?2023屆天一大聯(lián)考皖豫名校聯(lián)盟高三第三次考試數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．已知集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化簡(jiǎn)集合，再用集合的交集運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】由題意得，，
所以．
故選：A
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（????）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)減法的幾何意義得即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值為?br /> 故選：B
3．將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（????）
A．0 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由向量的幾何意義得到，再用向量的數(shù)量積公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可知．
故選：D
4．某社區(qū)舉行“喜迎五一”書(shū)畫(huà)作品比賽，參加比賽的老年人占，中年人占，小朋友占，經(jīng)評(píng)審，評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品獲獎(jiǎng)的概率分別為0.6，0.2，0.1．現(xiàn)從所有作品中任取一件，則取到獲獎(jiǎng)作品的概率為（????）
A．0.21 B．0.4 C．0.42 D．0.58
【答案】C
【分析】利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率求解.
【詳解】解： 現(xiàn)從所有作品中任取一件，
則取到獲獎(jiǎng)作品的概率為．
故選：C
5．在室溫下，某型號(hào)硅二極管的伏安特性曲線可用公式來(lái)表示，其中I是導(dǎo)通電流，規(guī)定時(shí)視為二極管關(guān)斷，否則視為二極管開(kāi)通，U是加在二極管兩端的電壓．若在室溫下，分別在該型號(hào)二級(jí)管兩端加正向電壓（即）和反向電壓（即），則此時(shí)二極管的狀態(tài)分別為（????）
A．開(kāi)通、開(kāi)通 B．關(guān)斷、關(guān)斷 C．開(kāi)通、關(guān)斷 D．關(guān)斷、開(kāi)通
【答案】C
【分析】把和代入函數(shù)解析式，結(jié)合題目中所給的材料即可判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，
，
所以二極管開(kāi)通；
當(dāng)時(shí)，
，
所以二極管關(guān)斷．
故選：C
6．如圖為一個(gè)火箭的整流罩的簡(jiǎn)單模型的軸截面，整流罩是空心的，無(wú)下底面，由兩個(gè)部分組成，上部分近似為圓錐，下部分為圓柱，則該整流罩的外表面的面積約為（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分上部分為圓錐，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積；下部分為圓柱，利用其側(cè)面積公式求出其側(cè)面積，最后得到正面外表面面積.
【詳解】根據(jù)題意，上部分圓錐的母線長(zhǎng)為，
所以圓錐的側(cè)面積為，
下部分圓柱的側(cè)面積為，
所以該整流罩的外表面的面積約為．
故選：B.
7．已知，則（????）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】化簡(jiǎn)已知得，其中，再求出，即得解.
【詳解】
，
即，
令，
則，
，
，
由于，
故．
故選：D
8．已知拋物線，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與拋物線C相交于兩點(diǎn)（M，N均與點(diǎn)O不重合）．若直線MN恒過(guò)點(diǎn)，則的最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立拋物線C的方程得韋達(dá)定理，再根據(jù)結(jié)合平面向量和韋達(dá)定理得到，最后利用基本不等式求解.
【詳解】設(shè)，設(shè)直線MN方程為，
聯(lián)立拋物線C的方程得，
所以．
又，
所以，
所以，所以，所以，
所以直線MN的方程為，
所以直線MN過(guò)定點(diǎn)，故，即，
所以．
由拋物線的方程可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故選：A


二、多選題
9．若在中，，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】分別令，驗(yàn)證選項(xiàng)AB，通過(guò)二項(xiàng)式系數(shù)公式即可驗(yàn)證選項(xiàng)C，D.
【詳解】令，則，故A錯(cuò)誤；
令，則，故B正確；
由題可得，故C錯(cuò)誤；
由題，故D正確．
故選：BD.
10．如圖，已知四棱錐的外接球的直徑為4，四邊形ABCD為正方形，平面平面APB，G為棱PC的中點(diǎn)，，則（????）

A．平面PCD
B．
C．AC與平面PBC所成角的正弦值為
D．四棱錐的體積為
【答案】ABC
【分析】A.由，利用線面平行的判定定理判斷；B.易得平面PBC，再利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷；C.易知為AC與平面PBC所成的角求解判斷；D.根據(jù)平面平面APB，過(guò)P作，由面面垂直的性質(zhì)定理，得到平面ABCD，再由求解判斷.
【詳解】解：??因?yàn)?，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，故A正確；
平面平面APB，且，所以，又，從而平面PBC，所以，故B正確；
易知，所以四棱錐的外接球的直徑為AC，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫鍼BC，所以為AC與平面PBC所成的角，所以，故C正確；
如圖所示：

