一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】利用直線方程得到斜率，利用斜率定義求傾斜角即可.
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以.
故選：C.
2．已知為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量基本定理得到，進(jìn)而得2，根據(jù)待定系數(shù)法即可.
【詳解】∵四點(diǎn)共面
∴必存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使得，
∴，即
∵四點(diǎn)不共面
∴，否則三點(diǎn)共線，即四點(diǎn)共面，與題意不符，
∴，則有
，
故而，
∴.
故選：C.
3．若兩條不同的直線：與直線：平行，則的值為（ ）
A．B．1C．或1D．0
【答案】B
【分析】兩直線與平行的判定方法，但要驗(yàn)證是否重合.
【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線平行，
當(dāng)時(shí)，：，：，兩直線重合，
所以.
故選：B.
4．若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)在直線上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出基本事件的總個(gè)數(shù)，然后求出點(diǎn)在直線上的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型即可得解.
【詳解】連續(xù)拋兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有種，且每種結(jié)果都是等可能的，
其中點(diǎn)在直線上包含有共種，
所以點(diǎn)在直線上的概率是.
故選：D.
5．從點(diǎn)射出的光線沿與向量平行的直線射到軸上，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由此求得反射光線所在直線方程.
【詳解】關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
由于入射光線與平行，
所以反射光線的斜率是，
所以反射光線所在直線方程為.
故選：B
6．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“兩枚硬幣朝上的面相同”，則A與B（ ）
A．是互斥事件也是相互獨(dú)立事件B．不互斥但相互獨(dú)立
C．是對(duì)立事件D．既不互斥也不相互獨(dú)立
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件，獨(dú)立事件的概念判斷.
【詳解】分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，樣本空間＝{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，
事件A＝{(正,正),(正,反)}，事件B＝{(正,正),(反,反)}，
顯然A與B不互斥，也不是對(duì)立事件，故A，C錯(cuò)誤；
∵，
∴，∴A與B相互獨(dú)立，故B正確，D錯(cuò)誤.
故選：B.
7．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為（a＞b＞0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)三角形面積相等求得和的關(guān)系，由，即可求得橢圓的離心率.
【詳解】由短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，
根據(jù)三角形面積公式以及橢圓的定義，
可得，得a＝2c，
即e＝，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義以及橢圓的幾何性質(zhì)，考查了焦點(diǎn)三角形問題，屬于基礎(chǔ)題.
8．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可得是的中位線， ，可得Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以5為半徑的圓，由此可得選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)镻是焦點(diǎn)為，的橢圓上的一點(diǎn)，為的外角平分線，，設(shè)的延長線交的延長線于點(diǎn)M，所以，
，
所以由題意得是的中位線，所以，
所以Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以5為半徑的圓，所以當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時(shí)，
Q與短軸端點(diǎn)取最近距離
故選：A.

