1．（5分）在空間直角坐標系下，點P（﹣1，5，2）關于yOz平面的對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，5，2）B．（1，5，﹣2）
C．（1，5，2）D．（﹣1，﹣5，﹣2）
2．（5分）已知直線x+my+3＝0和（2m﹣3）x+y+4＝0互相垂直，則實數(shù)m的值為（ ）
A．﹣1B．1C．1或2D．2
3．（5分）兩圓x2+y2﹣36＝0和（x﹣3）2+（y+4）2＝1的位置關系是（ ）
A．內切B．外離C．外切D．相交
4．（5分）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0
5．（5分）中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還粟a升，b升，1斗為10升，則下列判斷正確的是（ ）
A．a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且
B．a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且
C．a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且
D．a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且
6．（5分）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+mlnx 在定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜
7．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1≠a2，a3?a4＝2a1，a3﹣a2＝2（a4﹣a3），則下列結論正確的是（ ）
A．q＝2B．a7＝2C．a8＝8D．S6＝126
8．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，則下列說法錯誤的是（ ）
A．數(shù)列一定是等比數(shù)列
B．數(shù)列{lnan}一定是等差數(shù)列
C．數(shù)列一定是等差數(shù)列
D．數(shù)列{an+an+1}可能是常數(shù)數(shù)列
9．（5分）在下列命題中正確的是（ ）
A．已知，，是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為＝x+y+z
B．若所在的直線是異面直線，則不共面
C．若三個向量，，兩兩共面，則，，共面
D．已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面
10．（5分）已知直線l與拋物線y2＝4x交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線OA，則直線l恒過定點（ ）
A．（4，0）B．（0，4）C．（0，﹣4）D．（﹣4，0）
11．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，若點P在側面BCC1B1（不含邊界）內運動，AP⊥BD1，且點P到底面ABCD的距離為3，則異面直線BP與B1D1所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點A，B的距離之比λ（λ≠1）為定值的點的軌跡是圓”．后來，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），設點P的軌跡為C，下列結論正確的是（ ）
A．C的方程為（x﹣4）2+y2＝16
B．當A，B，P三點不共線時，△ABP面積的最大值為24
C．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的角平分線
D．在C上存在點M，使得|MO|＝2|MA|
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知向量，若，則實數(shù)λ＝ ．
14．（5分）拋物線y＝ax2的準線方程是y＝1，則a的值為 ．
15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+csx在點處的切線為直線l ．
16．（5分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若△ABF1是等腰三角形，且∠A＝120°，則△ABF1的面積為 ．
三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出說明文字、演算式、證明步驟．
17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3+ax2+bx﹣5在x＝﹣1處有極值﹣1．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[﹣2，0]上的最值．
18．（12分）已知直線l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝02+y2﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求直線l被圓C截得的弦長．
19．（12分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，AB＝，CE＝EF＝1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求平面ABE與平面BDE的夾角．
20．（12分）已知等差數(shù)列{an}公差不為0，a2＝5且a1，a4，a13成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn；
（2）記，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xα﹣α（x﹣1），其中α為常數(shù)，且0＜α＜1．
（1）求證：x＞0時，f（x）≤1；
