1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1），B＝{﹣1，1，2}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1，2}B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣1，1}
2．（5分）若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知焦點在y軸上的橢圓的離心率是，則m的值是（ ）
A．B．C．D．或
4．（5分）已知不同平面α，β，γ，不同直線m和n，則下列命題中正確的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥β，則α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β
C．若m⊥n，m⊥α，則n∥αD．若m∥α，n∥α，則m∥n
5．（5分）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）關于函數(shù)f（x）＝|csx|+|sinx|，下列選項錯誤的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）在區(qū)間上單調遞增
C．f（x）的最大值為2
D．為f（x）的一個周期
7．（5分）已知2a＝3，3b＝4，ac＝b，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．a(chǎn)＞b＞c
8．（5分）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)x，使得成立，則所有滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有神墻選錯的得0分）
（多選）9．（5分）以下說法正確的有（ ）
A．“x＝0且y＝0”是“xy＝0”的充要條件
B．若，則a＞b
C．命題“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1＜0”
D．當時，的最小值為
（多選）10．（5分）某校有甲、乙、丙三名學生是新冠陽性患者的密切接觸者，已知密切接觸者新冠病毒檢測呈陽性的概率為，記事件A為“三名學生都是陰性”，事件B為“三名學生都是陽性”，事件C為“三名學生至少有一名是陽性”，事件D為“三名學生不都是陰性”，則（ ）
A．B．事件A與事件B互斥
C．P（C）≠P（D）D．事件A與事件C對立
（多選）11．（5分）已知圓O：x2+y2＝4，過點M（﹣1，0）直線l與圓O交于P，Q兩點．下列說法正確的是（ ）
A．|PQ|的最小值為
B．
C．的最大值為﹣2
D．線段PQ中點的軌跡為圓
（多選）12．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為CD的中點，將△CBE沿直線BE翻折至△C1BE的位置，則（ ）
A．翻折過程中，直線AC1與BE所成角的余弦值最大為
B．翻折過程中，存在某個位置的C1，使得BE⊥AC1
C．翻折過程中，四棱錐C1﹣ABED必存在外接球
D．當四棱錐C1﹣ABED的體積最大時，以AC1為直徑的球面被平面C1BE截得交線長為π
三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13．（5分）計算： ．
14．（5分）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，他一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側面都相切），在該圖形中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，則該圓柱的體積與它的外接球的體積之比為 ．
15．（5分）已知正數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為 ．
16．（5分）已知F1、F2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點F1關于漸近線的對稱點恰好落在以F2為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為 ．
四、解答題：（本大題共6小題，共70分.
17．（10分）已知銳角△ABC的三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大??；
（2）求sinB+sinC的取值范圍．
18．（12分）已知圓C的方程為x2+y2＝4．
（1）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；
（2）點P（x，y）為圓上任意一點，求x+y+2的最大值和最小值．
19．（12分）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者．
