一、選擇題
1．過點(diǎn),且傾斜角為的直線方程為( )
A.B.C.D.
2．已知為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則( )
A.2B.3C.6D.9
3．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,則C的離心率為( )
A.B.C.D.
4．如圖,G是的重心,,,,則( )
A.B.C.D.
5．已知的三個(gè)頂點(diǎn),,,則BC邊上的中線長為( )
A.B.C.D.
6．已知雙曲線的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn),則C的方程為( )
A.B.C.D.
7．已知空間向量,,則向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
8．如圖,在棱長為2的正方體中,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說法正確的是( )
A.直線必過定點(diǎn)
B.直線在軸上的截距為
C.直線的傾斜角為
D.若直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長度,再沿y軸向上平移2個(gè)單位長度后,回到原來的位置,則該直線l的斜率為
10．已知曲線( )
A.若,則C是粗圓,其焦點(diǎn)在y軸上
B.若,則C是雙曲線,其漸近線方程為
C.若,則C是圓,其半徑為
D.若,,則C是兩條直線
11．如圖,在直三棱柱中,,,,,D是的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱上且靠近,當(dāng)時(shí),則( )
A.B.
C.D.二面角的余弦值為
12．如圖所示,兩個(gè)橢圓,,內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C,P是曲線C上的任意一點(diǎn),下列說法正確的是( )
A.曲線C關(guān)于直線,對(duì)稱
B.兩個(gè)橢圓的離心率不相等
C.P到,,,四點(diǎn)的距離之和為定值
D.曲線所圍區(qū)域面積必小于36
三、填空題
13．與圓同心且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l在軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,且,則直線l的截距式方程為;類似地,在空間直角坐標(biāo)系中,若平面ABC與x軸,y軸,z軸的交點(diǎn)分別為,,,且,則平面ABC的截距式方程為________.
15．已知F是拋物線的焦點(diǎn),定點(diǎn).若點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng),那么的最小值為________.
16．已知矩形ABCD,,,沿對(duì)角線AC將折起,使得,則二面角的大小是________.
四、解答題
17．經(jīng)過直線,的交點(diǎn)M,且滿足下列條件的直線的方程:
（1）與直線平行;
（2）與直線垂直.
18．如圖,是邊長為2的等邊三角形,是以為斜邊的等腰直角三角形,且.
（1）求證:平面平面ABD;
（2）求直線AC與平面BCD所成角的正弦值.
19．已知兩圓和.
（1）判斷兩圓的位置關(guān)系;
（2）求兩圓公共弦所在的直線方程及公共弦的長.
20．如圖,在正四棱雉中,,,點(diǎn),,,分別在棱,,,上,,,.
（1）證明:;
（2）點(diǎn)P在棱上,當(dāng)二面角為時(shí),求.
21．已知拋物線的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1.
（1）求拋物線C的方程;
（2）若不過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且,求證:直線l過定點(diǎn).
22．設(shè)粗圓的離心率為,上,下頂點(diǎn)分別為,,.過點(diǎn),且斜率為k的直線l與橢圓相交于C,D兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程;
（2）是否存在實(shí)數(shù)k,使直線?證明你的結(jié)論.
參考答案
1．答案：B
解析：根據(jù)題意,要求直線的傾斜角為,則該直線與x軸垂直,其斜率不存在,
又由直線過點(diǎn).
則其方程為;
故選:B.
2．答案：C
解析：A為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等,
故有:;
故選:C.
3．答案：C
解析：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為
可得,,解得,
所以
故選:C.
4．答案：D
解析：,,,
,
則向量用基底可以表示為,
故選:D.
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
所以雙曲線C的半焦距.
由雙曲線的一條漸近線方程為,可得,即,可得,
解得,,
所以所求的雙曲線C的方程為:.
故選:B.
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：法一:(空間向量法)
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,
,,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則,
取,則
點(diǎn)到平面的距離
法二:(等體積法)
,,
,,
9．答案：ACD
解析：對(duì)于A:直線,整理得,所以該直線經(jīng)過點(diǎn),故A正確;
對(duì)于B:直線,令,解得,故直線在y軸上的截距為,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C:直線,所以直線的斜率,所以,由于,故,故C正確;
對(duì)于D:直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位長度,再沿y軸向上平移2個(gè)單位長度后,回到原來的位置,則,所以直線的斜率為,故D正確.