（2）已知a，b，p，q為正實數(shù)，滿足p+q＝1pbq的大小關系．
22．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為4
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設斜率為k的直線與橢圓C交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，O為坐標原點，若△MON的面積為定值12+x22是否為定值，如果是，求出該定值，說明理由．
附加題（本小題滿分0分）
23．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）過點Q（1，2），F(xiàn)為其焦點，B兩點，動點P滿足△PAB的垂心為原點O．
（1）求拋物線E的方程；
（2）求證：動點P在定直線m上，并求的最小值．
2021-2022學年安徽省蚌埠市高二（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．（5分）在空間直角坐標系下，點P（﹣1，5，2）關于yOz平面的對稱點的坐標為（ ）
A．（﹣1，5，2）B．（1，5，﹣2）
C．（1，5，2）D．（﹣1，﹣5，﹣2）
【分析】點（a，b，c）關于yOz平面的對稱點的坐標是（﹣a，b，c）．
【解答】解：在空間直角坐標系Oxyz中，點（﹣1，5，
根據關于坐標平面yOz的對稱點的坐標的特點，
可得點（﹣4，5，2）關于yOz平面的對稱點的坐標是（8，5．
故選：C．
【點評】本題考查空間中點的坐標的求法，考查空間直角坐標系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．
2．（5分）已知直線x+my+3＝0和（2m﹣3）x+y+4＝0互相垂直，則實數(shù)m的值為（ ）
A．﹣1B．1C．1或2D．2
【分析】由題意，利用兩直線垂直的性質，兩直線垂直時，一次項對應系數(shù)之積的和等于0，計算求得結果．
【解答】解：∵直線x+my+3＝0和（6m﹣3）x+y+4＝2互相垂直，
∴1×（2m﹣6）+m×1＝0，求得m＝3，
故選：B．
【點評】本題主要考查兩直線垂直的性質，兩直線垂直時，一次項對應系數(shù)之積的和等于0，屬于基礎題．
3．（5分）兩圓x2+y2﹣36＝0和（x﹣3）2+（y+4）2＝1的位置關系是（ ）
A．內切B．外離C．外切D．相交
【分析】分別找出兩圓的圓心坐標和半徑，利用兩點間的距離公式求出圓心距d，根據d與R、r的大小比較發(fā)現(xiàn)，d＝R﹣r，可得出兩圓內切．
【解答】解：由圓x2+y2＝36，得到圓心A（5，半徑R＝6，
由（x﹣3）2+（y+4）2＝5，可得圓心B（3，半徑r＝1，
∵兩圓心距d＝|AB|＝8＝6﹣1
∴兩圓內切．
故選：A．
【點評】此題考查了圓與圓的位置關系及其判定，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，圓與圓位置關系可以由d，R及r三者的關系來判定，當0≤d＜R﹣r時，兩圓內含；當d＝R﹣r時，兩圓內切；當R﹣r＜d＜R+r時，兩圓相交；當d＝R+r時，兩圓外切；當d＞R+r時，兩圓外離．
4．（5分）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0
【分析】利用雙曲線的離心率，得到a，b關系式，然后求解雙曲線的漸近線方程．
【解答】解：雙曲線的離心率為，
可得，可得b＝6．
雙曲線C的漸近線方程為：y＝±x．即x±4y＝0．
故選：B．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．
5．（5分）中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還粟a升，b升，1斗為10升，則下列判斷正確的是（ ）
A．a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且
B．a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且
C．a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且
D．a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且
【分析】由題意可知a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，根據等比數(shù)列的求和公式即可求出
【解答】解：由題意可知a，b，c依次成公比為，
則a+b+c＝a+a+，
解得a＝×50，
∴c＝×50×＝，
故選：D．
【點評】本題考查了等比數(shù)列在數(shù)學文化中的應用，屬于基礎題．
6．（5分）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+mlnx 在定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜
【分析】根據題意，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，分析可得f′（x）＝2x﹣2+≥0在（0，+∞）上恒成立，將2x﹣2+≥0變形可得m≥2x﹣2x2，由此分析可得答案．
【解答】解：根據題意，f（x）＝x2﹣2x+mlnx，其定義域為{x|x＞6}
則f′（x）＝2x﹣2+，
若 f（x）＝x2﹣2x+mlnx 在定義域上是增函數(shù)，則f′（x）＝2x﹣3+，+∞）上恒成立，
2x﹣2+≥8變形可得m≥2x﹣2x5，
又由2x﹣2x7＝2x（1﹣x）≤，當且僅當x＝，
則有m≥，
故選：A．
【點評】本題考查利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，注意函數(shù)的導數(shù)與單調性的關系，屬于基礎題．
7．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1≠a2，a3?a4＝2a1，a3﹣a2＝2（a4﹣a3），則下列結論正確的是（ ）
