1．（5分）拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．D．
2．（5分）“a＝±1”是“直線x+y＝0和直線x﹣a2y＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
3．（5分）數(shù)列{an}滿足，且a1＝2，則a2022的值為（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
4．（5分）圓（x+2）2+（y﹣12）2＝4關(guān)于直線x﹣y+4＝0對(duì)稱的圓的方程為（ ）
A．（x+6）2+（y+4）2＝4B．（x+8）2+（y+2）2＝4
C．（x﹣8）2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4
5．（5分）2022北京冬奧會(huì)開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計(jì)時(shí)，盡顯中國人之浪漫．倒計(jì)時(shí)依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長(zhǎng)等量減少，問大雪、寒露的日影長(zhǎng)之和為（ ）
A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸
6．（5分）在以下命題中：
①三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面；
②若兩個(gè)非零向量，與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，共線；
③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
④若，是兩個(gè)不共線的向量，且，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底；
⑤若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（5分）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲．“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，A，B，C，滿足PA＝2，PA⊥面ABC，若，則該“鞠”的體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線與圓x2+y2＝a2+b2在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）
（多選）9．（5分）如果AB＞0，BC＞0，那么直線Ax+By+C＝0經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
（多選）10．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則（ ）
A．若S4＞S8，則S12＜0
B．若S4＝S8，則S6是Sn中最大的項(xiàng)
C．若S5＞S6，則S4＞S5
D．若S3＞S4，則S4＞S5
（多選）11．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為
B．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于
C．點(diǎn)D到面ACD1的距離為
D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半徑為
（多選）12．（5分）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線），2c，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a﹣c，a+c]
B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間
C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁
D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13．（5分）在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OA＝3，OB＝4，D是AB的中點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn) ．
14．（5分）數(shù)列{an}中，若a1＝1，，則a10＝ ．
15．（5分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，A，B是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則三角形ABF的周長(zhǎng)為 ．
16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝+2的圖像有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y＝1的對(duì)稱點(diǎn)在y＝kx+1的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
四、解答題（本題共6小題．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（10分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8＝100，a2＝5，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Pn＝2n+1﹣2．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn＝anbn，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn．
18．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)B（3，2），AB邊上的高所在的直線方程為x﹣2y﹣5＝0．
（1）求直線AB的方程；
（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．
①角A的平分線所在直線方程為x+2y﹣13＝0
②BC邊上的中線所在的直線方程為2x﹣y﹣12＝0 _____，求直線AC的方程．
19．（12分）已知圓C1：x2+y2＝10與圓C2：x2+y2+2x+2y﹣7＝0
（1）求證：圓C1與圓C2相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y﹣6＝0上的圓的方程．