（?。┤粲屑祝挲g38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ⅱ）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．
20．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D是AB的中點．
（1）證明：AC⊥PD；
（2）若二面角P﹣AC﹣D為150°，求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．
21．（12分）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，C的準線與x軸的交點為E，點A是C上的動點．當△AEF是等腰直角三角形時，其面積為2．
（1）求C的方程；
（2）延長AF交C于點B，點M是C的準線上的一點，設直線MF，MA，MB的斜率分別是k0，k1，k2，若k1+k2＝λk0，求λ的值．
22．（12分）設函數(shù)，其中k∈{1，2}．
（1）若a＝0，求F（x）＝f1（x）+f2（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（2）已知g（x）＝（x2+x）?f2（x）滿足對一切實數(shù)x均有g（x）＝g（2﹣x），求函數(shù)g（x）的值域；
（3）若a＝﹣1，且{x|f2（x）＝x}＝{x|f2（f2（x））＝x}，求實數(shù)b的取值范圍．
2022-2023學年浙江省杭州市四校聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1），B＝{﹣1，1，2}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1，2}B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣1，1}
【分析】根據(jù)已知條件，結合交集的定義，即可求解．
【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1），B＝{﹣1，1，2}，
則A∩B＝{﹣1，1}．
故選：D．
【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．
2．（5分）若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的乘除法原則和復數(shù)的幾何意義，即可求解．
【解答】解：∵，
∴復數(shù)z在復平面內對應的點（）位于第一象限．
故選：A．
【點評】本題考查了復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．
3．（5分）已知焦點在y軸上的橢圓的離心率是，則m的值是（ ）
A．B．C．D．或
【分析】根據(jù)焦點在y軸上的橢圓方程的特征，結合橢圓離心率公式進行求解即可．
【解答】解：因為焦點在y軸上，故m＞5，該橢圓的離心率是，
所以，顯然滿足m＞5，
故選：C．
【點評】本題主要考查了橢圓的性質，屬于基礎題．
4．（5分）已知不同平面α，β，γ，不同直線m和n，則下列命題中正確的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥β，則α∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β
C．若m⊥n，m⊥α，則n∥αD．若m∥α，n∥α，則m∥n
【分析】根據(jù)線面、面面位置關系有關的知識對選項進行分析，即可得出答案．
【解答】解：對于A，若m⊥α，m⊥β，則α∥β，故A正確；
對于B，若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能垂直，平行，故B不正確；
對于C，若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，故C不正確；
對于D，若m∥α，n∥α，則m，n可能平行，異面，相交，故D不正確；
故選：A．
【點評】本題主要考查空間直線、平面位置關系的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎題．
5．（5分）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題中式子可知，再利用倍角公式cs2α＝1﹣2sin2α即可解出答案．
【解答】解：因，
所以．
故選：B．
【點評】本題主要考查了二倍角公式在三角化簡求值中的應用，屬于基礎題．
6．（5分）關于函數(shù)f（x）＝|csx|+|sinx|，下列選項錯誤的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）在區(qū)間上單調遞增
C．f（x）的最大值為2
D．為f（x）的一個周期
【分析】求出f（|x|）＝f（x），即可判斷A項；
求出可判斷D項；
