1．（5分）已知命題p：?x∈（1，+∞），3x+1＞5，則命題p的否定為（ ）
A．?x∈（1，+∞），3x+1≤5B．?x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
C．?x∈（1，+∞），3x+1≤5D．?x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
2．（5分）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．45°D．120°
3．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝i，則（ ）
A．B．C．D．1
4．（5分）某公司10位員工的月工資（單位：元）為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為（ ）
A．，s2+1002B．+100，s2+1002
C．，s2D．+100，s2
5．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
7．（5分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足lg2a1+lg2a2+……+lg2a2022＝2022，則lg2（a1+a2022）的最小值為（ ）
A．1B．2C．1011D．2022
8．（5分）已知P，Q是橢圓3x2+6y2＝1上滿足∠POQ＝90°的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則等于（ ）
A．45B．9C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）下列各式比較大小，正確的是（ ）
A．1.72.5＞1.73B．
C．1.70.3＞0.93.1D．
（多選）10．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)P，過C上一點(diǎn)M作l的垂線，若四邊形MQPF為矩形，則（ ）
A．準(zhǔn)線l的方程為x＝﹣1
B．矩形MQPF為正方形
C．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）
D．點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為
（多選）11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．直線A1C與面A1BD夾角的余弦值為
B．直線AD1與直線A1C1夾角為45°
C．面A1BE截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得截面圖形為等腰梯形
D．若面B1D1E與面BDE所成銳二面角的平面角大小為θ，則
（多選）12．（5分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．f（x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)f（x）的圖像
D．若方程f（x）＝m在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知函數(shù)f（x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，則f[f（7） ．
14．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n的和為Sn，若S9＝72，則a2+a4+a9＝ ．
15．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線E的左支交于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，則雙曲線E的離心率為 ．
16．（5分）有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊中點(diǎn)，且該塔形的表面積（含C最底層正方體的底面面積）超過39 ．
四、解答題：本題共6小題，第17題滿分70分，其它5個(gè)小題滿分均為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知圓C：x2+（y﹣1）2＝4，直線l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）求證：任意m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長．
18．（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，a6＝b1＝16，a2＝b3，S3＝12．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
19．（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，以DF為折痕把△DFC折起．使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的余弦值．
20．（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別是a，b，c，且A＝2B
（1）證明：a2＝b2+bc；
（2）若D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD＝c，求csA的值．
21．（12分）我市某校為了解高一新生對(duì)物理科與歷史科方向的選擇意向，對(duì)1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)知，400名學(xué)生選擇歷史科．分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計(jì)表（下表）：
（1）利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對(duì)學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（如圖）；
（2）從數(shù)學(xué)成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，求選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率．
22．（12分）已知橢圓E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距與短軸長均為4．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)任意過F2的直線l交E于M，N，分別作E在點(diǎn)M，N處的切線，過F1作平行于l的直線分別交PM，PN于A，B，求的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市潮陽區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）已知命題p：?x∈（1，+∞），3x+1＞5，則命題p的否定為（ ）
