出不等式成立的一個必要不充分條件__________.
四、雙空題
16．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽.當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,則__________;_____________.
五、解答題
17．求下列各式的值.
(1);
(2)
18．已知,.
(1)若,求;
(2)從①;②;③這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面橫線上,并進(jìn)行解答.
問題：若___________,求實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合C.
19．已知函數(shù)只能同時滿足下列三個條件中的兩個：①函數(shù)的最大值為2;②函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到;③函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為
(1)請寫出這兩個條件序號,說明理由,并求出的解析式;
(2)求方程在區(qū)間上所有解的和.
20．在城鎮(zhèn)化的舊房改造進(jìn)程中,小明家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面.小明準(zhǔn)備將店面改建成超市,遇到如下問題：如圖所示,一條直角走廊寬為2米,現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動靈活的平板車希望能自如在直角走廊運(yùn)行.平板車平板面為矩形ABEF,它的寬為1米.直線EF分別交直線AC,BC于M,N,過墻角D作于P,于Q;請你結(jié)合所學(xué)知識幫小明解決如下問題：
(1)若平板車卡在直角走廊內(nèi),且,試將平板面的長AB表示為的函數(shù);
(2)若平板車要想順利通過直角走廊,其長度不能超過多少米?
21．已知函數(shù),,其中.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)設(shè),求函數(shù)的最小值.
22．已知函數(shù).
（1）證明函數(shù)在上為減函數(shù);
（2）求函數(shù)的定義域,并求其奇偶性;
（3）若存在,使得不等式能成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)?,
所以.
故選：C.
2．答案：A
解析：由于存在量詞命題的否定是全稱量詞的命題,
命題“,”是存在量詞的命題,
所以命題“,”的否定是“,”.
故選：A.
3．答案：C
解析：,
則原式,
故選：C.
4．答案：C
解析：因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù),所以,函數(shù)為上的增函數(shù),
,,即,
因此,函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是.
故選：C.
5．答案：A
解析：由題意知函數(shù),滿足,
故為奇函數(shù),則B錯誤;
當(dāng)時,,則C錯誤;
當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
則,故D錯誤,
只有A中圖象符合題意,
故選：A.
6．答案：B
解析：把,代入,得,解得,
所以,
由,得,則,
兩邊取對數(shù)得,,得,
故選：B.
7．答案：B
解析：因?yàn)?,
所以,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.
故選：B.
8．答案：A
解析： ,
關(guān)于對稱,
,,解得：,,
又,,
方法1：, ,即：,,
設(shè),
則在有兩個實(shí)根,
即：在有兩個交點(diǎn),
如圖所示,
當(dāng)時,,
,即：,
故選：A.
方法2： 在有兩個實(shí)根,
在有兩個交點(diǎn),
如圖所示,
當(dāng)時,
,即：即：,
故選：A.
9．答案：AD
解析：由題意可得,,
所以,
即,
所以,
所以,
代入及可得：,
所以,
所以對于A,,故A正確;
對于B,函數(shù)的最小正周期,故B錯誤;
對于C,因?yàn)?故錯誤;
對于D,因?yàn)?取最大值,故正確.
故選：AD.
10．答案：ABC
解析：對于A選項(xiàng),當(dāng)時,,
當(dāng)時,,故A選項(xiàng)正確;
對于B選項(xiàng),當(dāng)時,,當(dāng)時,,故B選項(xiàng)正確;
對于C選項(xiàng),當(dāng)時,函數(shù)的值域?yàn)?故函數(shù)一定不存在最大值,故C選項(xiàng)正確;
對于D選項(xiàng),當(dāng)時,時,函數(shù)的值域?yàn)?
,函數(shù)的值域?yàn)?故分段函數(shù)存在最小值,最小值為0,故D選項(xiàng)錯誤.
故選：ABC.
