1.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個(gè)點(diǎn)，則AB?DB?AC=( )
A. ADB. CDC. BCD. DA
2.直線3x? 3y+1=0的傾斜角的大小為( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，且以B(?1,1)為圓心的圓的一般方程為( )
A. x2+y2+2x?2y?3=0B. x2+y2?2x+2y?3=0
C. x2+y2+2x?2y?7=0D. x2+y2?2x+2y?7=0
4.設(shè)a∈R，則“a=1”是“直線(a+1)x+ay+3=0與直線2ax+y?5=0平行”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5.已知向量a=(2,x,?2),b=(2,4,y)，若|a|=3，且a⊥b，則xy的值為( )
A. 0B. 4C. 0或4D. 1或4
6.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且焦距為4，點(diǎn)M在C上，若|MF1|?|MF2|的最大值為25，則C的離心率為( )
A. 54B. 25C. 23D. 34
7.若直線y=m(x?1)+2與曲線y= 4?x2有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. (?∞,0)∪(43,+∞)B. (?∞,?43)∪(0,+∞)
C. [?23,0)∪(43,2]D. [?2,?43)∪(0,23]
8.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓(x+2)2+(y? 3)2=4上，則該橢圓的離心率不可能是( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.過(guò)點(diǎn)P(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程為( )
A. x+y?3=0B. x+y+3=0C. x?y?1=0D. x?2y=0
10.下列結(jié)論中正確的是( )
A. 若a=(?1,1,2)，b=(2,2,?1)分別為直線l，m的方向向量，則l⊥m
B. 若k=(?1,1,2)為直線l的方向向量，n=(3,1,1)為平面α的法向量，則l/?/α或l?α
C. 若n1=(4,?2,1)，n2=(?2,1,2)分別為兩個(gè)不同平面α，β的法向量，則α/?/β
D. 若向量c=(s,1,t)是平面ABC的法向量，向量AB=(?1,2,0)，BC=(?1,1,1)，則t=1
11.已知圓C1：(x+1)2+(y?1)2=1與圓C2：x2+y2?2mx+4my+4m2?2m?1=0，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 圓C2的圓心恒在直線x+2y=0上
B. 若圓C2經(jīng)過(guò)圓C1的圓心，則圓C2的半徑為12
C. 當(dāng)m=?2時(shí)，圓C1與圓C2有4條公切線
D. 當(dāng)m=0時(shí)，圓C1與圓C2的公共弦長(zhǎng)為 3
12.法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心， a2+b2為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.若矩形G的四邊均與橢圓C：x25+y24=1相切，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. C的蒙日?qǐng)A的方程為x2+y2=9
B. 若G為正方形，則G的邊長(zhǎng)為3 2
C. 若圓(x?4)2+(y?m)2=4與C的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則m=±3
D. 過(guò)直線l：x+2y?3=0上一點(diǎn)P作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)∠MPN為直角時(shí)，直線OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為?43
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知平面α的一個(gè)法向量為m=(2,?1,1)，點(diǎn)A(3,?2,1)，B(t,1,?2)在平面α內(nèi)，則t= ______ ．
14.橢圓x24+y2=1的右焦點(diǎn)到直線y= 3x的距離是______ ．
15.已知P(x0,y0)(x0≠0)是圓M：(x?2)2+(y?1)2=9上的動(dòng)點(diǎn)，a=y0+2x0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______ ．
16.已知橢圓C：x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為線段MF1的中點(diǎn)，∠F1MF2的平分線與直線EO交于點(diǎn)P，當(dāng)四邊形MF1PF2的面積為2 2時(shí)，sin∠MF2F1= ______ ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知圓M：x2+y2?2ay+b?4=0經(jīng)過(guò)A(0,3)，B(2,1)兩點(diǎn)．
(Ⅰ)求圓M的半徑；
(Ⅱ)判斷圓N：x2+(y+m2+2)2=1(m∈R且m≠0)與圓M的位置關(guān)系．
18.(本小題12分)
已知直線m：3x+4y+12=0和圓C：x2+y2+2x?4y?4=0．
(Ⅰ)求與直線m垂直且經(jīng)過(guò)圓心C的直線的方程；
(Ⅱ)求與直線m平行且與圓C相切的直線的方程．
19.(本小題12分)
