2022-2023學(xué)年江蘇省南通市高二下學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，則x的值為（    ）A．4 B．6 C．4或6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C2．已知x，，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用特殊值法及對數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】A：當(dāng)時，，錯誤；B：當(dāng)時，無意義，錯誤；C：當(dāng)時，，錯誤；D：由于在R上遞減，故，正確.故選：D3．定義運算，則符合條件的復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】由題意可得：，即，∴，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為在第二象限，故選B.4．文創(chuàng)產(chǎn)業(yè)被認(rèn)為是21世紀(jì)全球最有前途的產(chǎn)業(yè)之一，將成為一種更高層次的全新產(chǎn)業(yè)形態(tài)，也就是所謂的“第四產(chǎn)業(yè)”.為拉近文物與年輕人的心理距離，故宮博物院推出“故宮貓祥瑞”系列盲盒：錦鯉、天馬、鐘馗、狎魚、狻猊、行什、獅子、鳳凰、葫蘆、青銅（共10款），其設(shè)計靈感來自故宮文物：故宮太和殿部分脊獸，金大吉葫蘆式掛屏，清道光款礬紅彩魚蝠盤等.故宮盲盒售賣點還剩下12個“故宮貓祥瑞”盲盒存貨，其中狻猊、葫蘆各2個，其余8款各剩1個，小明同學(xué)去該售賣點購買了2個“故宮貓祥瑞”盲盒，問買到不同款式盲盒的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出小明同學(xué)去該售賣點購買了2個“故宮貓祥瑞”盲盒的方法總數(shù)和買到不同款式盲盒的方法總數(shù)，由古典概率的公式求解即可.【詳解】故宮盲盒售賣點還剩下12個“故宮貓祥瑞”盲盒存貨，小明同學(xué)去該售賣點購買了2個“故宮貓祥瑞”盲盒，則有種方法，買到不同款式盲盒共有：種方法，所以買到不同款式盲盒的概率為：.故選：A .5．設(shè)向量, ,若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量等于(　　)A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知，利用向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】因為對應(yīng)有向線段首尾相接,所以,故有.故選：D．6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，則；②若則；③若則；④若則．其中真命題的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依次判斷每一個命題的真假，然后選出答案.【詳解】①若，則，命題為真命題；②若則或，所以命題為假命題；③若所以，又因為，則，所以命題為真命題；④若，則，命題為真命題.故選：C.7．已知不等式對恒成立，則正實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，不等式可化為，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】由可得，令，易知在上單調(diào)遞增，又有（∵，∴，），∴對任意的均成立，∴，令，，則，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，∴．故選：A．8．設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”．規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個數(shù)是（    ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】對子集分，，，四種情況討論，列出所有符合題意的集合即可求解.【詳解】，與是的子集，，對子集分情況討論：當(dāng)時，，，，，有種情況；當(dāng)時，，，有種情況；當(dāng)時，，，有種情況；當(dāng) 時，，有種情況；所以共有種，故選：D. 二、多選題9．將向量替換為復(fù)數(shù)，以下是向量的性質(zhì)類比到復(fù)數(shù)中，其中在復(fù)數(shù)中結(jié)論仍然成立的是（    ）A．由，類比為：B．由，類比為：C．由，類比為D．由，類比為：【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)和運算性質(zhì)判斷各命題的對錯即可.【詳解】設(shè)，，則，所以，，A正確；，，C錯誤；設(shè)，所以，，因為復(fù)數(shù)與實數(shù)不能比較大小，故D錯誤，，，因為，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故，又，所以，B正確；故選：AB.10．定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（    ）A．B．為奇函數(shù)C．在區(qū)間上有最大值 D．的解集為【答案】ABD【分析】令可判斷A選項；令，可得，得到可判斷B選項；任取，，且，則，，根據(jù)單調(diào)性的定義得到函數(shù)在R上的單調(diào)性，可判斷C選項；由可得，結(jié)合函數(shù)在R上的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在中，令，可得，解得，A選項正確；對于B選項，由于函數(shù)的定義域為R，在中，令，可得，所以，則函數(shù)為奇函數(shù)，B選項正確；對于C選項，任取，，且，則，，所以，所以，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，所以在區(qū)間上有最小值，C選項錯誤；對于D選項，由可得，又函數(shù)在R上為減函數(shù)，則，整理得，解得，D選項正確.故選：ABD． 三、單選題11．定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性比較.【詳解】解：令，則，因為，所以，則在上單調(diào)遞減.所以，故，，故選：C 四、多選題12．設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（    ）A．該正方體的棱長為2 B．該正方體的體對角線長為C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為【答案】BD【分析】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，利用正方體的對角線求得，根據(jù)兩球上點的距離最小值為，求解后得到r，R，進而求得正方體的對角線和外接球的表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長為，體對角線長為，∴，又由題知，所以，，∴正方體棱長為，體對角線長為，∴外接球表面積為，故選：BD. 五、填空題13．乘積式展開后的項數(shù)是           .【答案】18【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】解：依題意從第一個括號中選一個字母有種方法，從第二個括號中選一個字母有種方法，從第三個括號中選一個字母有種方法，按照分步乘法計數(shù)原理可得展開后的項數(shù)為項；故答案為：14．已知點，則在上的投影向量為              ．（用坐標(biāo)表示）【答案】【分析】由投影向量定義可得答案.【詳解】在上的投影向量為，其中為與同向的單位向量，則.又，，，則.故答案為：15．如果關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，寫出的一個取值      .【答案】6（答案不唯一）.【分析】構(gòu)造函數(shù)，則由題意根據(jù)零點存在性定理可得，從而可求出的范圍，進而可得答案.