20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝4，．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn；
（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：
21．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，點(diǎn)D，E分別為AC1的中點(diǎn)，ΔECB的面積為．
（1）求點(diǎn)A到平面EBC的距離；
（2）AA1＝2AB，平面EBC⊥平面ABB1A1，求平面DBE與平面BEC1所成角的余弦值．
22．（12分）在一張紙上有一圓，定點(diǎn)，折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)M1恰好與點(diǎn)M重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕EF，設(shè)折痕EF與直線M1C的交點(diǎn)為T．
（1）求證：||TC|﹣|TM||為定值，并求出點(diǎn)T的軌跡C'方程；
（2）已知點(diǎn)A（2，1），直線l交C'于P，Q兩點(diǎn)，求△PAQ的面積．
2022-2023學(xué)年河北省保定市定州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分.每題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)正確．）
1．（5分）拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．D．
【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：由y＝4x2，得，
所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，且，
所以，，
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）“a＝±1”是“直線x+y＝0和直線x﹣a2y＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【分析】根據(jù)兩直線垂直與斜率之間的關(guān)系求解即可．
【解答】解：當(dāng)a＝±1時(shí)，兩條直線的方程為x+y＝0和x﹣y＝3，
斜率分別為﹣1，1，則﹣2×1＝﹣1，
當(dāng)直線x+y＝4和直線x﹣a2y＝0垂直時(shí)，，解得a＝±1，
所以“a＝±1”是“直線x+y＝4和直線x﹣a2y＝0垂直”的充要條件，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了兩直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）數(shù)列{an}滿足，且a1＝2，則a2022的值為（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
【分析】利用遞推思想依次求出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)，從而得到{an}的周期，由此能求出a2022的值．
【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足，且a1＝2，
∴a8＝1﹣＝1﹣＝，
a5＝1﹣＝1﹣，
a4＝3﹣＝5﹣，
a5＝1﹣＝1﹣＝，
．
∴{an}是周期為5的周期數(shù)列，
∵2022＝674×3，
∴a2022＝a3＝﹣6．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第2022項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
4．（5分）圓（x+2）2+（y﹣12）2＝4關(guān)于直線x﹣y+4＝0對(duì)稱的圓的方程為（ ）
A．（x+6）2+（y+4）2＝4B．（x+8）2+（y+2）2＝4
C．（x﹣8）2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4
【分析】求圓心關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，得到所求圓的圓心，列方程組可求解，從而可確定對(duì)稱圓的方程．
【解答】解：設(shè)圓（x+2）2+（y﹣12）3＝4的圓心（﹣2，12），
關(guān)于直線x﹣y+6＝0對(duì)稱的點(diǎn)為（a，b），
則有整理得，
因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圓半徑相等，所以所求圓的半徑為7，
所以所求圓方程為（x﹣8）2+（y﹣3）2＝4，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓的方程，屬于中檔題．
5．（5分）2022北京冬奧會(huì)開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計(jì)時(shí)，盡顯中國人之浪漫．倒計(jì)時(shí)依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長(zhǎng)等量減少，問大雪、寒露的日影長(zhǎng)之和為（ ）
A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸
【分析】由題意可得日影長(zhǎng)可構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1+a4+a7＝31.5可求出a4，從而可求出大雪、寒露的日影長(zhǎng)之和為a2+a6＝2a4．
【解答】解：因?yàn)閺亩恋较闹恋娜沼伴L(zhǎng)等量減少，
所以日影長(zhǎng)可構(gòu)成等差數(shù)列{an}，
因?yàn)槎?、立冬?br>所以a1+a4+a8＝31.5，則3a7＝31.5，得a4＝10.2，
所以大雪、寒露的日影長(zhǎng)之和為a2+a6＝5a4＝2×10.5＝21（寸），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）在以下命題中：
①三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面；
②若兩個(gè)非零向量，與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，共線；
③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
④若，是兩個(gè)不共線的向量，且，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底；