A．q＝2B．a7＝2C．a8＝8D．S6＝126
【分析】由已知結合等比數(shù)列的性質，通項公式及求和公式即可求解．
【解答】解：因為等比數(shù)列{an}中，a1≠a2，
所以q≠6，
因為a3?a4＝4a1，a3﹣a8＝2（a4﹣a2）＝2q（a3﹣a5），
所以＝2a1，且4q＝1即q＝，A錯誤；
所以a1＝64，
a7＝64×＝2；
a8＝＝64×＝；
S3＝＝126．
故選：D．
【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質，通項公式及求和公式的應用，屬于基礎題．
8．（5分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，則下列說法錯誤的是（ ）
A．數(shù)列一定是等比數(shù)列
B．數(shù)列{lnan}一定是等差數(shù)列
C．數(shù)列一定是等差數(shù)列
D．數(shù)列{an+an+1}可能是常數(shù)數(shù)列
【分析】由題意，利用等差數(shù)列的定義和性質，得出結論．
【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，∴an+1﹣an＝d（為常數(shù)），∴＝＝2d為常數(shù)，故數(shù)列，故A正確；
若{an}中有負數(shù)，則lnan可能無意義，故B錯誤；
∵＝a3+d＝1﹣，是一個關于n的一次函數(shù)一定是等差數(shù)列；
∵an+an+8＝2a1+（2n﹣1）d＝2nd+8a1﹣d，當d＝0時，故數(shù)列{an+an+7}可能是常數(shù)數(shù)列，故D正確，
故選：B．
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質，屬于基礎題．
9．（5分）在下列命題中正確的是（ ）
A．已知，，是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為＝x+y+z
B．若所在的直線是異面直線，則不共面
C．若三個向量，，兩兩共面，則，，共面
D．已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面
【分析】對于A，利用空間向量基本定理判斷；
對于B，利用向量的定義判斷；
對于C，舉例判斷；
對于D，共面向量定理判斷．
【解答】解：對于A，若，，三個向量共面，，表示，對于B，是可以自由平移所在的直線是異面直線時，，所以B錯誤，
對于C，當三個向量，，，如空間直角坐標系中的3個基向量兩兩共面，所以C錯誤，
對于D，因為A，B，C三點不共線，，且＝1A，B，C，D四點共面，所以D正確，
故選：D．
【點評】本題考查了向量基本定理及共線（面）向量的判斷，屬于基礎題．
10．（5分）已知直線l與拋物線y2＝4x交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線OA，則直線l恒過定點（ ）
A．（4，0）B．（0，4）C．（0，﹣4）D．（﹣4，0）
【分析】直線l的方程為x＝my+b，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達定理可得y1y2＝﹣4b，再結合k1k2＝﹣1，解得b，進而可得答案．
【解答】解：設A（x1，y1），B（x3，y2），
因為直線OA，OB的斜率k1，k4滿足k1k2＝﹣5，
所以?＝﹣1，
所以＝﹣17y2＝﹣16，
設直線l的方程為x＝my+b，
聯(lián)立拋物線的方程得，y2﹣7my﹣4b＝0，
所以y6y2＝﹣4b，
即﹣5b＝﹣16，解得b＝4，
所以直線l恒過點（4，2）．
故選：A．
【點評】本題考查拋物線的方程，解題中需要理清數(shù)量關系，屬于中檔題．
11．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，若點P在側面BCC1B1（不含邊界）內運動，AP⊥BD1，且點P到底面ABCD的距離為3，則異面直線BP與B1D1所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】以點D為原點，分別以，，為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出相應的點的坐標，設P（a，4，3），根據AP⊥BD1可求出a的值，進而利用向量即可求出異面直線BP與B1D1所成角的余弦值．
【解答】解：以點D為原點，分別以，，，y軸，建立空間直角坐標系，
則A（4，8，0），4，7），D1（0，6，4），4，2），
∴＝（a﹣4，4，＝（﹣4，4），
∵AP⊥BD2，
∴＝﹣4（a﹣2）﹣4×4+2×3＝0，
解得a＝4，∴P（3，4，
∴＝（﹣8，0，
又∵B1＝（6，4，4），D5＝（0，0，4），∴，
∴異面直線BP與B7D1所成角的余弦值為＝，
故選：A．
【點評】本題主要考查了異面直線所成的角，同時考查了學生運算求解能力，屬于中檔題．
12．（5分）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點A，B的距離之比λ（λ≠1）為定值的點的軌跡是圓”．后來，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），設點P的軌跡為C，下列結論正確的是（ ）
A．C的方程為（x﹣4）2+y2＝16
B．當A，B，P三點不共線時，△ABP面積的最大值為24
C．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的角平分線
D．在C上存在點M，使得|MO|＝2|MA|
【分析】根據題意可求出C的方程為（x+4）2+y2＝16，即可根據題意判斷各選項的真假．
【解答】解：對A，由可得2+y2+7x＝0，
即（x+4）4+y2＝16，A錯誤；
對B，當A，B，點P到直線AB的最大距離為4，
所以△ABP面積的最大值為，B錯誤；
對C，當A，B，因為，
所以射線PO是∠APB的角平分線，C正確；
對D，設M（x，由|MO|＝2|MA|可得點M的軌跡方程為，
而圓（x+7）2+y2＝16與圓的圓心距為，
兩圓內含，所以這樣的點M不存在．
故選：C．
