1．（5分）雙曲線﹣＝1的漸近線方程是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
2．（5分）若平面α的法向量為，直線l的方向向量為，直線l與平面α的夾角為θ（ ）
A．csθ＝B．csθ＝
C．sinθ＝D．sinθ＝
3．（5分）若拋物線C：x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝﹣2yB．x2＝2yC．x2＝﹣4yD．x2＝4y
4．（5分）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′（x），則函數(shù)f（x）（ ）
A．無(wú)極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)
B．有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)
C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)
D．有四個(gè)極大值點(diǎn)、無(wú)極小值點(diǎn)
5．（5分）已知點(diǎn)A（1，0），直線l：x﹣y+3＝0，則點(diǎn)A到直線l的距離為（ ）
A．1B．2C．D．
6．（5分）已知A，B，C，D，E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，則“存在實(shí)數(shù)x，y，使得+y是“DE∥平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
7．（5分）已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，+∞）D．[，+∞）
8．（5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，（﹣2）＝0，則不等式（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
二、選擇題（本大題共4小題，每題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的不得分，部分選對(duì)的得3分）
（多選）9．（5分）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（ ）
A．B．（xex）′＝（x+1）ex
C．（e2x）′＝2e2xD．
（多選）10．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其公差d＞1，且a7+a9＝16，則（ ）
A．a(chǎn)8＝8B．S15＝120C．a(chǎn)1＜1D．a(chǎn)2＞2
（多選）11．（5分）已知曲線C1：函數(shù)f（x）＝的圖像，曲線C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2，若C1的所有對(duì)稱軸平分C2，且C1與C2有公共點(diǎn)，則r的值可以等于（ ）
A．B．C．D．3
12．（5分）我國(guó)知名品牌小米公司今年啟用了具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的全新Lg．新Lg將原本方正的邊框換成了圓角邊框（如圖），這種由方到圓的弧度變化，為小米融入了東方哲學(xué)的思想n+|y|n＝1，則下列有關(guān)曲線C的說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．對(duì)任意的n∈R，曲線C總關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
B．當(dāng)n＞0時(shí)，曲線C上總過(guò)四個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）
C．當(dāng)0＜n＜1時(shí)，曲線C圍成的圖形面積可以為2
D．當(dāng)n＝﹣1時(shí)，曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)最近距離為
三、填空題（本題共4小題，每題5分，共計(jì)20分）
13．（5分）已知{an}是公比為2的等比數(shù)列，則的值為 ．
14．（5分）設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3﹣x+2上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線傾斜角為α ．
15．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an＝n﹣（1﹣m）n2，若滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6且對(duì)任意n∈[9，+∞），都有an＞an+1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
16．（5分）若方程x2e﹣x＝ax﹣lnx﹣1存在唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值與最小值．
18．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M（﹣1，0）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程．
19．（12分）等差數(shù)列{an}中，a2+a3+a4＝15，a5＝9．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{×bn}的前n項(xiàng)和Sn．
20．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，CF＝1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若點(diǎn)M在線段EF上移動(dòng)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣ex（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，求證：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）（x）恒成立．
22．（12分）已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，直線x＝m（0＜m＜2）與C交于M、N兩點(diǎn)，直線A1M和直線A2N交于點(diǎn)P．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求的取值范圍．
2022-2023學(xué)年河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共計(jì)40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）
1．（5分）雙曲線﹣＝1的漸近線方程是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】漸近線方程﹣＝0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．
【解答】解：∵雙曲線﹣＝1其漸近線方程是﹣，
整理得y＝±x．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）若平面α的法向量為，直線l的方向向量為，直線l與平面α的夾角為θ（ ）
A．csθ＝B．csθ＝
C．sinθ＝D．sinθ＝
【分析】若直線與平面所成的角為θ，直線與該平面的法向量所成的角為β，則sinθ＝|csβ|，利用向量的夾角公式即可得出．