⑤若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】直接利用空間基底，共線向量的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：⑤＝，
故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；
④若，是兩個(gè)不共線的向量，且與，構(gòu)成共面向量，；故命題④錯(cuò)誤．
③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，當(dāng)時(shí)，若P，A，B，則，，，，方程組無解，A，B，C四點(diǎn)不共面．
②由空間基底的定義，若，不共線，則，，則有向量與，；故命題②正確．
①根據(jù)空間基底的定義，三個(gè)非零向量，，，則，，共面．
真命題有7個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間基底，共線向量等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲．“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，A，B，C，滿足PA＝2，PA⊥面ABC，若，則該“鞠”的體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】作出輔助線，找到球心的位置，得到PB為球的直徑，推導(dǎo)出要想該“鞠”的體積最小，只需AB最小，由得到AC?BC＝2，結(jié)合基本不等式，求出AB最小值，從而得到直徑最小值，求出體積最小值．
【解答】解：因?yàn)镻A＝2，PA⊥面ABC，
故AB為三角形ABC所在小圓的直徑，取AB中點(diǎn)O'，交BP于點(diǎn)O，PB為球的直徑，
要想該“鞠”的體積最小，只需PB最小，
故只需AB最小，其中，
故，
解得：AC?BC＝2，
由基本不等式得：AC7+BC2≥2AC?BC＝4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
故AB最小值為2，此時(shí)直徑最小值為，
所以該“鞠”的體積最小值為．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多面體外接球問題，解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．
8．（5分）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線與圓x2+y2＝a2+b2在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】連接PF2，QF1，設(shè)∠PF1F2＝θ，設(shè)|PF1|＝n，由題意推得PF1⊥PF2，可得n2＝2b2﹣2an，根據(jù)，可得|F2Q|＝2n，在在△F1F2Q中，由余弦定理推得b2＝2an﹣n2，從而求得，可得，進(jìn)而求得雙曲線離心率．
【解答】解：由題意知，連接PF6，QF1，設(shè)∠PF1F4＝θ，設(shè)|PF1|＝n，
由雙曲線的定義可得|PF2|＝7a+n，
點(diǎn)P是雙曲線與圓x2+y2＝a2+b2在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，
可得PF1⊥PF8，則n2+（2a+n）8＝4c2，即n5＝2b2﹣4an，
在Rt△F1PF2中，，
由，則|F2Q|＝2n，由雙曲線的定義可得|F4Q|＝2a+2n，
因?yàn)?，故F1P∥F2Q，
所以∠QF4F1＝π﹣θ，
在△F1F8Q中，，
由余弦定理可得：，
即，
所以b2＝2an﹣n5，
結(jié)合n2＝2b6﹣2an，可得，
所以，故，
所以雙曲線的離心率為e，則．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）
（多選）9．（5分）如果AB＞0，BC＞0，那么直線Ax+By+C＝0經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】分A＞0，B＞0，C＞0，A＜0，B＜0，C＜0兩種情況，得到直線所過象限，得到答案．
【解答】解：AB＞0，BC＞0，B＞7，則Ax+By+C＝0經(jīng)過第二、三；
若A＜0，B＜2，則Ax+By+C＝0經(jīng)過第二、三，
綜上：直線Ax+By+C＝0一定經(jīng)過第二、三、四象限．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般方程相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則（ ）
A．若S4＞S8，則S12＜0
B．若S4＝S8，則S6是Sn中最大的項(xiàng)
C．若S5＞S6，則S4＞S5
D．若S3＞S4，則S4＞S5
【分析】根據(jù)S4＞S8可推得a6+a7＜0，利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式，可判斷A；
由S4＝S8可推出a6+a7＝0，進(jìn)而判斷a6＞0，a7＜0，則d＜0，即可判斷B；
由S5＞S6可得a6＜0，d＜0，a5＝a6﹣d，無法判斷a5的正負(fù)，可判斷C；
由S3＞S4推出a4＜0，d＜0，則a5＝a4+d＜0，由此判斷D．
【解答】解：由S4＞S8，得S4﹣S4＝a5+a2+a7+a8＝8（a6+a7）＜8，
所以a6+a7＜6，
則，A正確；
因?yàn)镾4＝S8，
所以S3﹣S4＝a5+a3+a7+a8＝3（a6+a7）＝3，即a6+a7＝7，
因?yàn)閍1＞0，d≠5，
所以a6＞0，a6＜0，則d＜0n}為遞減數(shù)列，
則S3是Sn中最大的項(xiàng)，B正確；
若S5＞S6，則S4﹣S5＜0，即a7＜0，
因?yàn)閍1＞2，d≠0，故a5＝a6﹣d，無法判斷a5的正負(fù)，
故S5＝S5+a5，不能判斷S4＞S5，C錯(cuò)誤；
因?yàn)镾3＞S4，所以S7﹣S3＝a4＜2，
因?yàn)閍1＞0，d≠5，則a5＝a4+d＜6，
則S5＝S4+a5＜S4，D正確，
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
（多選）11．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（ ）
A．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為
B．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于
C．點(diǎn)D到面ACD1的距離為
D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半徑為