A．?x∈（1，+∞），3x+1≤5B．?x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
C．?x∈（1，+∞），3x+1≤5D．?x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，變換量詞，否定結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，
已知命題p：?x∈（1，+∞），
所以命題p的否定為：?x∈（1，+∞）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．45°D．120°
【分析】由斜截式可知直線的斜率，又由斜率公式可得傾斜角的正切值，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值求得傾斜角的大?。?br>【解答】解：由直線可知其斜率為，
則由k＝tanα得，
又0°≤α＜180°，所以α＝60°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝i，則（ ）
A．B．C．D．1
【分析】由復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝i，求出z，再求出即可．
【解答】解：∵i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝i，
∴，∴z+＝i，
∴＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）某公司10位員工的月工資（單位：元）為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為（ ）
A．，s2+1002B．+100，s2+1002
C．，s2D．+100，s2
【分析】根據(jù)變量之間均值和方差的關(guān)系和定義，直接代入即可得到結(jié)論．
【解答】解：由題意知yi＝xi+100，
則＝（x1+x8+…+x10+100×10）＝（x1+x5+…+x10）＝+100，
方差s2＝[（x2+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）4+…+（x10+100﹣（+100）2]＝[（x3﹣）2+（x2﹣）3+…+（x10﹣）2]＝s2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本數(shù)據(jù)的均值和方差之間的關(guān)系，利用均值和方差的定義是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算公式．
5．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則求解．
【解答】解：＝＝+＝﹣+﹣+﹣．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【分析】由題意可得至少需要志愿者為＝18名．
【解答】解：第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，就按1600份計(jì)算，
第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95就按2100份計(jì)算，
因?yàn)楣究梢酝瓿膳湄?200份訂單，則至少需要志愿者為，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等可能事件概率的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足lg2a1+lg2a2+……+lg2a2022＝2022，則lg2（a1+a2022）的最小值為（ ）
A．1B．2C．1011D．2022
【分析】先根據(jù)等比中的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)求出lg2（a1+a2022）的值，再利用基本不等式即可求出其最小值．
【解答】解：lg2a1+lg4a2+……+lg2a2022＝lg5（a1a2…a2022）＝2022，
所以，又?jǐn)?shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，
所以，
所以．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)及利用基本不等是求解最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）已知P，Q是橢圓3x2+6y2＝1上滿足∠POQ＝90°的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則等于（ ）
A．45B．9C．D．
【分析】如圖所示，直線OP的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，其方程為：y＝kx，可得OQ的方程為：y＝﹣x，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，解得，，可得，同理可得，即可得出的值，直線OP的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖所示，直線OP的斜率存在時(shí)，其方程為：y＝kxx，
設(shè)P（x1，y8），Q（x2，y2），
聯(lián)立，解得＝，＝，∴＝，
同理可得＝＝，
∴＝+＝3，
直線OP的斜率不存在時(shí)，上式也成立．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、方程的思想方法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．（5分）下列各式比較大小，正確的是（ ）
A．1.72.5＞1.73B．
C．1.70.3＞0.93.1D．
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和冪函數(shù)的單調(diào)性求解．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：∵函數(shù)y＝1.7x在R上單調(diào)遞增，且3.5＜3，
∴3.72.4＜1.76，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B：＝，
∵函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，且，
∴＝，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C：∵1.50.3＞6.70＝5，0＜0.63.1＜6.90＝8，
∴1.77.3＞0.23.1，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D：∵函數(shù)y＝在R上單調(diào)遞減，且，
∴，
又∵函數(shù)y＝在（0，且，
∴，
∴＜，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)P，過C上一點(diǎn)M作l的垂線，若四邊形MQPF為矩形，則（ ）