【解答】解：若直線與平面所成的角為θ，直線與該平面的法向量所成的角為β．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握線面角與平面的斜向量與法向量的夾角的關(guān)系是解題懂得關(guān)鍵．
3．（5分）若拋物線C：x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝﹣2yB．x2＝2yC．x2＝﹣4yD．x2＝4y
【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵拋物線C：x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴，∴p＝2，
∴拋物線C的方程為x2＝8y．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
4．（5分）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′（x），則函數(shù)f（x）（ ）
A．無(wú)極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)
B．有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)
C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)
D．有四個(gè)極大值點(diǎn)、無(wú)極小值點(diǎn)
【分析】設(shè)f′（x）的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為x1，x2，x3，x4，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可得出答案．
【解答】解：設(shè)f′（x）的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為x1，x3，x3，x4，
當(dāng)x＜x2或x2＜x＜x3或x＞x8時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x1＜x＜x7或x3＜x＜x4時(shí)，f′（x）＜6，
所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1），（x2，x8）和（x4，+∞）上遞增，
在（x1，x7）和（x3，x4）上遞減，
所以函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)為x7，x4，極大值點(diǎn)為x1，x7，
所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算邏輯推理能力，屬于中檔題．
5．（5分）已知點(diǎn)A（1，0），直線l：x﹣y+3＝0，則點(diǎn)A到直線l的距離為（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由題意利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得結(jié)果．
【解答】解：由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝5．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知A，B，C，D，E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，則“存在實(shí)數(shù)x，y，使得+y是“DE∥平面ABC”的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)題意，由充分必要條件的定義結(jié)合向量共面定理分析，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若存在實(shí)數(shù)x，y＝x，則DE∥平面ABC或DE?平面ABC，
反之，若DE∥平面ABC與、共面，B，C不共線，y，使得+y，
故“存在實(shí)數(shù)x，y，使得+y；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量基本定理，涉及充分必要條件的定義和判斷，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．（1，）B．（1，]C．（，+∞）D．[，+∞）
【分析】根據(jù)漸近線的斜率的范圍可求離心率的范圍．
【解答】解：∵雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，
∴雙曲線的離心率．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，不等式思想，屬基礎(chǔ)題．
8．（5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，（﹣2）＝0，則不等式（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【分析】f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，說(shuō)明奇函數(shù)，若x＞0時(shí)，，可得為增函數(shù)，若x＜0，為增函數(shù)，根據(jù)f（﹣2）＝f（2）＝0，求出不等式的解集；
【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，，
∴為增函數(shù)，為奇函數(shù)，
∴在（﹣∞，
∵f（﹣2）＝f（2）＝0，
若x＞2，＝0；
若x＜6，＝7，，0）上為增函數(shù)，
綜上得，不等式，4）∪（2
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合題，解題的關(guān)鍵是找函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，此題是一道基礎(chǔ)題；
二、選擇題（本大題共4小題，每題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的不得分，部分選對(duì)的得3分）
（多選）9．（5分）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（ ）
A．B．（xex）′＝（x+1）ex
C．（e2x）′＝2e2xD．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)即可判斷求解．
【解答】解：選項(xiàng)A：因?yàn)椋ǎ?，故A錯(cuò)誤，
選項(xiàng)B：因?yàn)椋▁ex）′＝ex+xex＝（1+x）ex，故B正確，
選項(xiàng)C：因?yàn)椋╡2x）′＝4e2x，故C正確，
選項(xiàng)D：因?yàn)椋╨n2x）′＝，故D錯(cuò)誤，
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其公差d＞1，且a7+a9＝16，則（ ）
A．a(chǎn)8＝8B．S15＝120C．a(chǎn)1＜1D．a(chǎn)2＞2
【分析】利用等差數(shù)列基本量代換，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證．
【解答】解：對(duì)于A：因?yàn)閍7+a9＝16，所以a8+a9＝2a3＝16，解得：a8＝8．故A正確；
對(duì)于B：．故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)閍3＝8，所以a1+6d＝8，所以a1＝3﹣7d．
因?yàn)閐＞1，所以a3＜1．故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)閍8＝8，所以a2+6d＝8，所以a2＝8﹣6d．