11．答案：BCD
解析：A.,
因?yàn)?所以,
則,
當(dāng),即時,等號成立,所以函數(shù)的最大值為-5,故A錯誤;
B.因?yàn)?所以,且,
那么,
當(dāng),即,再聯(lián)立,解得,時,等號成立,
所以的最小值為8,故B正確;
C.因?yàn)閤,,所以,所以,
當(dāng)時,等號成立,設(shè),則,解得：,
因?yàn)?所以,所以的最大值是1,即xy的最大值為1,故C正確;
D.因?yàn)?,,所以,
即,整理為,
,解得,或,解得：,
所以,即,
得,當(dāng)時等號成立,所以xy的最大值為,故D正確.
故選：BCD.
12．答案：ACD
解析：由題意可得,即,,
當(dāng)時,,,
當(dāng)時,,,
當(dāng)時,,,
當(dāng)時,,,
當(dāng)時,,,
畫出圖像,由是將在x軸下方的圖像翻折上去,可以判斷
函數(shù)在不斷上升,滿足在遞增,所以A正確,
函數(shù)圖像可得,,即,則不是偶函數(shù),所以B錯誤,
當(dāng),由圖像可得,所以選項(xiàng)C正確,
畫出,與在y軸右側(cè)圖像有交點(diǎn),令,
,當(dāng),時,,,
,即,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,時,
一定有零點(diǎn),故函數(shù)有無數(shù)個解,
所以選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
13．答案：
解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn),
所以,即,得.
故答案為：.
14．答案：
解析：由已知得,,,
故答案為：.
15．答案：(不唯一)
解析：由可得,
解得,
所以不等式成立的一個必要不充分條件可以是:.
故答案為：(不唯一).
16．答案：0;
解析：因?yàn)楫?dāng)時,,令得：,
因?yàn)楫?dāng)時,,故,所以,
則;
因?yàn)楫?dāng)時,,
所以,
其中,故,
所以.
故答案為：0;.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）
;
（2）
.
18．答案：(1)
(2)條件選擇見解析,
解析：（1）當(dāng)時,,
又因?yàn)?故.
（2）若選①,當(dāng)時,,則,滿足,
當(dāng)時,,若,則或5,解得或.
綜上所述,;
若選②,,則.
當(dāng)時,,滿足;
當(dāng)時,,因?yàn)?則或5,解得或.
綜上所述,;
若選③,當(dāng)時,,滿足;
當(dāng)時,則,因?yàn)?則或5,解得或.
綜上所述,.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）函數(shù)滿足的條件為①③;
理由如下：由題意可知條件①②中的最大值不一樣,所以互相矛盾,
故③為函數(shù)滿足的條件之一,
由③可知,,所以,故②不合題意,
所以函數(shù)滿足的條件為①③;
由①可知,所以;
（2）因?yàn)?所以,
所以或,
所以或,
又因?yàn)?所以x的取值為,,,,
所以方程在區(qū)間上所有的解的和為.
20．答案：(1),
(2)長度不能超過米
解析：（1）,,,
,
所以,.
（2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角,平板車的長度,
記 ,則=,
又則,
所以,所以,即,
則
記,,則,
函數(shù)
因?yàn)樵谏隙歼f增,
所以在上都遞增,
所以在上的單調(diào)遞減;
當(dāng)時取得最小值.
所以長度不能超過米.
21．答案：(1);
(2)
解析：(1)由得,所以a的取值范圍;
(2)
①若即,
當(dāng)時遞減,且,
當(dāng)時最小值為,
此時有,所以;
②若即時,
當(dāng)時在時取得最小值,
當(dāng)時在時取得最小值為
,
若,則,此時,
若,則,此時;
③若即,
當(dāng)時在時取得最小值,
當(dāng)時,遞增,
此時有,所以;
綜上,.
22．答案：（1）證明見解析;
（2）,奇函數(shù);
（3）.
解析：（1）,,,
又,
因?yàn)?,,故,,,
故即,所以函數(shù)在上為減函數(shù).
（2）的x滿足的不等關(guān)系有：即,
故,解得,,
故函數(shù)的定義域?yàn)?,該定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.
令
又,
故為奇函數(shù).
（3）令,因?yàn)?故.
故在上不等式能成立即為
存在,使得,所以在上能成立,
令,則且,
由基本不等式有,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
故的最大值為,所以a的取值范圍為.

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