14導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運算專項訓(xùn)練（附答案）——2024屆藝術(shù)班高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

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1．若函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f′(x)的圖象是( )
答案：A
2．已知函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的導(dǎo)函數(shù)為f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的圖象如圖所示，則( )
A．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))
B．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))
C．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))
D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))
解析：選B 依次作出函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x1，x2，x3處的切線，如圖所示
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))>0>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))．故選：B．
3．(2023·蘭州階段性測試)若直線y＝x是函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x＋ax的切線，則實數(shù)a的值為( )
A．1 B．e
C．1－eq \f(1,e) D．2－eq \f(1,e)
解析：選C 由題意可知，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(1,x)＋a．
因為直線y＝x是函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x＋ax的切線，設(shè)切點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))))，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝eq \f(1,m)＋a＝1，所以a＝1－eq \f(1,m)．
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))))在直線y＝x上，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝m，即ln m＋am＝m，
所以ln m＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,m)))m＝m，
整理可得ln m＝1，所以m＝e，
所以a＝1－eq \f(1,e)．故選：C．
4．若曲線f(x)＝acs x與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，則a＋b＝( )
A．－1B．0
C．1 D．2
解析：選C 依題意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，則b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1．
5．(2023·天津模擬)函數(shù)y＝x2ex的導(dǎo)數(shù)為( )
A．y′＝x2exB．y′＝2xex
C．y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2x))ex D．y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－x2))ex
解析：選C 由題意可得：y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))′ex＋x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex))′＝2xex＋x2ex＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2x))ex．
6．(多選)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為( )
A．f(x)＝3cs xB．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋eq \f(1,x) D．f(x)＝ex＋x
解析：選BC 對于A，f(x)＝3cs x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝－3sin x，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，不符合題意；
對于B，f(x)＝x3＋x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3x2＋1，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意；
對于C，f(x)＝x＋eq \f(1,x)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意；
對于D，f(x)＝ex＋x，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝ex＋1，其導(dǎo)函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，不符合題意．
7．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)＝3xf′(2)＋ln x＋eq \f(3,2)x，則f′(2)＝( )
A．－1B．1
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,2)
解析：選A 因為f(x)＝3xf′(2)＋ln x＋eq \f(3,2)x，
所以f′(x)＝3f′(2)＋eq \f(1,x)＋eq \f(3,2)，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝3f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)，解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－1．故選：A．
8．(2023·蘇州八校聯(lián)考)已知f(x)＝cs x＋2sin x，則下列函數(shù)中在R上單調(diào)遞增的是( )
A．y＝f(x)＋xB．y＝f(x)＋x2
C．y＝f(x)＋x3 D．y＝f(x)＋x4
解析：選C 由題意可知，對于選項A，y＝f(x)＋x＝x＋cs x＋2sin x，則y′＝1－sin x＋2cs x＝1－eq \r(5)sin (x＋φ)∈[－eq \r(5)＋1，eq \r(5)＋1]，不為恒大于或等于0的值，即函數(shù)y＝f(x)＝x在R上不為單調(diào)遞增，故選項A錯誤；對于選項B，y＝f(x)＋x2＝x2＋cs x＋2sin x，則y′＝2x－sin x＋2cs x，當(dāng)x＝－π時，y′＝－2π－2＜0，則y′不為恒大于或等于0的值，即函數(shù)y＝f(x)＋x2在R上不為單調(diào)遞增，故選項B錯誤；對于選項D，y＝f(x)＋x4＝x4＋cs x＋2sin x，則y′＝4x3－sin x＋2cs x，當(dāng)x＝－π時，y′＝－4π3－2＜0，則y′不為恒大于或等于0的值，即函數(shù)y＝f(x)＋x4在R上不為單調(diào)遞增，故選項D錯誤．故答案選C．
9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋aln x的圖象在x＝1處的切線在y軸上的截距為2，則實數(shù)a＝____________．
解析：函數(shù)f(x)＝x2＋aln x，求導(dǎo)得：f′(x)＝2x＋eq \f(a,x)，f′(1)＝2＋a，而f(1)＝1，
因此函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為：y－1＝(a＋2)(x－1)，
令x＝0，得y＝－a－1，于是－a－1＝2，解得a＝－3．
答案：－3
10．已知曲線y＝x2在點(2，4)處的切線與曲線f(x)＝ex－x在點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))))處的切線互相垂直，則x0＝________．
解析：由曲線y＝x2得y′＝2x，
∴y′|x＝2＝4，
∴曲線y＝x2在點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4))處的切線斜率為4，
曲線feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex－x得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex－1，
由已知可得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))＝－1＝－eq \f(1,4)，
解得x0＝lneq \f(3,4)．
答案：lneq \f(3,4)
11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16．
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標(biāo)；
(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切點坐標(biāo)與切線的方程．
解：(1)k＝f′(x)＝3x2＋1．
當(dāng)x＝2時，k＝13，
故切線方程為y＋6＝13(x－2)，
即y＝13x－32．
(2)設(shè)切點為(a，a3＋a－16)，
則k＝3a2＋1．
所以直線l的方程為y－(a3＋a－16)＝(3a2＋1)(x－a)．
∵過原點，
∴a3＋a－16＝3a3＋a．
化簡得2a3＝－16．∴a＝－2．
∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標(biāo)為(－2，－26)．
(3)由題意知k＝4，∴3x2＋1＝4，解得x＝±1．
∴切點坐標(biāo)及方程為(1，－14)，y＝4x－18和(－1，－18)，y＝4x－14．
12．(2023·武漢模擬)已知函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－1，函數(shù)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aln x，其中a≤2．如果曲線y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))與y＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝1處具有公共的切線，求a的值及切線方程．
解：因為函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－1，函數(shù)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝aln x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x，g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(a,x)．
因為曲線y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))與y＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝1處具有公共的切線，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))，,g′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(aln 1＝12－1，,a＝2，))故a＝2，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝2，
故所求切線方程為y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，
即2x－y－2＝0．