已知空間中三點(diǎn)A(2,?1,1)，B(1,1,0)，C(4,?3,3).設(shè)a=AB，b=AC．
(Ⅰ)求|2a?b|；
(Ⅱ)若2ka?b與a+kb互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
20.(本小題12分)
已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為9π．
(Ⅰ)求圓C的方程；
(Ⅱ)若直線l，l′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)，且l⊥l′，直線l交圓C于M，N兩點(diǎn)，直線l′交圓C于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值．
21.(本小題12分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BA=BC，E為棱AB的中點(diǎn)，AC= 2AA1=2，二面角E?A1C?A的大小為π6．
(Ⅰ)求證：BC1/?/平面EA1C；
(Ⅱ)求直線B1C與平面EA1C所成角的正弦值．
22.(本小題12分)
已知圓C的圓心為C(a,b)(a>0且b>0)，ab=1，圓C與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)(與坐標(biāo)原點(diǎn)O不重合)，且線段AB為圓C的一條直徑．
(Ⅰ)求證：△AOB的面積為定值；
(Ⅱ)若直線x?y=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心，求圓C的方程；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，設(shè)P是直線l：x+2y+2=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PG，PH，切點(diǎn)為G，H，求線段GH長(zhǎng)度的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：AB?DB?AC=AB+BD?AC=AD?AC=CD．
故選：B．
運(yùn)用向量加法法則、減法法則計(jì)算即可．
本題考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】解：直線3x? 3y+1=0的斜率為3 3= 3，
因?yàn)閮A斜角的范圍為[0,π)，
所以其傾斜角為60°．
故選：B．
首先得到直線的斜率，然后可得答案．
本題主要考查了直線的斜率與傾斜角關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】A
【解析】解：由題意得，圓的半徑r=|AB|= (1+1)2+(2?1)2= 5，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y?1)2=5，
所以圓的一般方程為x2+y2+2x?2y?3=0．
故選：A．
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，即可求解．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的方程，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
4.【答案】A
【解析】解：直線(a+1)x+ay+3=0與直線2ax+y?5=0平行的充要條件為(a+1)?2a2=0，
整理得2a2?a?1=0，解得a=1或?12，
故當(dāng)a=1或?12時(shí)，兩直線平行；
故“a=1”是“直線(a+1)x+ay+3=0與直線2ax+y?5=0平行”的充分不必要條件．
故選：A．
直接利用直線平行的充要條件求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線平行的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
5.【答案】C
【解析】解：因?yàn)閍=(2,x,?2)，且|a|=3，
所以 4+x2+4=3，解得x=±1，
又因?yàn)閍⊥b，
所以a?b=4+4x?2y=0，
當(dāng)x=1時(shí)解得y=4，此時(shí)xy=4；
當(dāng)x=?1時(shí)解得y=0，此時(shí)xy=0．
故選：C．
由向量的模求出x的值，再由向量垂直求出y的值，最后求出xy即可．
本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意可知c=2，
又點(diǎn)M在橢圓C上，∴|MF1|+|MF2|=2a，
∴|MF1|?|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=a2=25，
當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=5時(shí)，等號(hào)成立，
∴a=5，又c=2，
∴橢圓C的離心率為ca=25．
故選：B．
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及基本不等式，即可求解．
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
7.【答案】D
【解析】解：直線y=m(x?1)+2恒過(guò)定點(diǎn)P(1,2)，
曲線y= 4?x2表示以圓心為原點(diǎn)，半徑為2的上半圓，
由直線與圓相切可得|2?m| 1+m2=2，解得m=0或m=?43，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,0)時(shí)，?3m+2=0，解得m=23；
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，m+2=0，解得m=?2．