A．準(zhǔn)線l的方程為x＝﹣1
B．矩形MQPF為正方形
C．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）
D．點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為
【分析】根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)可以得出結(jié)論．
【解答】解：由拋物線C：y2＝4x，得其準(zhǔn)線l的方程為x＝﹣8；
由拋物線的定義可知|MQ|＝|MF|，又因?yàn)樗倪呅蜯QPF為矩形，B正確；
所以|MQ|＝|MF|＝p＝2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，所以，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題，也是易錯(cuò)題．
（多選）11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．直線A1C與面A1BD夾角的余弦值為
B．直線AD1與直線A1C1夾角為45°
C．面A1BE截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得截面圖形為等腰梯形
D．若面B1D1E與面BDE所成銳二面角的平面角大小為θ，則
【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由異面直線所成角、線面角、二面角的向量計(jì)算公式可判斷A，B，D；求出面A1BE截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得截面圖形可判斷C．
【解答】解：對(duì)于A，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示：
設(shè)正方體的棱長為2，則A1（6，0，2），3，0），2，6），
設(shè)面A1BD的一個(gè)法向量為＝（x，y，
所以，
則，令x＝1，
所以，設(shè)直線A1C與面A1BD所成角為θ3，
所以sinθ1＝|cs＜，＞|＝|＝，
所以直線A1C與面A2BD夾角的余弦值為，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)镃1（0，8，2），D1（6，0，2），8，0），
則，，
設(shè)直線AD1與直線A6C1夾角為α，
所以csα＝|cs＜，＞|＝||＝，
∵，
∴直線AD1與直線A6C1夾角為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取C4D1的中點(diǎn)為H，連接HA，
由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，A，B，H，E四點(diǎn)共面，
所以面A1BE截正方體ABCD﹣A2B1C1D2所得截面為四邊形A1BEH，
因?yàn)閨A1H|＝＝，|BE|＝＝，
所以|A5H|＝|BE|，又AB∥HE，
所以面A1BE截正方體ABCD﹣A1B8C1D1所得截面圖形為等腰梯形，故C正確；
對(duì)于D，由A可知B5（2，2，3），D1（0，2，2），2，2），2，0），
設(shè)面B2D1E的一個(gè)法向量為＝（x3，y1，z1），則，，
所以，令x1＝1，y5＝﹣1，z1＝﹣4，
所以，
設(shè)面BDE的一個(gè)法向量為＝（x7，y2，z2），則，，
所以，令x＝1，z＝2，
所以，
設(shè)面B1D1E與面BDE所成銳二面角的平面角大小為θ，
所以csθ＝|cs＜，＞|＝|＝，
∴，
∴，
又∵，
解得或（舍去），
故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用空間向量求直線與平面的夾角，以及平面與平面的夾角，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
（多選）12．（5分）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．f（x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)f（x）的圖像
D．若方程f（x）＝m在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是
【分析】根據(jù)圖像周期性求出ω，代入特殊點(diǎn)求φ，得到，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證，對(duì)于A、B，代入驗(yàn)證即可；
對(duì)于C，利用平移左加右減的規(guī)律即可求得平移后的函數(shù)，化簡進(jìn)行比較；
對(duì)于D，先判斷出單調(diào)性，求出最值，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷．
【解答】解：由題圖可得A＝2，，故ω＝7，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），又，即，
所以，k∈Z，
又，
所以，
所以．
對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，f（x）＝﹣2；
對(duì)于C：將函數(shù)的圖像向左平移，的圖像；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，
即時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，?br>所以方程f（x）＝m在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)．
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知函數(shù)f（x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，則f[f（7） 25 ．
【分析】首先從表中找到x＝7，求f（7）的值，同理再求f[f（7）]的值．
【解答】解：由表可得f（7）＝10，
所以f[f（7）]＝f（10）＝25，
故答案為：25．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n的和為Sn，若S9＝72，則a2+a4+a9＝ 24 ．
【分析】先由S9＝72用性質(zhì)求得a5，而3（a1+4d）＝3a5，從而求得答案．
【解答】解：∵
∴a5＝6
又∵a2+a4+a3＝3（a1+3d）＝3a5＝24
故答案是24
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及項(xiàng)與項(xiàng)間的內(nèi)在聯(lián)系．
15．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線E的左支交于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，則雙曲線E的離心率為 ．
【分析】設(shè)|BF2|＝5t（t＞0），則|AB|＝12t，|AF2|＝13t，由勾股定理得AB⊥BF2，由雙曲線的定義求得t，a關(guān)系，再由雙曲線的定義求得|BF1|，然后由勾股定理求得c與t的關(guān)系，計(jì)算可得離心率．