求出時，，且f（x）在上單調遞增，根據(jù)周期性即可判斷B項；
根據(jù)周期，只需求出f（x）在時的最大值，即可判斷C項．
【解答】解：由已知可得，，
所以為f（x）的一個周期，
當時，，
因為，
所以，
所以f（x）的最大值為．
對于A項，因為f（﹣x）＝|cs（﹣x）|+|sin（﹣x）|＝|csx|+|sinx|＝f（x），
所以f（x）是偶函數(shù)，故A項正確；
對于B項，因為當時，，，
所以f（x）在上單調遞增，由為f（x）的周期可知，
f（x）在區(qū)間上單調遞增，故B項正確；
對于C項，由f（x）的最大值為，知C項錯誤；
對于D項，因為，
所以為f（x）的一個周期，故D項正確．
故選：C．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于中檔題．
7．（5分）已知2a＝3，3b＝4，ac＝b，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．a(chǎn)＞b＞c
【分析】根據(jù)對數(shù)性質確定a，b∈（1，+∞），作商后由換底公式變形，利用均值不等式，再放縮可得b＜a，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性再確定c＜1，即可得解．
【解答】解：由題可知，a＝lg23，b＝lg34，易知a，b∈（1，+∞）．
因為，
所以b＜a．
另一方面，c＝lgab＜lgaa＝1＜b，所以a＞b＞c．
故選：D．
【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，指數(shù)與對數(shù)的互化，考查運算求解能力，屬于基礎題．
8．（5分）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)x，使得成立，則所有滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】先整理分段函數(shù)，求出f（x）+1＝0的解．作出y＝f（x）+1的圖象，根據(jù)y＝f（x）+1以及y＝x﹣a的圖象，分類討論，即可得出答案．
【解答】解：由已知可得，
解f（x）+1＝0可得，或或，
作出y＝f（x）+1以及y＝x﹣a的圖象如下圖，，，，D（a，0），
當y＝f（x）+1與y＝x﹣a的圖象在x軸異側時，，
如圖1，
當，即y＝x﹣a在圖中l(wèi)位置時，
由圖象可知，在內，有y＝f（x）+1與y＝k（x﹣a）的圖象在x軸異側，即成立，有一個整數(shù)解﹣1；
在內，有y＝f（x）+1與y＝k（x﹣a）的圖象在x軸異側，即成立，顯然此時沒有整數(shù)解，即存在唯一的整數(shù)解；
如圖2，
當時，在內，有y＝f（x）+1與y＝x﹣a的圖象在x軸異側，即成立，有一個整數(shù)解﹣1；
在內，有y＝f（x）+1與y＝k（x﹣a）的圖象在x軸異側，即成立．
要使不等式有唯一整數(shù)解，則應滿足a≤1，所以有；
當a＜0時，有，即0是的整數(shù)解，
顯然當或a＜﹣2時，存在其他整數(shù)解，不合題意，舍去；
當時，在內有解，但是不存在整數(shù)解，滿足題意；
顯然時，滿足題意；
如圖3，
當時，不等式在上有解，
由題意知，應有a≤﹣1，所以，
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為﹣2≤a≤﹣1或0≤a≤1，
所以滿足條件的整數(shù)a有﹣2，﹣1，0，1，共有4個．
故選：A．
【點評】本題主要考查分段函數(shù)及其應用，考查數(shù)形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題．
二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有神墻選錯的得0分）
（多選）9．（5分）以下說法正確的有（ ）
A．“x＝0且y＝0”是“xy＝0”的充要條件
B．若，則a＞b
C．命題“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1＜0”
D．當時，的最小值為
【分析】分別判斷充分條件和必要條件是否成立，即可判斷A項；根據(jù)不等式的性質，即可判斷B項；寫出存在量詞命題的否定，即可判斷C項；換元t＝sinx∈（0，1），根據(jù)對勾函數(shù)的單調性，即可求出，即可判斷D項．
【解答】解：對于A，當x＝0且y＝0時，有xy＝0；當xy＝0時，x＝0或y＝0，得不出x＝0且y＝0．所以，“x＝0且y＝0”是“xy＝0”的充分不必要條件，故A錯誤；
對于B，由可知ab＞0，由不等式的性質，可得a＞b成立，故B正確；
對于C，由存在量詞命題的否定可知命題“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1＜0”，故C正確；
對于D，令t＝sinx∈（0，1），因為在（0，1）上單調遞減，所以，故D錯誤．
故選：BC．