由圖象可得，02，即大于兩圓半徑和，
所以圓C1與圓C2外離，圓C1與圓C2有4條公切線，故選項(xiàng)C正確；
當(dāng)m=0時(shí)，圓C1：(x+1)2+(y?1)2=1，圓C2：x2+y2?1=0，兩圓相交，
公共弦方程為x?y+1=0，圓C2的圓心到公共弦的距離d=1 2= 22，
所以圓C1與圓C2的公共弦長(zhǎng)為2 12?( 22)2= 2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC．
先將圓C2：x2+y2?2mx+4my+4m2?2m?1=0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x?m)2+(y+2m)2=(m+1)2，(m≠?1)，由此即可判斷A；將圓C1的圓心坐標(biāo)代入圓C2的方程即可求出參數(shù)m，從而可得圓C2的半徑，由此即可判斷B；判斷此時(shí)兩圓的位置關(guān)系即可判斷C；先求出公共弦方程，然后由圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷D即可．
本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
12.【答案】ABC
【解析】解：對(duì)于A項(xiàng)，
由題可知C的蒙日?qǐng)A的半徑為 a2+b2=3，則蒙日?qǐng)A的方程為x2+y2=9，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，
若G為正方形，則G為C的蒙日?qǐng)A的內(nèi)接正方形，
設(shè)正方形G的邊長(zhǎng)為t(t>0)，由題可知t2+t2=(2r)2=36，解得t=3 2，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，
易知點(diǎn)(4,m)在圓x2+y2=9外部，所以若圓(x?4)2+(y?m)2=4與C的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
則兩圓外切，所以 42+m2=3+2，解得m=±3，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，
因?yàn)椤螹PN為直角，且PM、PN是橢圓C的兩條切線，
所以P在橢圓C的蒙日?qǐng)Ax2+y2=9上，
又因?yàn)镻在直線l：x+2y?3=0上，
所以點(diǎn)P在直線l與橢圓C的蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)處，
設(shè)直線l與圓x2+y2=9交于A，B兩點(diǎn)，
聯(lián)立x+2y?3=0x2+y2=9，可得x1=?95y1=125或x2=3y2=0，
不妨設(shè)A(?95,125),B(3,0)，
所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或B重合時(shí)，∠MPN為直角，且kOA=?43,kOB=0，
所以直線OP的斜率為?43或0，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC．
根據(jù)已知定義可判斷A項(xiàng)，由正方形的對(duì)角線為C的蒙日?qǐng)A的直徑列方程即可判斷B項(xiàng)，由兩圓外切列方程即可判斷C項(xiàng)，由點(diǎn)P在直線l與橢圓C的蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)處，列方程組求交點(diǎn)即可判斷D項(xiàng)．
本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．
13.【答案】6
【解析】解：根據(jù)題意，點(diǎn)A(3,?2,1)，B(t,1,?2)，則AB=(t?3,3,?3)，
平面α的一個(gè)法向量為m=(2,?1,1)，點(diǎn)A(3,?2,1)，B(t,1,?2)在平面α內(nèi)，
則有m?AB=2(t?3)?3+(?3)=0，解可得：t=6．
故答案為：6．
根據(jù)題意，求出AB的坐標(biāo)，由平面法向量的定義可得m?AB=2(t?3)?3+(?3)=0，解可得答案．
本題考查平面的法向量，涉及空間向量的垂直，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】32
【解析】解：∵橢圓x24+y2=1中，a=2且b=1，c= 3，
∴橢圓的右焦點(diǎn)為F( 3,0)，
∴點(diǎn)F到y(tǒng)= 3x的距離d=3 3+1=32．
故答案為：32．
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
15.【答案】(?∞,?125]∪[0,+∞)
【解析】解：設(shè)A(0,?2)，由題知圓M的圓心為M(2,1)，半徑r=3，a表示直線PA的斜率，
不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程為y=kx?2，則圓心M到切線的距離d=|2k?2?1| k2+1=3，
解得k=0或k=?125，
結(jié)合圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,?125]∪[0,+∞)．
故答案為：(?∞,?125]∪[0,+∞)．
由a=y0+2x0的幾何意義可知其表示圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與點(diǎn)(0,?2)所在直線的斜率，求出過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率，結(jié)合圖象即可求得結(jié)果．
本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