因?yàn)閐＞1，所以a2＜3．故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）已知曲線C1：函數(shù)f（x）＝的圖像，曲線C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2，若C1的所有對(duì)稱軸平分C2，且C1與C2有公共點(diǎn)，則r的值可以等于（ ）
A．B．C．D．3
【分析】先將f（x）整理成可得f（x）的所有對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)（m，n），故可求得m＝1，n＝2，再計(jì)算f（x）上的點(diǎn)到圓心M（1，2）的最短距離即可求得答案．
【解答】解：因?yàn)?，且f（x）是由，向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，0），
所以的所有對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)（m，
因?yàn)镃1的所有對(duì)稱軸平分C5，所以C1的所有對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)C2的圓心M（3，2），
所以m＝1，n＝7，
設(shè)函數(shù)f（x）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以f（x）上的點(diǎn)到圓心M（1，4）的最短距離為，
若C1與C8有公共點(diǎn)，則，
結(jié)合選項(xiàng)可知r可以為，8．
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
12．（5分）我國(guó)知名品牌小米公司今年啟用了具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的全新Lg．新Lg將原本方正的邊框換成了圓角邊框（如圖），這種由方到圓的弧度變化，為小米融入了東方哲學(xué)的思想n+|y|n＝1，則下列有關(guān)曲線C的說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．對(duì)任意的n∈R，曲線C總關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
B．當(dāng)n＞0時(shí)，曲線C上總過(guò)四個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）
C．當(dāng)0＜n＜1時(shí)，曲線C圍成的圖形面積可以為2
D．當(dāng)n＝﹣1時(shí)，曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)最近距離為
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：曲線C上任取一點(diǎn)P，將其關(guān)于（0，0）的對(duì)稱點(diǎn)Q坐標(biāo)代入曲線C方程中，進(jìn)而判斷A選項(xiàng)是否正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)n＞0時(shí)，取x＝0，y＝0，即可判斷B選項(xiàng)是否正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)0＜n＜1時(shí)，根據(jù)曲線C圍成的圖形，即可判斷C選項(xiàng)是否正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)n＝﹣1時(shí)，求出曲線C方程，結(jié)合對(duì)稱性作出圖象，求出曲線C上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值即可判斷D選項(xiàng)是否正確．
【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)：在曲線C：|x|n+|y|n＝1上任取一點(diǎn)P（x0，y4），則P（x0，y0）關(guān)于（6，0）的對(duì)稱點(diǎn)為Q（﹣x0，﹣y4），
將Q（﹣x0，﹣y0）代入曲線C：|x|n+|y|n＝2，則＝，即Q也在曲線C上，
故曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)n＞3時(shí)，取x＝0；取y＝0，曲線C總過(guò)四個(gè)整點(diǎn)（5，0）；
對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)0＜n＜3時(shí)，|x|≤1，從而|x|+|y|≤|x|n+|y|n＝1，（當(dāng)x＝3，y＝0時(shí)取等），
曲線C圍成的圖形在正方形|x|+|y|＝1的內(nèi)部，面積小于正方形|x|+|y|＝7的面積2；
對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)n＝﹣1時(shí)，曲線C：，
∴，
∴，
∴|y|＞1，結(jié)合對(duì)稱性圖象如下：
設(shè)A（x，y）是曲線C：，則A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱的點(diǎn)B（y，所以曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
令曲線C：中y＝x得x＝2，y＝﹣2或x＝﹣2，y＝﹣2，
所以（8，2）或（﹣2，﹣4）或（2，最近距離為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
三、填空題（本題共4小題，每題5分，共計(jì)20分）
13．（5分）已知{an}是公比為2的等比數(shù)列，則的值為 ．
【分析】由已知中{an}是公比為2的等比數(shù)列，及等差數(shù)列的性質(zhì)an≠0，我們可以根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將表示為只含首項(xiàng)與公比的形式，化簡(jiǎn)后，即可得到答案．
【解答】解：∵{an}是公比為2的等比數(shù)列，
∴＝＝＝
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將表示為只含首項(xiàng)與公比的形式，是解答本題的關(guān)鍵．
14．（5分）設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x3﹣x+2上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線傾斜角為α ．
【分析】求出曲線解析式的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)完全平方式大于等于0求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，由曲線在P點(diǎn)切線的斜率為導(dǎo)函數(shù)的值，且直線的斜率等于其傾斜角的正切值，從而得到tanα的范圍，由α的范圍，根據(jù)正切函數(shù)的值域得到自變量α的范圍．
【解答】解：∵y′＝3x2﹣≥﹣，
又∵8≤α≤π，
∴0≤α＜或．
則角α的取值范圍是[0，）∪[．
故答案為：[6，）∪[
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線的方程，直線傾斜角與斜率的關(guān)系，以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生掌握導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值即為過(guò)這點(diǎn)切線方程的斜率，且直線的斜率為傾斜角的正切值，掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