【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了命題的否定，以及基本不等式的應用，屬于基礎題．
（多選）10．（5分）某校有甲、乙、丙三名學生是新冠陽性患者的密切接觸者，已知密切接觸者新冠病毒檢測呈陽性的概率為，記事件A為“三名學生都是陰性”，事件B為“三名學生都是陽性”，事件C為“三名學生至少有一名是陽性”，事件D為“三名學生不都是陰性”，則（ ）
A．B．事件A與事件B互斥
C．P（C）≠P（D）D．事件A與事件C對立
【分析】三名學生新冠病毒檢測呈陽性為獨立事件，由此可計算出事件A的概率；不能同時發(fā)生的事件為互斥事件，由此判斷B選項；根據(jù)事件C與事件D的描述可知兩個事件為同一事件，概率相同；對立事件概率相加為1．
【解答】解：對于A：∵，∴A正確；
對于B：∵事件A與事件B不能同時發(fā)生，∴事件A與事件B互斥，∴B正確；
對于C：∵事件C與事件D為同一事件，∴，∴C錯誤；
對于D：∵A∩C為不可能事件，A∪C為必然事件，∴事件A與事件C對立，∴D正確．
故選：ABD．
【點評】本題主要考查了互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎題．
（多選）11．（5分）已知圓O：x2+y2＝4，過點M（﹣1，0）直線l與圓O交于P，Q兩點．下列說法正確的是（ ）
A．|PQ|的最小值為
B．
C．的最大值為﹣2
D．線段PQ中點的軌跡為圓
【分析】根據(jù)直線和圓相交所得弦長的最值、向量數(shù)量積運算、動點軌跡等知識對選項進行分析，從而確定正確選項．
【解答】解：對于選項A：由題意可知，當l⊥x軸時，|PQ|最小，
所以|PQ|的最小值為，故選項A錯誤；
對于選項B：設N是PQ的中點，連接ON，
則ON⊥PQ，，
∵的最小值為，最大值為4，
∴，故選項B正確；
對于選項C：當直線l的斜率為0時，，
當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯(lián)立方程，消去x得（m2+1）y2﹣2my﹣3＝0，
∴y1+y2，y1y2，
∴，
∴，
∴的最大值為﹣2，當且僅當m＝0，即l：x＝﹣1時取等號，故選項C正確；
對于選項D：由于MN⊥ON，則點N在以MO為直徑的圓上，圓心為，半徑為，
∴點N的軌跡方程為，即線段PQ中點的軌跡為圓，故選項D正確．
故選：BCD．
【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關系，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．
（多選）12．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E為CD的中點，將△CBE沿直線BE翻折至△C1BE的位置，則（ ）
A．翻折過程中，直線AC1與BE所成角的余弦值最大為
B．翻折過程中，存在某個位置的C1，使得BE⊥AC1
C．翻折過程中，四棱錐C1﹣ABED必存在外接球
D．當四棱錐C1﹣ABED的體積最大時，以AC1為直徑的球面被平面C1BE截得交線長為π
【分析】建立空間直角坐標系，設C1的坐標，借助空間向量可以對選項A，B進行辨析；
通過四邊形ABED不存在外接圓，可判斷四棱錐C1﹣ABED不存在外接球，對選項C進行辨析；
求出當四棱椎C1﹣ABED的體積最大時點C1的坐標，即可求出以AC1為直徑的球的球心坐標和直徑，
再求出球心到平面C1BE的距離，即可求出以AC1為直徑的球面被平面C1BE截得交線長．
【解答】解：在矩形ABCD中，取AB中點F，連接CF與BE交于點O，
∵AB＝2，∴BF＝CB＝1，∴CF⊥BE，且，
∴以OF，OB所在直線分別為x軸，y軸，過O與平面ABCD垂直的直線為z軸，
建立空間直角坐標系如上圖，則根據(jù)題意可得：
，，，∴，
將△CBE沿直線BE翻折至△C1BE的位置的過程中，C1在以O為圓心，直徑為的圓弧上，
∴C1在平面zOx內，設C1（x，0，z），且，z≥0，
∴，∴，
∴，，
∴，，
對于A，設直線AC1與BE所成角為θ，
則，
易知當時，單調遞增，
∴當時，，故選項A正確；
對于選項B，翻折過程中，恒成立，
∴不存在某個位置的C1，使得BE⊥AC1，故選項B錯誤；
對于C，連接AE，直角△ADE有以AE為直徑的唯一外接圓，
又，∴B不在△ADE的外接圓上，即四邊形ABED無外接圓，
∴四棱錐C1﹣ABED不存在外接球，故選項C錯誤；
對于D，當四棱椎C1﹣ABED的體積最大時，C1到平面ABED距離最大，
∴此時在z軸上，平面C1BE即平面yOz，
∴以AC1為直徑的球的球心為AC1中點，
∴球心M到平面C1BE即平面yOz的距離為，
又∵該球的直徑，∴半徑，
由球的幾何性質，以AC1為直徑的球面被平面C1BE截得交線為圓，
該圓的半徑，
∴該圓的周長為2πr＝π，故選項D正確．
故選：AD．
【點評】本題考查折疊問題，坐標法的應用，向量夾角公式的應用，函數(shù)思想，屬難題．
三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13．（5分）計算： 7 ．
【分析】根據(jù)對數(shù)運算以及指數(shù)運算，可得答案．