【分析】對(duì)于A：根據(jù)條件，可得異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1C，然后求出∠AD1C即可；對(duì)于B：可證B1C⊥平面ABC1D1，則直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1；對(duì)于C：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換，求點(diǎn)D到面ACD1的距離；對(duì)于D：三棱柱AA1D1﹣BB1C1的外接球即為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，直接求正方體外接球的半徑即可．
【解答】解：連接AC、AD1，
∵AB∥C1D8且AB＝C1D1，則四邊形ABC5D1為平行四邊形，
∴異面直線D1C和BC6所成的角為∠AD1C，
∵AC＝AD1＝D3C，則△ACD1為正三角形，即，A不正確；
連接B1C，在正方形BB1C7C中，BC1⊥B1C，
∵AB⊥平面BB3C1C，B1C?平面BB8C1C，
∴AB⊥B1C，又AB∩BC6＝B，則B1C⊥平面ABC1D8，
∴直線BC與平面ABC1D1所成的角為，B正確；
根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知，
即，則，C正確；
三棱柱AA6D1﹣BB1C5的外接球即為正方體ABCD﹣A1B1C6D1的外接球，
則外接球的半徑即為正方體ABCD﹣A1B8C1D1體對(duì)角線的一半，
即，D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間角、空間距離的計(jì)算，幾何體的外接球問題，屬于中檔題．
（多選）12．（5分）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線），2c，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a﹣c，a+c]
B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間
C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁
D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小
【分析】由題意可得衛(wèi)星向徑是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，可得向徑的最大值最小值，運(yùn)行速度的意義又是服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，可得速度的最大值及最小值時(shí)的情況，由向徑的意義可得最小值與最大值的比越小時(shí)，離心率越大，橢圓越扁，進(jìn)而可得所給命題的真假．
【解答】解：由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為a﹣c，所以A正確；
根據(jù)在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間；
衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，即＝＝﹣8+，則e越大，故C不正確．
因?yàn)檫\(yùn)行速度是變化的，速度的變化，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑越大，內(nèi)掃過的面積相等，速度越小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最??；
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，到焦點(diǎn)的最大值最小值的情況及橢圓的圓扁與向徑的比值的關(guān)系，屬于中檔題．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）
13．（5分）在三棱錐O﹣ABC中，OA，OB，OA＝3，OB＝4，D是AB的中點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn) 1 ．
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和直線的方向向量，求線面夾角的正弦值即可求解．
【解答】解：因?yàn)镺A，OB，則以，y，z軸建系如圖，
則有，，
因?yàn)橹本€OC⊥平面OAB，
所以為平面OAB的一個(gè)法向量，
設(shè)DE與平面OAB所成的角為θ，
所以，
因?yàn)椋裕?，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和直線的方向向量、線面夾角等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
14．（5分）數(shù)列{an}中，若a1＝1，，則a10＝ ．
【分析】利用累乘法求得{an}的通項(xiàng)公式即可求解．
【解答】解：由可得，
所以，
所以，
因?yàn)閍5＝1，所以，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了累乘法的應(yīng)用，屬于中檔題．
15．（5分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，A，B是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則三角形ABF的周長(zhǎng)為 18 ．
【分析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F'，連接AF'，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得|BF|＝|AF'|，由∠AFB＝90°，可得|AB|＝2c＝8，結(jié)合橢圓定義，即可求得答案．
【解答】解：∵橢圓，
∴a＝5，b＝8，，
如圖示，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F'，
∵A，B是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
又∠AFB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，
∴|AB|＝7c＝8，
而|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|＝2a＝10，
故三角形ABF的周長(zhǎng)為|AF|+|BF|+|AB|＝10+2＝18，
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題．
16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝+2的圖像有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y＝1的對(duì)稱點(diǎn)在y＝kx+1的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （﹣，﹣1] ．