【詳解】設(shè)，因為方程在區(qū)間內(nèi)有解，所以函數(shù)在內(nèi)有零點，所以，所以，則的一個取值為6，故答案為：6（答案不唯一）.16．若對于曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))的任意切線l1，總存在曲線g(x)＝ax＋2cosx的切線l2，使得l1⊥l2，則實數(shù)a的取值范圍為        ．【答案】【分析】先求f′（x）=﹣ex﹣1，令﹣ex﹣1，進一步得 ∈（0，1），再求g′（x）=a﹣2sinx，令 =a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，把l1⊥l2轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系求解即可．【詳解】由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，所以﹣ex﹣1 ∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使過曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2，則，解得﹣1≤a≤2．故答案為：[－1,2]【點睛】本題考查了兩個函數(shù)在點的切線斜率間的關(guān)系，利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把問題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 六、解答題17．(1)若，求正整數(shù)；(2)已知，求.【答案】(1)8(2) 【分析】（1）利用排列數(shù)公式可得，即求；（2）利用組合數(shù)公式可得，即求.【詳解】（1）由得，，又，∴，即，∴正整數(shù)為8.（2）由得，，∴即，解得或，又，∴，∴.18．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】(1)求導(dǎo)得，分四種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)由(1)知，當(dāng)時，，只需，解得；當(dāng)時，，矛盾，進而可得答案.【詳解】解：（1），當(dāng)時，在上單增，在上單減；當(dāng)時，或在和上單增，在上單減；當(dāng)時，在上單增；當(dāng)時，或在和上單增，在上單減；（2）由（1）知，當(dāng)時，，故只需，即；當(dāng)時，，矛盾；故，即a的取值范圍為19．已知總體劃分為3層，通過分層隨機抽樣，得到各層的樣本平均數(shù)分別為.（1）根據(jù)以上信息可以估計總體平均數(shù)嗎？如果不能，還需要什么條件？寫出估計式.（2）如果樣本量是按比例分配，第1.2.3層的個體數(shù)分別為L，M，N，樣本量分別為l，m，n，證明：.【答案】（1）不可以，見解析（2）見解析【解析】（1）不能，還需要個體的數(shù)目或抽取樣本量，再計算估計式得到答案.（2）根據(jù)關(guān)系式，代入化簡得到答案.【詳解】（1）不可以估計總體平均數(shù)，需要第1，2，3層中包含個體的數(shù)目A，B，C，或抽取樣本量分別為a，b，e，則估計式為:或.（2）樣本平均數(shù)為.在比例分配的分層隨機抽樣中，，【點睛】本題考查了分層抽樣相關(guān)問題，意在考查學(xué)生對于分層抽樣的理解和掌握.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為中點，為中點，為線段上一點.  (1)若為中點，求證：平面；(2)設(shè)直線與底面所成角的大小為，二面角的大小為，若，求的長度.【答案】(1)證明見解析；(2)或1. 【分析】（1）連接交于點，連接，易得為平行四邊形，即為中點，可得，再由線面平行的判定證結(jié)論.（2）取中點，連接，由中點及線面垂直的性質(zhì)得底面，則為直線與底面所成角，過作于，連接，，利用線面垂直的判定及性質(zhì)得，則為二面角的平面角，用線段表示出，結(jié)合求的長度.【詳解】（1）連接交于點，連接，  底面為正方形，為中點，且，四邊形為平行四邊形.為中點，又為中點，，又平面，平面，平面.（2）取中點，連接.為線段中點，且，又底面，底面，為斜線在平面內(nèi)的射影，則為直線與底面所成角，即，.過作于，連接，.底面，底面，，又，，面，平面，平面，，綜上，為二面角的平面角，即，.由，知，即.設(shè)，，則，，，由得：，化簡得，解得或，則或1.  21．已知函數(shù)，.（1）對任意的，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（2）設(shè)，證明：有且只有一個零點，且.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的范圍（2）對進行分類討論，分為：和，利用零點存在定理和數(shù)形結(jié)合進行分析，即可求解【詳解】解：（1）因為是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.所以的最小值為，所以，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是.（2）函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷.①當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以.根據(jù)函數(shù)零點存在定理，存在，使得.所以在上有且只有一個零點.②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，所以，因為.所以.所以在上沒有零點.綜上：有且只有一個零點.因為，即，所以，.因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：對進行分類討論時，①當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點存在定理，即可求解；②當(dāng)時，恒成立，所以，在上沒有零點；最后利用，得到，然后化簡可求解。本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點等知識；考查學(xué)生運算求解，推理論證的能力；考查數(shù)形結(jié)合，分類與整合，函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題22．已知為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；(2)記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時，的值；(3)當(dāng)向量時，伴隨函數(shù)為，函數(shù)，求在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）化簡的解析式，從而求得伴隨向量.（2）先求得，由求得，進而求得，從而求得.（3）先求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的最值求得正確答案.【詳解】（1），所以.（2）依題意，由得，，所以，所以.（3）的函數(shù)解析式，所以區(qū)間的長度為，函數(shù)的周期為，若的對稱軸在區(qū)間內(nèi)，不妨設(shè)對稱軸在內(nèi)，最大值為1，當(dāng)即時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差取得最小值為；其它的對稱軸在內(nèi)時最大值與最小值之均大于，若的對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，在兩端點處取得最大值與最小值，則最大值與最小值之差為：，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【點睛】方法點睛：求解新定義函數(shù)有關(guān)的問題，關(guān)鍵點在于理解新的定義，解題過程中，要將“新”問題，轉(zhuǎn)化為所學(xué)的知識來進行求解，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法. 

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