因?yàn)槠矫嫫矫鍭PB，過(guò)P作，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面ABCD，因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
11．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與位于雙曲線右支上的關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)與關(guān)于x軸對(duì)稱，，M為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且直線與的斜率均存在，則（????）
A．
B．
C．四邊形的面積為
D．直線與的斜率之積為3
【答案】ACD
【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性和雙曲線定義判斷選項(xiàng)A；設(shè)，由余弦定理可得，即可判斷選項(xiàng)B；利用梯形的面積公式計(jì)算判斷選項(xiàng)C；設(shè)，利用斜率公式和雙曲線的方程化簡(jiǎn)即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得，所以，故A正確；
根據(jù)題意，四邊形為等腰梯形，，設(shè)，由余弦定理可得，即，解得，所以，故B錯(cuò)誤；
梯形的高為，所以四邊形，的面積為，故C正確；
設(shè)，易知，所以，
則，
故D正確．
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是判斷選項(xiàng)D，其關(guān)鍵在于利用點(diǎn)在雙曲線上滿足消元化簡(jiǎn).
12．已知函數(shù)的定義域均為，為偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則（????）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．
C．
D．方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為144
【答案】AC
【分析】利用對(duì)稱性證明選項(xiàng)A正確；利用函數(shù)的周期得到，即可判斷選項(xiàng)B；利用周期性證明，即可判斷選項(xiàng)C；在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與在上的大致圖象，利用周期性和等差數(shù)列求解，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
又，
可得，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
，
故是以4為周期的周期函數(shù)，
根據(jù)題意，，
故，故B錯(cuò)誤；
，其中，
故，故C正確；
是周期函數(shù)，最小正周期是8，由得其對(duì)稱軸為，顯然與的圖象有公共的對(duì)稱軸，
方程的實(shí)根是與的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與在上的大致圖象，如圖，
可知，所以，
由圖易知在上的三個(gè)零點(diǎn)之和構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為24的等差數(shù)列，
故在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為，故D錯(cuò)誤．
故選：AC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：零點(diǎn)問(wèn)題的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（作出函數(shù)的圖象分析判斷）；（3）方程+圖象法（令得到，分析兩函數(shù)圖象即得解）.要根據(jù)已知靈活選擇方法求解.

三、填空題
13．已知圓與圓的公共弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則__________．
【答案】/8.5
【分析】根據(jù)兩圓的方程可得公共弦方程，然后根據(jù)點(diǎn)M在直線上即得.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心，圓，
所以兩圓的公共弦所在的直線的方程為，即，
所以，所以．
故答案為；.
14．88鍵鋼琴?gòu)淖蟮接腋麈I的音的頻率組成一個(gè)遞增的等比數(shù)列．若中音A（左起第49個(gè)鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個(gè)鍵的音的頻率為_(kāi)__________．
【答案】880
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知求出，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)即得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，
則左起第61個(gè)鍵的音的頻率為．
故答案為：880
15．將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍后，所得函數(shù)的圖像在區(qū)間上有且僅有兩條對(duì)稱軸和兩個(gè)對(duì)稱中心，則的值為_(kāi)__________．
【答案】2
【分析】先求函數(shù)的解析式，畫(huà)出大致圖像，再結(jié)合已知條件即可求出的值.
【詳解】由題可知．
因?yàn)?，所以?br /> 所以的圖像大致如圖所示，

要使的圖像在區(qū)間上有且僅有兩條對(duì)稱軸和兩個(gè)對(duì)稱中心，
則，解得，
因?yàn)椋裕?br /> 故答案為：2
16．設(shè)函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的值域，結(jié)合條件可得，即得.
【詳解】由題意知，存在，
使得成立．
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
則的取值范圍是，
故，則，
則，故．
故答案為：.

四、解答題
17．已知數(shù)列滿足，．
(1)證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和小于．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)條件利用配湊的方式，將數(shù)列配湊成數(shù)列第項(xiàng)與第項(xiàng)的等式關(guān)系，即可證明，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，再求出的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式， 的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和，觀察所求出來(lái)的式子可證明結(jié)果.
【詳解】（1），
，?????????????
又，?????????????????????????????????????????????
是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，????????????????????????
，
即．
（2）