故選:ACD.
10．答案：ABD
解析：
11．答案：BD
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,
則,,,,,,
,
或(不合,舍去)
,即
,
A錯(cuò)誤,B正確
,
C錯(cuò)誤
對(duì)于D,
顯然是平面的一個(gè)法向量,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,取,則
顯然,二面角是銳二面角
二面角的余弦值為,
D正確
12．答案：AD
解析：直接由圖形可知A正確(也可由方程看,因?yàn)橥瑫r(shí)用x代替y,用y代替x,方程不變;同時(shí)用代替y,用代替x,方程不變.所以A正確)
兩個(gè)粗圓的離心率均為,B錯(cuò)誤.
由橢圓的定義可知,只有當(dāng)點(diǎn)P剛好在兩個(gè)橢圓的四個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí),(定值),此結(jié)論才成立,所以C錯(cuò)誤.
陰影落在直線,四條直線圍成的矩形內(nèi)部,陰影的,故D正確.
13．答案：
解析：由題意:設(shè)所求圓的方程為:,
因?yàn)樗髨A過點(diǎn),
可得:.
所求圓的方程為:.
故答案為:.
14．答案：
解析：因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,方程表示的圖形是一條直線,具有特定性質(zhì):在x軸,y軸上的截距分別為a,b,因此,類比到空間直角坐標(biāo)系中,如果一個(gè)平面在x軸,y軸,z軸上的截距分別為a,b,,
則此平面的截距式方程為,
故答案為:.
15．答案：3
解析：由拋物線的方程可得焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為:,
設(shè)垂直于準(zhǔn)線交于拋物線的準(zhǔn)線于,設(shè)M為拋物線上任意一點(diǎn),
則,
的最小值為3.
故答案為:3.
16．答案：
解析：(平面到空間的轉(zhuǎn)化,二面角“一作二證三計(jì)算”,余弦定理,空間向量的運(yùn)算)折起前如圖①,折起后如圖②
法一:圖①中,作,,垂足分別為,
,,
圖②中,在平面內(nèi)過作,則可知為二面角的平面角.
連接,,則可得,
,
二面角的大小為
法二:,
二面角的大小為
17．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：由,解得,
設(shè)所求直線為l
直線的斜率為
（1）直線l與直線平行
直線l的方程為:,即
（2）直線l與直線垂直
直線l的方程為:,即
18．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明:取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OD
是邊長為2的等邊三角形,
,
是以AB為斜邊的等腰直角三角形,
,.
又,,即
,平面ABD,,平面ABD
平面ABC,平面平面ABD
（2）由（1）可知,AB,OC,OD兩兩互相垂直,故以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)C,OB,OD所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
,,,.
,,
設(shè)是平面BCD的一個(gè)法向量,
則
取,則
設(shè)直線AC與平面BCD所成的角為,則
19．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）法一:聯(lián)立,消去y,整理得,
,兩圓相交
法二:,記為圓,圓心,半徑
,記為圓,圓心,半徑
,兩圓相交
（2）聯(lián)立,兩式相減,化簡得,
兩圓公共弦所在的直線方程為:
法一:解方程組,得,
兩圓的交點(diǎn),
公共弦長為
法二:圓心到兩圓的公共弦所在直線的距離為
公共弦長為
20．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）證明:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),以CD,CB,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示,則,,,,
,
又,不在同一條直線上,
（2）設(shè),,則
,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則
令,得,
.
又設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則
令,得,
.
化簡可得,,解得或
或
21．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為
,漸近線方程為.
,拋物線C的方程為:
（2）證明:由題意知直線l不能與x軸平行,故可設(shè)直線l的方程為:
聯(lián)立,消去x,得
設(shè),,則
,即
又,
直線l的方程為,易得直線l過定點(diǎn)
22．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）
所求的橢圓方程為
（2）直線
設(shè),
聯(lián)立方程組,消去y,得
由已知可得,
設(shè)直線AC,BD的斜率分別為,,則,
又
命題“,”是真命題,從而“,”是假命題..

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