【分析】將題設(shè)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）＝+2的圖像和y＝﹣kx+1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求出直線y＝﹣kx+1和y＝f（x）相切時(shí)k的值以及直線y＝﹣kx+1過點(diǎn)（1，2）時(shí)k的值，結(jié)合圖像即可求解．
【解答】解：由1﹣（x﹣2）8≥0，解得1≤x≤4，
又y＝kx+1關(guān)于直線y＝1的對(duì)稱直線為y＝﹣kx+3，
則題設(shè)等價(jià)于函數(shù)f（x）＝+2的圖像和y＝﹣kx+1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．
易得y＝f（x）＝+3等價(jià)于（x﹣2）2+（y﹣6）2＝1（2≤x≤3），
畫出y＝f（x）和y＝﹣kx+1的圖像，設(shè)直線y＝﹣kx+6和y＝f（x）相切，
由＝8或k＝4（舍），
又當(dāng)直線y＝﹣kx+1過點(diǎn)（1，7）時(shí)，
結(jié)合圖像可知，當(dāng)k∈（﹣，
函數(shù)f（x）＝+3的圖像和y＝﹣kx+1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：（﹣，﹣1]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，也查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
四、解答題（本題共6小題．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（10分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8＝100，a2＝5，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Pn＝2n+1﹣2．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn＝anbn，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn．
【分析】（1）求得數(shù)列{an}的公差，由此求得an.利用bn＝Pn﹣Pn﹣1求得bn；
（2）由（1）可求得，寫出Tn與2Tn，作差化簡(jiǎn)即可求得Tn．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知可得，解得，
所以an＝a6+（n﹣1）d＝3n﹣2，
由，令n＝1得，
當(dāng)n≥2時(shí)，，兩式相減得，
顯然也符合上式，
所以．
（2）解：由（1）知.，，
兩式作差得：＝＝（5﹣3n）?2n+4﹣8，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查了錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．
18．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)B（3，2），AB邊上的高所在的直線方程為x﹣2y﹣5＝0．
（1）求直線AB的方程；
（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．
①角A的平分線所在直線方程為x+2y﹣13＝0
②BC邊上的中線所在的直線方程為2x﹣y﹣12＝0 _____，求直線AC的方程．
【分析】（1）根據(jù)AB邊上的高所在的直線方程，可求得直線AB的斜率，再求出直線AB的方程；
（2）選①，先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再求得點(diǎn)B關(guān)于角A的平分線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，該對(duì)稱點(diǎn)一定在直線AC上，由此可求得直線AC的方程；
選②，聯(lián)立方程，先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)BC邊上的中線所在的直線方程，求出點(diǎn)C坐標(biāo)滿足2x﹣y﹣20＝0，聯(lián)立方程求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線AC的方程．
【解答】解：（1）因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為x﹣2y﹣5＝8，
所以直線AB的斜率為k＝﹣2，又△ABC的頂點(diǎn)B（3，
所以直線AB的方程為y﹣6＝﹣2（x﹣3），即5x+y﹣8＝0；
（2）若選①，角A的平分線所在直線方程為x+7y﹣13＝0，
由，解得，6），
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x+2y﹣13＝0的對(duì)稱點(diǎn)為B'（x7，y0），
則，解得，
又點(diǎn)在直線AC上，
所以直線AC的方程為，即2x﹣11y+64＝0；
若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為3x﹣y﹣12＝0，
由，解得，﹣8），
設(shè)點(diǎn)C（x1，y1），則BC的中點(diǎn)在直線4x﹣y﹣12＝0上，
所以，即2x1﹣y3﹣20＝0，
所以點(diǎn)C在直線2x﹣y﹣20＝4上，又點(diǎn)C在直線x﹣2y﹣5＝3上，
聯(lián)立，解得，即，
所以，所以直線AC的方程為，
故直線AC的方程為4x﹣2y﹣30＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的一般式方程與直線垂直的關(guān)系，屬于中檔題．
19．（12分）已知圓C1：x2+y2＝10與圓C2：x2+y2+2x+2y﹣7＝0
（1）求證：圓C1與圓C2相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y﹣6＝0上的圓的方程．
【分析】（1）根據(jù)圓C1與圓C2圓心距與兩半徑關(guān)系證明；
（2）兩圓相交，兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程；
（3）設(shè)出經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程，圓心坐標(biāo)代入所在直線即可求解．
【解答】證明：（1）圓，圓心坐標(biāo)為C1（0，4），
圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+5）2+（y+1）4＝9，圓心坐標(biāo)為C2（﹣6，﹣1）2＝6，