16.【答案】 63
【解析】解：如圖：由題可知|F1F2|=2 3，|MF1|+|MF2|=4．
因?yàn)镸P平分∠F1MF2，所以P到MF1，MF2的距離相等，
設(shè)為h，則SMF1PF2=12(|MF1|+|MF2|)h=2h，
易知OE是△F1MF2的中位線，延長(zhǎng)F1P，MF2交于點(diǎn)G，則P為F1G的中點(diǎn)，
過(guò)F1作F1H⊥MG于H，
易得|F1H|=2h=|F1F2|sin∠MF2F1，
則SMF1PF2=2 3sin∠MF2F1=2 2，從而sin∠MF2F1= 63．
故答案為： 63．
根據(jù)定義結(jié)合中位線及面積公式計(jì)算正弦值即可．
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
17.【答案】解：(Ⅰ)圓M：x2+y2?2ay+b?4=0經(jīng)過(guò)A(0,3)，B(2,1)兩點(diǎn)，
可得0+9?6a+b?4=0，5?2a+b?4=0，
解得a=1，b=1，
則圓M的方程為x2+y2?2y?3=0，即有圓心M(0,1)，半徑r1=2；
(Ⅱ)圓N：x2+(y+m2+2)2=1(m∈R且m≠0)的圓心N(0,?m2?2)，半徑r2=1，
|MN|=m2+3>r1+r2=3，
可得圓M與圓N相離．
【解析】(Ⅰ)運(yùn)用代入法，解方程求得a，b的值，進(jìn)而得到圓M的圓心和半徑；
(Ⅱ)求得圓N的圓心和半徑，計(jì)算|MN|，與兩圓的半徑之和比較，可得結(jié)論．
本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及兩圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18.【答案】解：(Ⅰ)由兩條直線垂直的性質(zhì)，
又直線m：3x+4y+12=0的斜率為?34，可得與直線m垂直的直線的斜率為43，
設(shè)與直線m：3x+4y+12=0垂直的直線n為4x?3y+a=0，
圓C可化為(x+1)2+(y?2)2=9，圓心為C(?1,2)，
又因?yàn)橹本€n經(jīng)過(guò)圓心，所以4×(?1)?3×2+a=0，即a=10，
故所求直線方程為4x?3y+10=0．
(Ⅱ)由兩條直線平行的性質(zhì)，
設(shè)與直線m：3x+4y+12=0平行的直線為3x+4y+c=0(c≠12)．
又因?yàn)橹本€3x+4y+c=0與圓C相切，
所以圓心C(?1,2)到直線3x+4y+c=0的距離等于半徑，
即|?3+8+c| 32+42=3，所以|c+5|=15，解方程可得c=?20或10，
故所求直線方程為3x+4y?20=0或3x+4y+10=0．
【解析】(Ⅰ)設(shè)與直線m：3x+4y+12=0垂直的直線n為4x?3y+a=0，求得圓心C，代入直線n的方程可得所求直線方程；
(Ⅱ)設(shè)與直線m：3x+4y+12=0平行的直線為3x+4y+c=0(c≠12)，由直線和圓相切的條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，解方程求得c，可得所求直線方程．
本題考查圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵A(2，?1，1)，B(1,1,0)，C(4,?3,3)，
∴a=AB=(?1,2,?1)，b=AC=(2,?2,2)，
于是2a?b=(?2,4,?2)?(2,?2,2)=(?4,6,?4)，
∴|2a?b|= (?4)2+62+(?4)2=2 17；
(Ⅱ)∵2ka?b=(?2k，4k，?2k)?(2，?2，2)=(?2k?2，4k+2，?2k?2)，
a+kb=(?1,2,?1)+(2k,?2k,2k)=(2k?1,2?2k,2k?1)，
又2ka?b與a+kb互相垂直，∴(2ka?b)?(a+kb)=0，
即(?2k?2)(2k?1)+(4k+2)(2?2k)+(?2k?2)(2k?1)=0，
整理得k2=12，解得k=± 22．
【解析】(Ⅰ)求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量模的計(jì)算公式求解即可；
(Ⅱ)先求出兩向量的坐標(biāo)，再利用垂直的坐標(biāo)形式列式求解即可．
本題考查利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算解決模長(zhǎng)及垂直問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．
20.【答案】解：(Ⅰ)由題可知圓C的圓心為C(0,0)，半徑r=3，
所以圓C的方程為x2+y2=9；
(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，圓心到直線l的距離為d，
則d=2 k2+1,|MN|=2 32?d2=2 9?4k2+1，
同理可得|PQ|=2 9?4(1k)2+1=2 9?4k2k2+1，
則SPMQN=12|MN|?|PQ|=12×2 9?4k2+1×2 9?4k2k2+1=2 (9?4k2+1)(9?4k2k2+1)≤9?4k2+1+9?4k2k2+1=14，
當(dāng)且僅當(dāng)9?4k2+1=9?4k2k2+1，即k2=1時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|MN|=6,|PQ|=2 32?22=2 5，
此時(shí)SPMQN=12|MN|?|PQ|=12×6×2 5=6 5，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得SPMQN=6 5，
綜上所述，四邊形PMQN面積的最大值為14．
【解析】(Ⅰ)根據(jù)面積解出半徑，再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
(Ⅱ)根據(jù)幾何法求出弦長(zhǎng)，再應(yīng)用面積公式計(jì)算，最后應(yīng)用基本不等式求最值即可．