【解答】解：原式，
故答案為：7．
【點評】本題主要考查了指數(shù)及對數(shù)的運算性質，屬于基礎題．
14．（5分）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，他一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側面都相切），在該圖形中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，則該圓柱的體積與它的外接球的體積之比為 ．
【分析】設圓柱的底面半徑為a，由題意可知圓柱的高為2a，再根據(jù)圓柱的底面與外接球的關系，可利用勾股定理即可求出圓柱外接球半徑，由兩幾何體的體積公式求出各自的體積，由此即可求出比值．
【解答】解：設圓柱的底面半徑為a，則圓柱的內切球的半徑為a，
∴圓柱的高為2a，∴圓柱的體積為，
又圓柱的外接球球心為上下底面圓心連線的中點，
∴圓柱的外接球半徑，
∴圓柱的外接球體積為，
故．
故答案為：．
【點評】本題考查圓柱的內切球與外接球問題，和公式轉化思想，屬中檔題．
15．（5分）已知正數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為 12 ．
【分析】將式子適當變形結合二次函數(shù)的性質即可求解．
【解答】解：由題意，（x+2y）2＝x2+4y2+4xy＝1，
∴x2+4y2＝1﹣4xy，，將x＝1﹣2y代入，
原式，
當時，取到最小值12．
故答案為：12．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質在函數(shù)最值求解中的應用，屬于基礎題．
16．（5分）已知F1、F2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點F1關于漸近線的對稱點恰好落在以F2為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為 4 ．
【分析】由題意得F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），且雙曲線的漸近線為y＝±x，不妨設點F1（﹣c，0）關于漸近線yx的對稱點為M（x，y），求出M，且將M代入圓的方程（x﹣c）2+y2，即可得出答案．
【解答】解：由題意得F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），且雙曲線的漸近線為y＝±x，
不妨設點F1（﹣c，0）關于漸近線yx的對稱點為M（x，y），
則，解得，即M（c，），
又M在以F2為圓心，為半徑的圓上，圓的方程為（x﹣c）2+y2，
∴，即16a2＝c2，
∴e2＝16，解得e＝±4，
∵e＞1，∴e＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查雙曲線的性質，考查轉化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
四、解答題：（本大題共6小題，共70分.
17．（10分）已知銳角△ABC的三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大?。?br>（2）求sinB+sinC的取值范圍．
【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，再由三角恒等變換化簡，即可得出答案；
（2）根據(jù)，sinB+sinC轉化為關于B的正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)值域求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）由題意得2acsC+c＝2b．由正弦定理得2sinAcsC+sinC＝2sinB，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，2sinAcsC+sinC＝2（sinAcsC+csAsinC），則sinC＝2csAsinC．
∵sinC≠0，∴，
又0＜A，則；
（2）由（1）得，則．
∵△ABC為銳角三角形，∴，且，
∴，
∴，
故sinB+sinC的取值范圍是．
【點評】本題考查解三角形，考查轉化思想，考查運算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．
18．（12分）已知圓C的方程為x2+y2＝4．
（1）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；
（2）點P（x，y）為圓上任意一點，求x+y+2的最大值和最小值．
【分析】（1）由已知求出圓心、半徑，根據(jù)弦長得出d＝1．先驗證斜率是否存在，若存在，則設出直線方程，表示出圓心到直線的距離求解即可；