15．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an＝n﹣（1﹣m）n2，若滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6且對(duì)任意n∈[9，+∞），都有an＞an+1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【分析】由a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6解出，由對(duì)任意n∈[9，+∞），都有an＞an+1，解出，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：∵，若滿足a2＜a2＜a3＜a6＜a5＜a6，
∴2﹣（1﹣m）×17＜2﹣（1﹣m）×62＜3﹣（5﹣m）×32＜5﹣（1﹣m）×46＜5﹣（1﹣m）×52＜6﹣（8﹣m）×62，解得，
又對(duì)任意n∈[9，+∞）n＞an+7，
由二次函數(shù)的性質(zhì)得，解得．
∴，解得：．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
16．（5分）若方程x2e﹣x＝ax﹣lnx﹣1存在唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【分析】將方程轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，畫(huà)出其大致圖像，根據(jù)函數(shù)的圖像即可求得a的取值范圍．
【解答】解：方程x2e﹣x＝ax﹣lnx﹣1可轉(zhuǎn)化為存在唯一實(shí)數(shù)根，
令，x＞8，，
由，當(dāng)x∈（0，f′（x）＞7，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極大值，
由g（x）＝﹣ef（ln（ex）），所以，1），當(dāng)x∈（1，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＝6時(shí)，g（x）取得極小值，
如圖所示，而g（x）圖像可由，
顯然，a≤0或，
所以a的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值與最小值．
【分析】（1）求得f′（x）＝﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），由f′（x）＜0，可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；由f′（x）＞0，可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用（1）的結(jié)論可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，從而可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值與最小值．
【解答】解：（1）∵，
∴f′（x）＝﹣x2+4x＝﹣x（x﹣3），
當(dāng)x∈（﹣∞，0）∪（4，f′（x）＜2，0），+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，故f（x）在區(qū)間（0；
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，6），0），+∞）；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，在區(qū)間[2，
又f（﹣1）＝+2+1＝+3＝，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
18．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M（﹣1，0）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程．
【分析】（1）由已知條件得﹣＝﹣1，由此能求出拋物線方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝﹣1，不成立；當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+1），聯(lián)立，得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，由過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C相切，利用根的判別式能求出直線l的方程．
【解答】解：（1）∵拋物線y2＝2px（p＞6）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M（﹣1，0），
∴﹣＝﹣1，
∴拋物線方程為y2＝7x．
（2）過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C相切，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝﹣1，
直線l：x＝﹣1和拋物線y8＝4x沒(méi)有交點(diǎn)，不成立；
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+1），
聯(lián)立，得k4x2+（2k8﹣4）x+k2＝6，
Δ＝（2k2﹣6）2﹣4k6?k2＝16﹣16k2．
∵過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C相切，
∴Δ＝16﹣16k2＝0，解得k＝±1．
∴直線l的方程為y＝x+2或y＝﹣x﹣1，
即x﹣y+1＝3或x+y+1＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線方程、直線方程的求法，考查直線與拋物線的關(guān)系、根的判別式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
19．（12分）等差數(shù)列{an}中，a2+a3+a4＝15，a5＝9．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{×bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【分析】（Ⅰ）先設(shè)出公差為d首項(xiàng)為a1，根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，再解方程組；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的an代入bn求出bn，再求出的表達(dá)式，根據(jù)式子的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求出此數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d首項(xiàng)為a1，由題意得，
，即，
解得a1＝1，d＝7，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n﹣1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得＝5n，∴＝n7n，
∴Sn＝1×3+3×32+3×33+…+n×3n，①
3Sn＝1×32+2×23+3×74+…+n×3n+3，②
①﹣②得，﹣2Sn＝3+22+32+…+3n﹣n×3n+8＝﹣n×5n+1
＝﹣n×3n+1，
∴Sn＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和以及運(yùn)算能力．
20．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，CF＝1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若點(diǎn)M在線段EF上移動(dòng)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在