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
21.【答案】(1)證明：如圖，

連接AC1交A1C于點(diǎn)O，連接OE，顯然O是AC1的中點(diǎn)，
因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E為△ABC1的中位線，OE/?/BC1，
而B(niǎo)C?平面EA1C，OE?平面EA1C，
所以BC/?/平面EA1C；
(2)解：設(shè)A1C1的中點(diǎn)為M1，連接M1O并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，
因?yàn)锽A?BC，所以B1A1=B1C1，于是有B1M1⊥A1C1，
因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直三棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面A1，ACC1，
而平面A1B1C1∩平面A1ACC1=A1C1，所以B1M1⊥平面A1ACC1，
因?yàn)閭?cè)面A1ACC1是矩形，所以A1C1⊥M1M，
以M1為原點(diǎn)，分別以A1C1，M1M，B1M1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BA=BC=t(t>1)，則A1(?1,0,0),C(1, 2,0),E(?12, 2, t2?12)，
于是CA1=(?2,? 2,0),CE=(?32,0, t2?12)，
設(shè)平面EA1C的法向量為n=(x,y,z)，
則有n?CA1=0,n?CE?=0,即?2x? 2y=0,?32x+ t2?12z=0,令x=1，可得n=(1,? 2,3 t2?1)，
易知平面A1CA的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)，
因?yàn)槎娼荅?A1C?A的大小為π6，所以csπ6=|m?n||m|?|n|= 32，
即3 t2?1 3+9t2?1= 32，解得t= 2(負(fù)值舍去)，
故B1(0,0,1),B1C=(1, 2,?1),n=(1,? 2,3)，
設(shè)直線B1C與平面EA1C所成的角為θ，
則sinθ=|B1C?n||B1C|?|n|=|1?2?3|2×2 3= 33，
即直線B1C與平面EA1C所成角的正弦值為 33．
【解析】(1)連接AC1交A1C于點(diǎn)O，連接OE，財(cái)OE/BC1，再由線面平行的判定定理證明即可；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系后設(shè)BA=BC=t，分別求出平面A1CA和平面EA1C的法向量，由二面角的向量公式求出t，再求出直線B1C的方向向量，由線面角的向量公式求解即可．
本題考查空間中線面關(guān)系的證明和空間角的求解．
22.【答案】(Ⅰ)證明：設(shè)圓C的方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，
由題可知點(diǎn)O在圓C上，
則圓C的方程為(x?a)2+(y?b)2=a2+b2，
整理得x2+y2?2ax?2by=0，
因?yàn)閳AC與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)(與坐標(biāo)原點(diǎn)O不重合)，
令x=0，解得：y=2b；令y=0，解得：x=2a，
則A(2a,0)，B(0,2b)．
所以S△AOB=12×2a×2b=2ab=2，為定值．
(Ⅱ)解：因?yàn)橹本€x?y=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心，所以a=b．
又ab=1，a>0且b>0，解得a=b=1．
所以圓C的方程為(x?1)2+(y?1)2=2．
(Ⅲ)解：過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PG，PH，切點(diǎn)為G，H，
顯然P，G，C，H四點(diǎn)共圓，且PC為該圓的一條直徑，
設(shè)這四點(diǎn)所在的圓為圓N，P(?2m?2,m)，

則圓N的方程為(x+1+2m2)2+(y?1+m2)2=(3+2m2)2+(1?m2)2，
即x2+y2+(2m+1)x?(m+1)y?m?2=0，①
又圓C的半徑r= 2，方程可化為x2+y2?2x?2y=0，②，
①?②，得圓C與圓N的相交弦GH所在直線的方程為(2m+3)x+(1?m)y?m?2=0，
點(diǎn)C(1,1)到直線GH的距離d=2 (2m+3)2+(1?m)2=2 5m2+10m+10，
所以|GH|=2 r2?d2=2 2?45m2+10m+10=2 2 1?25m2+10m+10
=2 2 1?25(m+1)2+5，所以當(dāng)m=?1時(shí)，|GH|取得最小值2 305，
故線段GH長(zhǎng)度的最小值為2 305．
【解析】(Ⅰ)求出圓C的方程，分別令x=0，y=0求出A(2a,0)，B(0,2b)，即可求出△AOB的面積，即可證明；
(Ⅱ)因?yàn)橹本€x?y=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心，所以a=b，結(jié)合ab=1，即可解出a=b=1，可求出求圓C的方程；
(Ⅲ)由題意可得P，G，C，H四點(diǎn)共圓，且PC為該圓的一條直徑，設(shè)這四點(diǎn)所在的圓為圓N，可得圓N的方程，由點(diǎn)到直線的距離、圓的弦長(zhǎng)公式表示出|GH|，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出求線段|GH|長(zhǎng)度的最小值．
本題考查直線與圓的綜合問(wèn)題，屬于中檔題．

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