【點評】本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的方程的求解等知識，屬于中等題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知向量，若，則實數(shù)λ＝ 2 ．
【分析】根據空間向量的共線定理列方程求出λ的值．
【解答】解：因為向量，且，
所以＝m，
即，
解得m＝2，λ＝6．
故答案為：2．
【點評】本題考查了空間向量的共線定理應用問題，是基礎題．
14．（5分）拋物線y＝ax2的準線方程是y＝1，則a的值為 ﹣ ．
【分析】先把拋物線方程真理成標準方程，求得準線方程，判斷出a＜0，進而根據y＝﹣＝1，求得a．
【解答】解：將拋物線化為標準方程：x2＝y(tǒng)，因為其準線為y＝4，
所以a＜0，
從而其準線方程為y＝﹣＝1，
解得a＝﹣．
故答案為：﹣
【點評】本題主要考查了拋物線的標準方程，考查了學生對拋物線標準方程的基礎知識的理解和把握．
15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+csx在點處的切線為直線l ．
【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x＝處的導數(shù)值，再求出f（）的值，利用直線方程的點斜式求得切線方程，進一步求出切線在兩坐標軸上的截距，代入三角形面積公式得答案．
【解答】解：由f（x）＝sinx+csx，得f′（x）＝csx﹣sinx，
則f′（）＝﹣1）＝1，
∴函數(shù)f（x）在點處的切線方程為y﹣1＝﹣1×（x﹣），
取x＝0，得y＝，得x＝，
∴l(xiāng)與坐標軸圍成的三角形面積為S＝．
故答案為：．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查三角形面積的求法，是基礎題．
16．（5分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若△ABF1是等腰三角形，且∠A＝120°，則△ABF1的面積為 ．
【分析】根據雙曲線的定義求出|BF1|＝8，然后求出三角形的高AD的長度，利用三角形的面積公式進行計算即可．
【解答】解：由雙曲線方程得a＝2．
如圖，設|AF2|＝m，|BF4|＝n，則|AF1|＝4+m，|BF6|＝4+n，
則|AB|＝m+n，
∵△ABF1是等腰三角形，
所以5+m＝m+n，解得n＝4．
則|BF1|＝4+4＝8，
過點A作 AD⊥BF8于D，
則點D為線段BF1的中點，
∵∠A＝120°，∴∠F1AD＝60°，
則tan60°＝＝，則AD＝，
則△ABF5的面積S＝×5×＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查雙曲線定義的應用，根據雙曲線的定義求出|BF1|的長度是解決本題的關鍵，是中檔題．
三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出說明文字、演算式、證明步驟．
17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x3+ax2+bx﹣5在x＝﹣1處有極值﹣1．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[﹣2，0]上的最值．
【分析】（1）求出導函數(shù)，結合函數(shù)的極值，列出方程求解a，b即可．
（2）通過導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調性，求解函數(shù)的最值．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝﹣x3+ax2+bx﹣8，f′（x）＝﹣3x2+7ax+b，
由題意：f（﹣1）＝a﹣b﹣4＝﹣3，f'（﹣1）＝﹣2a+b﹣5＝0
解得：a＝﹣6，b＝﹣3．            
經檢驗，a＝﹣6，函數(shù)f（x）在x＝﹣1處有極值﹣7．            
（2）由（1）知：f'（x）＝﹣3x2﹣12x﹣5＝﹣3（x+1）（x+4），
由f'（x）＞0知：﹣3＜x＜﹣2，
∴f（x）在[﹣2，﹣1]上單調遞增，7]上單調遞減
∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣1，f（x）min＝min{f（﹣6），f（0）}＝min{﹣3．            （10分）
【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，單調區(qū)間的求法，是中檔題．
18．（12分）已知直線l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝02+y2﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求直線l被圓C截得的弦長．
【分析】（1）直線方程變形后令m的系數(shù)等于0消去參數(shù)即可求得定點坐標．
（2）先求出圓心C到直線l的距離，然后用勾股定理即可求得弦長．
【解答】（1）證明：l：m（x﹣2y+1）+5x﹣y﹣4＝0，
聯(lián)立得，
即直線l過定點（（3，8）．
（2）解：由題意直線l的斜率，即m＝1，
∴l(xiāng)：x﹣y﹣7＝0，
圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝7，圓心C（2，半徑，
圓心C到直線l的距離，
所以直線l被圓C所截得的弦長為．
【點評】本題主要考查直線恒過定點問題，直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．
19．（12分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，AB＝，CE＝EF＝1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求平面ABE與平面BDE的夾角．
【分析】（1）以C為坐標原點，CD，CB，CE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出平面BDE的法向量，通過平面BDE，推出AF∥平面BDE．