（2）方法一，設x+y+2＝t，將其與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)方程有解，解Δ≥0即可得出答案；方法二：由基本不等式推出（x+y）2≤8，開方即可得出結果；方法三，換元法：令x＝2csθ，y＝2sinθ，θ∈[0，2π）．代入根據(jù)輔助角公式化簡，即可得出范圍．
【解答】解：（1）圓C的圓心為坐標原點O，半徑為r＝2，
設圓心O到直線l的距離為d，
則，
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，滿足題意；
②當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0，
由題意可得，解得，此時直線l的方程為3x﹣4y+5＝0．
綜上所述，直線l的方程為x＝1或3x﹣4y+5＝0．
（2）方法一：設x+y+2＝t．
聯(lián)立可得，2x2+（4﹣2t）x+t2﹣4t＝0．
因為直線與圓有交點，所以Δ≥0．
又Δ＝（4﹣2t）2﹣4×2×（t2﹣4t）＝﹣4（t2﹣4t﹣4），
所以t2﹣4t﹣4≤0，解得．
所以x+y+2的最大值是，最小值是；
方法二：因為（x+y）2＝x2+y2+2xy≤2（x2+y2）＝8，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以．
所以x+y+2的最大值是，最小值是．
方法三，換元：令x＝2csθ，y＝2sinθ，θ∈[0，2π），
則，
因為θ∈[0，2π），所以，所以，
所以x+y+2的最大值是，最小值是．
【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉化能力，屬于中檔題．
19．（12分）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這m人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者．
（ⅰ）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
（ⅱ）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這m人中35～45歲所有人的年齡的方差．
【分析】（1）利用百分位數(shù)的定義以及平均數(shù)的計算公式求解即可；
（2）（ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出第一組頻率，由此能求出第四組和第五組被抽到的使者，再利用古典概型公式求解即可．
（ii）利用方差公式求解即可得到．
【解答】解：（1）設這m人的平均年齡為，則（歲）．
設第80百分位數(shù)為a，
方法一：由5×0.02+（40﹣a）×0.04＝0.2，解得a＝37.5．
方法二：由0.05+0.35+0.3+（a﹣35）×0.04＝0.8，解得a＝37.5．
（2）（i）由題意得，第四組應抽取4人，記為A，B，C，甲，第五組抽取2人，記為D，乙．
對應的樣本空間為：
Ω＝{（A，B），（A，C），（A，甲），（A，乙），（A，D），（B，C），（B，甲），（B，乙），（B，D），（C，甲），（C，乙），（C，D），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共15個樣本點．
設事件M＝“甲、乙兩人至少一人被選上”，
則M＝{（A，甲），（A，乙），（B，甲），（B，乙），（C，甲），（C，乙），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）}，共有9個樣本點．
所以，．
（ii）設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為s2．
則，．
因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10．
據(jù)此，可估計這m人中年齡在35～45歲的所有人的年齡方差約為10．
【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用，頻數(shù)與頻率關系的應用，百分位數(shù)以及平均數(shù)的求解，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎題．
20．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D是AB的中點．
（1）證明：AC⊥PD；
（2）若二面角P﹣AC﹣D為150°，求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．
【分析】（1）找出AC的中點O，連接OP，OD，根據(jù)等邊三角形性質和題意，先證明AC⊥面POD，通過證明線面垂直最后證明出線線垂直．
（2）根據(jù)（1）可知二面角P﹣AC﹣D就是∠POD，因此以OA，OD為x軸，y軸，過O作z軸⊥底面ABC，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量與二面角關系求出答案．