．???????????????????????????????????????????????????????????
所以．???????????????????????????????????
所以，???????????????????????????
數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
故數(shù)列的前n項(xiàng)和小于.
18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化，然后結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，先由正弦定理求得，再結(jié)合余弦定理解得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由及正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以．
因?yàn)?，，所以?br /> 所以，或，
即或（舍去）．
（2）由及正弦定理得，
由，得，
所以，．
由余弦定理得，得，
整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)不滿足，故舍去．
綜上所述，△ABC的面積為．
19．某縣城為活躍經(jīng)濟(jì)，特舉辦傳統(tǒng)文化民俗節(jié)，小張弄了一個(gè)套小白兔的攤位，設(shè)表示第i天的平均氣溫，表示第i天參與活動(dòng)的人數(shù)，，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：
，，．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；
(2)現(xiàn)有兩個(gè)家庭參與套圈，A家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率都為，B家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率分別為，每個(gè)家庭的3位成員均玩一次套圈為一輪，每輪每人收費(fèi)20元，每個(gè)小白免價(jià)值40元，且每人是否套住相互獨(dú)立，以每個(gè)家庭的盈利的期望為決策依據(jù)，問(wèn)：一輪結(jié)束后，哪個(gè)家庭損失較大？
附：相關(guān)系數(shù)．
【答案】(1)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.
(2)B家庭的損失較大

【分析】（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，若接近1，則可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2）A家庭符合二項(xiàng)分布，直接用公式求期望，B家庭先根據(jù)題意列出分布列再求期望.
【詳解】（1）由題可知
，?????
故可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．
（2）設(shè)A家庭中套中小白兔的人數(shù)為，則，
所以．???????????????????????????????????????
設(shè)A家庭的盈利為元，則，
所以．????????????????????????????
設(shè)B家庭中套中小白兔的人數(shù)為，
則的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，????????????????????????????????????????????
所以．?????????????????????????
設(shè)B家庭的盈利為元，則，
所以．??????????????????????
因?yàn)?，所以B家庭的損失較大
20．已知平行六面體的各棱長(zhǎng)均為2，，M，E分別是線段的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)求平面DME與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接，根據(jù)為等邊三角形和四邊形ABCD為菱形，分別得到和，再利用線面垂直的判定定理證明；
（2）由（1）易得平面平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，過(guò)O與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面DME的一個(gè)法向量，再由為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面DME與平面的夾角為，由求解.
【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接．
因?yàn)槠叫辛骟w中，各棱長(zhǎng)均為2，且，
所以為等邊三角形，四邊形ABCD為菱形，
所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，．
所以．
因?yàn)?，平面，所以平面?br /> （2）由（1）可知，為等邊三角形，
所以，故．
解可得．
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面平面，
故在平面ABCD上的射影Q落在AC上，連接，
所以．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，過(guò)O與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，所以，
所以．
設(shè)平面DME的一個(gè)法向量為，
由，得取，則．
由（1）知為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)平面DME與平面的夾角為，
則，
故平面DME與平面的夾角的余弦值為．
21．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)P在x軸上方，E為線段PF的中點(diǎn)，橢圓C的左焦點(diǎn)為，直線PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與交于點(diǎn)A，求（S表示面積）的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】第一問(wèn)先求出的關(guān)系式，再聯(lián)立直線與橢圓方程解出即可.第二問(wèn)由求得，再求，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去參數(shù)即可求的取值范圍．
【詳解】（1）依題意，，得，
則橢圓．?????????????????????????????????
設(shè)直線l的斜率為k．
由題易知，故當(dāng)傾斜角為時(shí)，直線．?????????????????????
聯(lián)立可得，解得或．??????????????????
故，解得．???????????????????????
故橢圓C的方程為．
（2）依題意，．
設(shè)，則．
如圖，連接OE，OQ，

因?yàn)镺，E分別為線段，PF的中點(diǎn)，
所以，

，
的面積為．?????????????????????????????????
記，得．?????????????????????????????????
設(shè)直線，與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得．???????????????????????
令，其中，
則可得．????????????????????????
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，，所以，
又，解得．???????????????????????????????
所以，解得，
又因?yàn)椋?br /> 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
22．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，函數(shù)．
(1)求a的值；
(2)設(shè)函數(shù)是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，證明：．
【答案】(1)1；
(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由題可得，然后分情況討論求函數(shù)的最值結(jié)合條件即得；
（2）由題可知是的兩個(gè)根，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)換元法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得.
【詳解】（1）依題意有，??????????
令，得，
由，可得，由，可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．???????????
（i）若，即，則在上單調(diào)遞減，則，
所以，所以，不符合題意；?????????????????????????
（ii）若，即，則在上單調(diào)遞增，則，
所以，符合題意；???????????????????????????????????????
（ⅲ）若，則，不符合題意．
綜上，可知；
（2）由（1）可知，
所以，
則，??????????????????????????????????
由題意可知是方程，即的兩個(gè)根，
則，
所以等價(jià)于．??????????????????
因?yàn)?，所以原不等式等價(jià)于．
因?yàn)椋?br /> 作差得，即，
所以原不等式等價(jià)于．
因?yàn)?，所以恒成立??????????????????????????
令，則不等式在時(shí)恒成立．
令，則．???????????
令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，
所以，
則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．???????????????????????
又，所以在上恒成立，
故．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

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