二、多選題
9．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（ ）
A．與互斥B．C．與相互獨(dú)立D．
【答案】BC
【分析】對(duì)于A，利用互斥事件的定義分析判斷，對(duì)于B，由古典概型的概率公式求解即可，對(duì)于C，由獨(dú)立事件的定義分析判斷，對(duì)于D，利用對(duì)立事件的概率公式求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：事件與是可能同時(shí)發(fā)生的，故與不互斥，選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：事件發(fā)生與否對(duì)事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨(dú)立，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項(xiàng)D不正確.
故選：BC
10．已知直線l：和圓O：，則（ ）
A．直線l恒過定點(diǎn)
B．存在k使得直線l與直線：垂直
C．直線l與圓O相交
D．直線l被圓O截得的最短弦長為
【答案】BC
【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項(xiàng)A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)C；利用弦長公式可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)A，由可得，，
令，即，此時(shí)，所以直線l恒過定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，因?yàn)橹本€：的斜率為，所以直線l的斜率為，即，
此時(shí)直線l與直線垂直，滿足題意，B正確；
對(duì)C，因?yàn)槎c(diǎn)到圓心的距離為，
所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，C正確；
對(duì)D，因?yàn)橹本€l恒過定點(diǎn)，圓心到直線l的最大距離為，
此時(shí)直線l被圓O截得的弦長最短為，D錯(cuò)誤；
故選：BC.
11．已知、分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，不過原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．橢圓的離心率為
B．橢圓的長軸長為
C．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的斜率為
D．的面積最大值為
【答案】BCD
【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)橢圓方程得到，，從而求出離心率和長軸長；C選項(xiàng)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，得到的斜率；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，求出和點(diǎn)到直線的距離為，表達(dá)出的面積，求出最大值.
【詳解】AB選項(xiàng)，由題意得，故，
故橢圓的離心率為，長軸長為，A錯(cuò)誤，B正確；
C選項(xiàng)，設(shè)不過原點(diǎn)且斜率為1的直線為，
聯(lián)立得，
由，解得，
設(shè)，則，
則，
故，
故的斜率為，C正確；
D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，
點(diǎn)到直線的距離為，
故的面積為
，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
12．如圖所示，棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．與所成角的余弦值為
B．與面的交點(diǎn)是的重心
C．三棱錐的外接球的體積為
D．與面所成角的正弦值為
【答案】BCD
【分析】對(duì)A，連接，可得即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；對(duì)B，可得四面體為正四面體，證明平面即可判斷；對(duì)C，三棱錐和正方體有相同的外接球，求出即可；對(duì)D，可得為直線與平面所成的角，即可求出判斷.
【詳解】對(duì)A，連接，則由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
連接，設(shè)，則為的中點(diǎn)，
連接，則，，，
在中，，即與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，連接，則，則四面體為正四面體，
因?yàn)?，，所以平面?
因?yàn)槠矫?，所以，同理可得?br>因?yàn)?，所以平面，垂足為?br>又四面體為正四面體，所以為的中心，即為的重心，故B正確；
對(duì)C，由于三棱錐的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，所以三棱錐和正方體有相同的外接球，所以外接球半徑，體積為，故C正確；
對(duì)D，連接，并延長交于點(diǎn)，由選項(xiàng)B知平面，所以為直線與平面所成的角，由為正三角形，且為的中心，所以為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，在中，，所以，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意求得，且，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由題意，點(diǎn)和，可得，且，
所以點(diǎn)到直線的距離是.
故答案為：.
14．已知一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A(-4，0)的距離是它到點(diǎn)B(2，0)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 .
【答案】x2+y2-8x=0
【分析】由題意可得|MA|=2|MB|，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，代入兩點(diǎn)間距離公式，化簡整理，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則|MA|=2|MB|，即=2，
整理得x2+y2-8x=0.故所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-8x=0.
故答案為：x2+y2-8x=0.
【點(diǎn)睛】本題考查求圓的軌跡問題，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬基礎(chǔ)題.
15．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題可知曲線，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，作出直線與半圓，利用數(shù)形結(jié)合即得．
【詳解】方程是恒過定點(diǎn)，斜率為的直線，
曲線，即，
表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，半圓弧端點(diǎn)
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與半圓)，如圖，