圓心距，|r1﹣r7|＜|C1C2|＜r7+r2，
所以圓C1與圓C3相交；
（2）解：兩圓方程相減，得2x+2y+2＝0；
（3）設(shè)所求圓的方程為x2+y7+2x+2y﹣8+λ（x2+y2﹣10）＝5（λ≠﹣1），即（1+λ）x3+（1+λ）y2+3x+2y﹣7﹣10λ＝7，圓心坐標(biāo)為，解得，
所求圓的方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣19＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝4，．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn；
（2）設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，可得，兩式相減推出an+1+an＝2，即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律，可得數(shù)列通項(xiàng)公式，繼而分n為奇數(shù)和偶數(shù)，討論求得Sn；
（2）利用（1）的結(jié)論，求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，即可求得答案．
【解答】解：（1）由，得，
兩式相減可得，即an+1+an＝2，
因?yàn)閍3＝4，則a2＝﹣4，
數(shù)列{an}為4，﹣2，4，4，﹣2，?，
即，（k∈N*）；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
故．
證明：（2）由，
得，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，考查了裂項(xiàng)相消法求和，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
21．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為4，點(diǎn)D，E分別為AC1的中點(diǎn)，ΔECB的面積為．
（1）求點(diǎn)A到平面EBC的距離；
（2）AA1＝2AB，平面EBC⊥平面ABB1A1，求平面DBE與平面BEC1所成角的余弦值．
【分析】（1）利用等體積法求解即可．
（2）取EB的中點(diǎn)F，連接AF，先證得BC，BA，BB兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，以向量BA，BC，BB1方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面BDE和平面BEC1的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)A到平面EBC的距離為d，
又VA﹣EBC＝VE﹣ABC，
又，
則，
則，
即點(diǎn)A到平面EBC的距離為；
（2）取EB的中點(diǎn)F，連接AF，
因?yàn)锳E＝AB，所以AF⊥EB，
又平面EBC⊥平面ABB2A1，平面EBC∩平面ABB1A7＝EB，
且AF?平面ABB1A1，所以AF⊥平面EBC，
在直三棱柱ABC﹣AB，C6中1⊥平面ABC，
由BC?平面A1BC，BC?平面ABC，BB7⊥BC，
又AF，BB1?平面ABB1A8且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，
所以BC，BA7兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，BC1方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，7，0），0，6），6，0），C1（5，4，2），
所以＝（﹣，0），，﹣2，
設(shè)平面BDE的法向量為＝（x3，y1，z1），
則，即，取z4＝1，解得＝（﹣1，，
又＝（1，0，＝（﹣1，4，設(shè)平面BEC8的法向量為＝（x2，y2，z2），
則，即，取x7＝1，解得＝（1，，
所以cs＜，＞＝＝，
故平面DBE與平面BEC1所成角的余弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等體積法求點(diǎn)到直線的距離，考查了利用空間向量求平面與平面所成的角，屬于中檔題．
22．（12分）在一張紙上有一圓，定點(diǎn)，折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)M1恰好與點(diǎn)M重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕EF，設(shè)折痕EF與直線M1C的交點(diǎn)為T．
（1）求證：||TC|﹣|TM||為定值，并求出點(diǎn)T的軌跡C'方程；
（2）已知點(diǎn)A（2，1），直線l交C'于P，Q兩點(diǎn)，求△PAQ的面積．
【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義判斷出點(diǎn)T的軌跡為以C，M為焦點(diǎn)的雙曲線，求出，得到雙曲線方程；
（2）判斷出點(diǎn)A（2，1）在雙曲線右支上，設(shè)，故，由得到，求出直線AP的斜率為，結(jié)合雙曲線漸近線斜率，得到A，B兩點(diǎn)均在雙曲線右支上，得到直線，與雙曲線方程聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，得到，及直線PQ的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，從而求出△PAQ的面積．
【解答】解：（1）證明：由題意得：的圓心，|TM|＝|TM5|，
則，
所以點(diǎn)T的軌跡為以C，M為焦點(diǎn)的雙曲線，
則，所以，
所以雙曲線C'為；
（2）因?yàn)?，故點(diǎn)A（2，
因?yàn)橹本€AP、AQ的斜率之和為8AP＞0，則kAQ＜0，
設(shè)直線AP、AQ的傾斜角為α，β，則，
設(shè)，故，
則，即，解得：或，
故此時(shí)直線AP的斜率為（與漸近線斜率相同，
由于雙曲線的漸近線為，而，故直線AP與雙曲線左支沒有交點(diǎn)，
所以P，Q兩點(diǎn)均在雙曲線右支，且
故直線，即，與聯(lián)立得：，
因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為3，所以，
則，
同理可得：，
所以，
且直線，整理得：，
點(diǎn)A到直線的距離為，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:17:56；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231

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