【解答】解：由題意可設(shè)|BF2|＝5t（t＞6），則|AB|＝12t2|＝13t，
由勾股定理易知AB⊥BF2，
又由雙曲線定義可知|BF3|+|AF2|﹣|AB|＝4a＝8t，∴2a＝3t，
又|AF7|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF8|＝2a＝3t，
∴|AF4|＝|AF2|﹣3t＝10t，|BF7|＝|BF2|﹣3t＝4t，
∴，
∴離心率．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
16．（5分）有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊中點(diǎn)，且該塔形的表面積（含C最底層正方體的底面面積）超過39 6 ．
【分析】求出各個(gè)層的正方體的表面積，求出它們的和，該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，求出正方體的個(gè)數(shù)至少個(gè)數(shù)．
【解答】解：底層正方體的表面積為24；第2層正方體的棱長2×＝；第3層正方體的棱長為3×；…，
第n層正方體的棱長為2×，每個(gè)面的面積為4×；
若該塔形為n層，則它的表面積為24+8×[4×+…+4×
∵＞39
∴該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是6．
故答案是2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題，考查計(jì)算能力，數(shù)列求和的知識(shí)，正確就是解好數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵．
四、解答題：本題共6小題，第17題滿分70分，其它5個(gè)小題滿分均為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知圓C：x2+（y﹣1）2＝4，直線l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）求證：任意m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長．
【分析】（1）求含參直線l所恒過的定點(diǎn)，定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）求圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理求半弦長，再求出弦長．
【解答】證明：（1）直線l：mx﹣y+1﹣m＝0恒過定點(diǎn)A（4，1），
又15+（1﹣1）8＝1＜4，
所以點(diǎn)A（2，1）在圓C：x2+（y﹣3）2＝4的內(nèi)部，
所以直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）解：由題設(shè)，l：8x﹣y﹣1＝0，7），
所以（0，1）到直線l的距離，
所以弦長為．
即直線l被圓C截得的弦長．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
18．（12分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，a6＝b1＝16，a2＝b3，S3＝12．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可列關(guān)于首項(xiàng)a1，d的方程組，同理可列關(guān)于q的方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）得，求出Sn的表達(dá)式，分類討論n＝2k﹣1，n＝2k時(shí)，判斷數(shù)列的增減性，即可得出答案．
【解答】解：（1）由題意可設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
∵a6＝b1＝16，a4＝b3，S3＝12，
∴16+16q+16q7＝12，解得q＝﹣，
∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝16?（﹣）n﹣1，
則a6＝b3＝b1?q7＝16×（﹣）2＝7，
則，解得，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣2；
（2）由（1）得Sn＝＝[1﹣（﹣）n]，
當(dāng)n＝2k﹣7（k∈N+）時(shí)，則Sn＝[1+（）n]，此時(shí)數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞減的，
則Sn≤S1＝16，即＜Sn≤16，
當(dāng)n＝2k（k∈N+）時(shí)，則Sn＝[5﹣（）n]，此時(shí)數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的，
則Sn≥S7＝8，即8≤Sn＜，
綜上所述，Sn的最大值為16和最小值為8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19．（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，以DF為折痕把△DFC折起．使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的余弦值．
【分析】（1）先證明BF⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理得結(jié)論；
（2）作PH⊥EF，垂足為H，得PH⊥平面ABFD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H﹣xyz，由線面垂直的性質(zhì)定理得線線垂直，求得圖形中的線段長得出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后用空間向量法求線面角．
【解答】解：（1）證明：由已知可得，BF⊥PF，
又PF∩EF＝F，PF，
所以BF⊥平面PEF，又BF?平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD；
（2）作PH⊥EF，垂足為H，
且平面PEF∩平面ABFD＝EF，PH?平面PEF，
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，
因?yàn)镈E∥BF，BF⊥平面PEF，
所以DE⊥平面PEF，又PE?平面PEF，
所以DE⊥PE，又DP＝2，所以，EF＝2，
故PE⊥PF．可得，
則H（2，0，0），，則，
易知平面ABFD的一個(gè)法向量為，
所以，
設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ，
則，
∴，
即DP與平面ABFD所成角的余弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解線面角問題，屬中檔題．
20．（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別是a，b，c，且A＝2B