當(dāng)直線與半圓C相切時(shí)，得，且，
解得，又，
所以或，所以或．
故答案為：．
16．是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為 .
【答案】/0.5
【分析】先由求得，再利用求得，即可求出離心率.
【詳解】
由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方.設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，內(nèi)切圓半徑為，橢圓長軸長為，焦距為，
則，得，又，
即，又，化簡得，即，
解得，可得離心率為.
故答案為：.
四、解答題
17．為慶祝建校115周年，某校舉行了校史知識(shí)競賽．在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答．已知甲每道題答對(duì)的概率為，乙每道題答對(duì)的概率為，且甲乙答對(duì)與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響.
(1)求甲恰好抽到1道填空題的概率；
(2)求甲比乙恰好多答對(duì)1道題的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列舉出事件空間中的所有基本事件，并得出甲至少抽到1道填空題的事件，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解；（2）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式運(yùn)算求解．
【詳解】（1）記3道選擇題的題號(hào)為1，2，3，2道填空題的題號(hào)為4，5，
則試驗(yàn)的樣本空間，，，，，，，，，，
共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型，
記事件“甲恰好抽到1道填空題”，則，故，
因此甲恰好抽到1道填空題的概率為.
（2）設(shè)事件，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題，事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題，
根據(jù)事件的獨(dú)立性得，，
，，
記事件“甲比乙恰好多答對(duì)1道題”，
則，且，兩兩互斥，與，與分別相互獨(dú)立，
所以，，
所以，
故甲比乙恰好多答對(duì)1道題的概率為.
18．已知的頂點(diǎn)分別為，，．
(1)求邊上的中線所在直線的方程；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）求出邊上的中點(diǎn)，據(jù)直線的兩點(diǎn)式即可求出邊上的中線方程；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分別求出的三邊長，利用余弦定理和面積公式即可求.
【詳解】（1）因?yàn)?，，?br>所以邊上的中點(diǎn)為，
所以邊上的中線所在直線的方程為：，整理得.
（2）由題意可得，，，
由余弦定理可得，
所以，
所以的面積為.
19．如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分別PC，AB為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面PAD；
(2)求平面MNB與平面NBC的夾角．
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接ME，EA，利用三角形中位線定理證明四邊形MEAN是平行四邊形，然后由線面平行判定定理可證；
（2）以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量求解即可.
【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接ME，EA，如圖（1）所示：
因?yàn)镸，E分別是PC，PD的中點(diǎn)，
在中，，且，
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，N為AB的中點(diǎn)，
所以，，
所以且，
故四邊形MEAN是平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，
所以平面PAD.
（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，底面ABCD，所以AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖（2）所示：
由條件可知，，，，.
設(shè)平面MNB與平面NBC的夾角為，平面MNB的法向量為，
則，取，得平面MNB的一個(gè)法向量為，
易知，平面NBC的一個(gè)法向量為，
所以，
又，所以，
即平面MNB與平面NBC的夾角為．
20．已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分線方程，聯(lián)立直線的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合反射光線原理可得其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由題知中點(diǎn)為，，
所以的垂直平分線方程為，即，
聯(lián)立，解得，即圓心為，
所以圓的半徑為，
故圓的方程為.
（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則直線與垂直，且的中點(diǎn)在直線上，
則，解得，
由題意知反射光線過圓心，故，
即.

21．如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱⊥底面，,，，，為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)求證：⊥平面；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，.
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
（1）借助空間向量證明∥，再用線面平行判定定理證明即可；
（2）借助空間向量證明，（或）再用線面垂直判定定理證明即可；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足，則，再使用空間向量計(jì)算線面角的正弦值，使其等于，求解即可.
【詳解】（1）
由已知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，則，，，，
，，∴，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面.
（2）由已知，，，，，
∴，，
∴，，∴，，
又∵，平面，平面，
∴平面.
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題意，且（），則，
，∴，
∴，
易知向量是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，則
，
∵，∴解得（舍）或，
∴線段上是否存在點(diǎn)滿足，使得直線與平面所成角的正弦值是.
22．已知橢圓的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
【答案】（1）（2）線恒過定點(diǎn)，詳見解析
【分析】（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達(dá)定理，得到和的關(guān)系，從而得到直線過的定點(diǎn).
【詳解】(1)由題意可得，即，
由直線與圓相切，
可得，解得，
即有橢圓的方程為；
(2)證明：設(shè)，
將直線代入橢圓，
可得，
即有，
，
由，
即有，
代入韋達(dá)定理，可得，
化簡可得，
則直線的方程為，即，
故直線恒過定點(diǎn)；
【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓中的定點(diǎn)問題，屬于中檔題.

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山東省德州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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山東省德州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

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56，山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

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