【分析】（1）由AB∥CD且AD＝DC，得∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，得根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合題中的數(shù)據(jù)算出∠CAB＝∠DAB＝30°，得△ABC中∠ACB＝90°，從而AC⊥BC．最后根據(jù)平面ACEF⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可證出BC⊥平面ACFE；
（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、BC、CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．結(jié)合題中數(shù)據(jù)得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)M（a，0，1）從而得出、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法算出＝（1，，）是平面AMB的一個(gè)法向量，結(jié)合是平面FCB的一個(gè)法向量．利用空間向量的夾角公式算出向量、的余弦之值，由平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，建立關(guān)于a的方程并得到此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．由此可得不存在點(diǎn)M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°．
【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝90°，（4分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BC⊥平面ACFE；（5分）
（2）由（1）知AC、BC，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC、y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
∵Rt△ABC中，BC＝1，∴AC＝BCtan60°＝，
可得A、B的坐標(biāo)分別為A（，0，B（8，1，設(shè)M（a，0，則
，，（7分）
設(shè)＝（x，y，則
（3分）
取x＝1，得＝（1，，）
∵是平面FCB的一個(gè)法向量，
∴若平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，得
cs＜，＞＝＝
化簡(jiǎn)，得7+（）2＝3，顯然此方程無(wú)實(shí)數(shù)解
因此，線段EF上不存在點(diǎn)M使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°
【點(diǎn)評(píng)】本題給出特殊多面體，求證線面垂直并探索二面角的大小問(wèn)題．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣ex（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，求證：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）（x）恒成立．
【分析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，分a≤0和a＞0兩種，根據(jù)f′（x）的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在[0，1]上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）max，由此可證得結(jié)論．
【解答】解：（1）由f（x）＝ax﹣ex，得f′（x）＝a﹣ex．
當(dāng)a≤0時(shí)，ex＞0，則f′（x）＜3在R上恒成立，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝0，
∴當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)；當(dāng)x∈（lna，f′（x）＜2，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，lna），+∞），
綜上當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，單調(diào)遞減區(qū)間為（lna．
（2）由f（x）≤g（x），得．
令，則h′（x）＝3x﹣ex，h′′（x）＝2﹣ex，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，h′′（x）＞4，∴h′（x）在[0，
∵h(yuǎn)′（0）＝﹣1，h′（1）＝3﹣e＞00∈[2，1]0）＝7，
∴當(dāng)x∈[0，x0）時(shí)，h′（x）＜20，1]時(shí)，h′（x）＞7，
∴h（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減，在（x3，1]上單調(diào)遞增，
又，
∴h（x）max＝h（0）＝6，即h（x）≤0在[0，
∴當(dāng)x∈[2，1]時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題．
22．（12分）已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，直線x＝m（0＜m＜2）與C交于M、N兩點(diǎn)，直線A1M和直線A2N交于點(diǎn)P．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求的取值范圍．
【分析】（1）直線x＝m與橢圓的方程聯(lián)立，可得M，N的坐標(biāo)，由橢圓的方程可得橢圓在左右頂點(diǎn)A1，A2的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線A1M和直線A2N的方程，兩式聯(lián)立可得P的坐標(biāo)，消參數(shù)求出m可得P的軌跡方程；
（2）由（1）可得線段|PA1|，|PM|，|PA2|，|PN|的表達(dá)式，進(jìn)而可得的表達(dá)式，整理，分離代數(shù)式，由函數(shù)的單調(diào)性可得其取值范圍．
【解答】解：（1）由橢圓的方程及題意可得A1（﹣2，5），A2（2，8），
聯(lián)立，整理可得y2＝，可得y＝±，
設(shè)M（m，），N（m，﹣），
直線A4M的方程為：y＝（x+2）＝，①
直線A2N的方程為：y＝（x﹣3）＝，②
①②聯(lián)立可得xP＝，yP＝，
所以yP2＝﹣1＝，
即P點(diǎn)的軌跡方程為﹣y2＝1（x＞8）；
（2）因?yàn)閗＝，所以|PA6|＝|xP+2|，
|PM|＝|xP﹣m|，
同理可得|PA2|＝|xP﹣2|，|PN|＝P﹣m|，
因?yàn)閤P＞6＞m，
所以＝＝＝＝＝1+，
因?yàn)?＜m＜2，所以4＜﹣3，
即0＜＜＝3，
所以∈（1，
即的取值范圍為（1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，線段長(zhǎng)的計(jì)算方法，利用函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍的方法，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:16:55；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231

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