【解答】解：（1）證明：取AC的中點O，連接OP，OD，
∵△PAC是正三角形，
∴PO⊥AC，
又D是AB的中點，
∴DO∥BC，
∵AC⊥BC，
∴DO⊥AC，
又PO∩DO＝O，PO，DO?面POD，
∴AC⊥面POD，又PD?面POD，
∴AC⊥PD；
（2）以OA，OD所在直線為x軸，y軸，過O作z軸⊥底面ABC，建立如圖空間直角坐標系，
則O（0，0，0），A（1，0，0），D（0，1，0），C（﹣1，0，0），B（﹣1，2，0），
易得∠POD＝150°，又，則，
由DO∥BC得直線BC的一個方向向量為，
設平面PAB的法向量為，，，
則，令x＝1，則平面PAB的一個法向量為，
記直線BC與平面PAB所成角為α，
那么．
【點評】本題考查線面垂直的判定定理與性質，向量法求解線面角問題，化歸轉化思想，屬中檔題．
21．（12分）設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，C的準線與x軸的交點為E，點A是C上的動點．當△AEF是等腰直角三角形時，其面積為2．
（1）求C的方程；
（2）延長AF交C于點B，點M是C的準線上的一點，設直線MF，MA，MB的斜率分別是k0，k1，k2，若k1+k2＝λk0，求λ的值．
【分析】（1）根據(jù)△AEF是等腰直角三角形可判斷EF⊥AF，由此可推斷出，代入拋物線方程即可解出方程；
（2）設出A、B、M三點坐標，分別用三點坐標表示出線MF，MA，MB的斜率，再將拋物線方程和直線AB的方程聯(lián)立，利用韋達定理代入化簡式子k1+k2＝λk0，即可求出λ的值．
【解答】解：（1）當△AEF是等腰直角三角形時，EF⊥AF，
∴點，∴，∴p＝2，
∴拋物線方程為y2＝4x；
（2）由（1）知F（1，0），設直線AB的方程：x＝ty+1代入y2＝4x得：y2﹣4ty﹣4＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，
設M（﹣1，yM），則，，．
∵，∴，
∴，
∴k1+k2＝2k0，
所以λ＝2．
【點評】本題主要考查了拋物線方程，以及直線與拋物線的位置關系，是中檔題．
22．（12分）設函數(shù)，其中k∈{1，2}．
（1）若a＝0，求F（x）＝f1（x）+f2（x）在[﹣1，2]上的最大值；
（2）已知g（x）＝（x2+x）?f2（x）滿足對一切實數(shù)x均有g（x）＝g（2﹣x），求函數(shù)g（x）的值域；
（3）若a＝﹣1，且{x|f2（x）＝x}＝{x|f2（f2（x））＝x}，求實數(shù)b的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)新定義的式子，得到F（x）的解析式，由分段函數(shù)解析式即可確定函數(shù)單調性，從而可得最大值；
（2）由g（x）＝g（2﹣x）可得函數(shù)g（x）的對稱性，即可得g（x+1）為偶函數(shù)，從而確定參數(shù)a，b的值，由此得g（x+1）的值域，從而得g（x）的值域；
（3）由{x|f2（x）＝x}＝{x|f2（f2（x））＝x}可得[f2（x）﹣x][f2（x）+x﹣1]＝0，從而確定方程的根的取值情況，列不等式，即可得實數(shù)b的取值范圍．
【解答】解：（1）若a＝0，則函數(shù)，其中k∈{1，2}，
所以F（x）＝f1（x）+f2（x），則函數(shù)F（x）在[﹣1，0）上單調遞減，在[0，2]上單調遞增，
又F（﹣1）＝2+2b，F(xiàn)（2）＝6+2b，所以F（x）的最大值為6+2b；
（2）g（x）＝（x2+x）（x2+2ax+a2+b），由題意g（x）關于直線x＝1對稱，即g（x+1）為偶函數(shù)．
g（x+1）＝[（x+1）2+（x+1）][（x+1）2+2a（x+1）+a2+b]＝[（x2+2）+3x][（x2+（a+1）2+b）+（2+2a）x]，
所以，
∴，
又函數(shù)g（x）的定義域為R，而g（x+1）與g（x）的值域相同，
所以g（x）的值域是；
（3）若a＝﹣1，則，f2（f2（x））＝x?f2（f2（x））﹣f2（x）＝x﹣f2（x），
即，即，即[f2（x）﹣x][f2（x）+x﹣1]＝0，
∴f2（x）﹣x＝0與f2（x）+x﹣1＝0有相同的根，或f2（x）+x﹣1＝0無根，
若f2（x）﹣x＝0與f2（x）+x﹣1＝0有相同的根，則f2（x）＝x且f2（x）＝﹣x+1，
∴x＝﹣x+1，即，∴，則，∴；
若f2（x）+x﹣1＝0無根，則x2﹣2x+b+1+x﹣1＝x2﹣x+b＝0中Δ＝1﹣4b＜0，∴，
綜上，實數(shù)b的取值范圍是．
【點評】本題主要考查函數(shù)最值的求法，函數(shù)值域的求法，考查運算求解能力，屬于難題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/12/8 10:29:02；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學號：27613231

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