（1）證明：a2＝b2+bc；
（2）若D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD＝c，求csA的值．
【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理將A＝2B轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，化簡整理即可得到a2＝b2+bc；
（2）利用三角形中線的性質(zhì)和（1）的結(jié)論列出關(guān)于a，b，c的方程組，進(jìn)而得到a，b，c之間的關(guān)系，利用余弦定理即可求得csA的值．
【解答】解：（1）證明：△ABC中，由A＝2B，
則a＝2bcsB，則a＝6b?2c+b4﹣a2b﹣bc2＝8，
即（b﹣c）（a2﹣b2﹣bc）＝4，又b≠c2＝b2+bc．
（2）作圖如下：
△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，則
0＝cs∠ADB+cs∠ADC＝+＝，
則有，解之得
則csA＝＝＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，屬于基礎(chǔ)題．
21．（12分）我市某校為了解高一新生對(duì)物理科與歷史科方向的選擇意向，對(duì)1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)知，400名學(xué)生選擇歷史科．分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計(jì)表（下表）：
（1）利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對(duì)學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（如圖）；
（2）從數(shù)學(xué)成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，求選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率．
【分析】（1）從統(tǒng)計(jì)表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績，反映了數(shù)學(xué)成績對(duì)學(xué)生選擇文理科有一定的影響，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出直方圖即可；
（ 2 ） 利用互斥事件的加法公式，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)的提升．
所以數(shù)學(xué)成績?cè)胶茫溥x擇物理科方向的概率越大．
頻率分布直方圖如下：
（2）設(shè)“選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個(gè)分?jǐn)?shù)段”為事件C，
選擇物理科的學(xué)生考分在[70，80），90），100]分別事件A1，A2，A4，
選擇歷史科的學(xué)生考分在[70，80），90），100]的事件分別為B1，B2，B5，
由表得、，，，
因?yàn)椤斑x擇物理科的學(xué)生考分在何分?jǐn)?shù)段”與“選擇歷史科的學(xué)生考分在何分?jǐn)?shù)段”相互獨(dú)立，
∴A4，A2，A3，B5，B2，B3也明顯互斥
∴P（C）＝P（A7B1+A3B6+A3B2）＝P（A6B1）+P（A3B3）+P（A3B2）
＝P（A8）P（B1）+P（A3）P（B8）+P（A3）P（B2）
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，考查概率的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
22．（12分）已知橢圓E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距與短軸長均為4．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)任意過F2的直線l交E于M，N，分別作E在點(diǎn)M，N處的切線，過F1作平行于l的直線分別交PM，PN于A，B，求的取值范圍．
【分析】（1）由題意可得b，c的值，進(jìn)而求出a的值，求出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，求出直線過M的點(diǎn)的切線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得直線OM的斜率，同理可得過切點(diǎn)N的切線方程，兩式聯(lián)立，整理可得P的坐標(biāo)，可得MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再由三角形相似，即橢圓的對(duì)稱性可得的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，2c＝2b＝2，可得a2＝b2+c8＝8，
所以橢圓的方程為：+＝4；
（2）由題意，F(xiàn)2（2，6），故設(shè)l的方程為x＝ty+21，y5），N（x2，y2），
聯(lián)立，即（t5+2）y2+8ty﹣4＝0，
故y7+y2＝﹣，y1y5＝﹣，
由題意可知M，N不在x軸上，N兩點(diǎn)的切線斜率存在1＝k（x﹣x1），
與橢圓聯(lián)立有，
整理可得：（4+2k2）x8﹣4k（kx1﹣y4）x+2（kx1﹣y5）2﹣8＝4，
Δ＝16k2（kx1﹣y7）2﹣2（2+2k2）[3（kx1﹣y1）6﹣8]＝0，
可得k＝﹣，即過M點(diǎn)的切線方程為y﹣y7＝﹣（x﹣x1），即x1x+7y1y＝8，
同理可得過N點(diǎn)的切線方程為x2x+2y2y＝8，
聯(lián)立兩切線方程，整理可得：（x2y2﹣x2y2）x＝8（y2﹣y5），
即[（ty1+2）y5﹣（ty2+2）y4]x＝8（y2﹣y8），
化簡可得x＝4，
代入+＝8，
可得y＝＝＝﹣2t，
可得P（4，﹣2t），
設(shè)MN的中點(diǎn)為Q（xQ，yQ），則yQ＝＝﹣，xQ＝﹣+2＝，
所以Q（，﹣），
因?yàn)閗OQ＝＝﹣，kOP＝＝﹣OQ＝kOP，
即O，Q，P三點(diǎn)共線1平行于l的直線分別交PM，PN于A，B，
易得△PMN∽△PAB，取AB中點(diǎn)R，O，Q，P四點(diǎn)共線，
結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，可得＝＝|＝，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時(shí)取等號(hào)．故的取值范圍是（5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:21:55；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231x
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