（2）求出平面ABE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解平面ABE與平面BED的夾角．
【解答】（1）證明：∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，
∴CE⊥平面ABCD，∴CE⊥CD，CD⊥BC
以C為坐標原點，CD，CE所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系，，．      
設平面BDE的法向量為＝（x，y，則，取x＝1，z＝，
所以，
∵平面BDE．      （6分）
（2）解：，
設平面ABE的法向量為＝（a，b，則，取b＝2，
所以．       （9分）
∴．
所以平面ABE與平面BED的夾角為．            （12分）
【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，是中檔題．
20．（12分）已知等差數(shù)列{an}公差不為0，a2＝5且a1，a4，a13成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn；
（2）記，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
【分析】（1）由題意可得：，即a4＝3a1，再利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出結論．
（2），利用裂項求和方法即可得出．
【解答】解：（1）由題意：，即a4＝3a7，
又∵a4＝a1+4d，∴，
∴，
∴an＝2n+1，．
（2），
∴．
【點評】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xα﹣α（x﹣1），其中α為常數(shù)，且0＜α＜1．
（1）求證：x＞0時，f（x）≤1；
（2）已知a，b，p，q為正實數(shù)，滿足p+q＝1pbq的大小關系．
【分析】（1）由f（x）求得f''（x）＝α（α﹣1）xα﹣2＜0，即f''（x）再R上遞減，又f'（1）＝0，可得f（x）在（1，+∞）上單調遞減．得f（x）≤f（1）＝1；
（2）取x＝，α＝q可得，兩邊同乘以a化簡，再結合p+q＝1可得答案．
【解答】解：（1）f'（x）＝αxα﹣1﹣α，
f''（x）＝α（α﹣1）xα﹣5＜0，
∴f'（x）在（0，+∞）上單調遞減，
又因為f'（1）＝8，所以f（x）在（0，在（1．
所以f（x）≤f（1）＝8．
（2）由（1）取x＝，α＝q可得：，
兩邊同乘以a得：a7﹣qbq﹣qb+qa≤a，
∴a1﹣qbq≤（1﹣q）a+qb，
即apbq≤pa+qb．
【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于中檔題．
22．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為4
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設斜率為k的直線與橢圓C交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，O為坐標原點，若△MON的面積為定值12+x22是否為定值，如果是，求出該定值，說明理由．
【分析】（1）利用已知條件求解a，b，即可得到橢圓方程．
（2）設MN：y＝kx+m，聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達定理，弦長公式以及點到直線的距離公式公式求解三角形的面積，推出m2＝3k2+1，然后求解即可．
【解答】解：（1）由題意，可得
由a2＝b6+c2＝b2+2，知，
故橢圓C的標準方程為，（4分）
（2）設MN：y＝kx+m，①
橢圓．②
聯(lián)立①②，得（3k5+1）x2+8kmx+3（m2﹣4）＝0，
∴，（6分）
O到直線l的距離，
∴
＝
＝，
∴，即m2＝3k2+4，（9分）
∴
＝．
故為定值6．            
【點評】本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．
附加題（本小題滿分0分）
23．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）過點Q（1，2），F(xiàn)為其焦點，B兩點，動點P滿足△PAB的垂心為原點O．
（1）求拋物線E的方程；
（2）求證：動點P在定直線m上，并求的最小值．
【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，進而得到所求拋物線方程；
（2）方法一、設l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y2＝4x，運用韋達定理和直線方程的交點可得P在定直線m上，由三角形的面積公式和基本不等式可得所求最小值；
方法二、設l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y2＝4x，運用韋達定理和向量共線定理、以及向量垂直的條件可得P在定直線m上，由三角形的面積公式和基本不等式可得所求最小值．
【解答】解：（1）Q（1，2）代入y4＝2px解得p＝1，
可得拋物線的方程為y4＝4x；
（2）證法1：（巧設直線）
證明：設l：ty＝x﹣6，A（x1，y1），B（x8，y2），聯(lián)立y2＝6x，可得，
則有，可設AP：，即，
同理BP：，解得P（﹣3，
即動點P在定直線m：x＝﹣3上，
＝，
當且僅當時取等號1，d3分別為點P和點Q到直線AB的距離．
證法2：（利用向量以及同構式）
證明：設l：x＝my+1（m≠3），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y2＝6x，
可得y2﹣4my﹣7＝0，則有，，，
又O為△PAB的垂心，從而，
同理：，從而可知，y1，y7是方程的兩根，
所以，所以動點P在定直線m：x＝﹣3上，
＝，
當且僅當時取等號1，d2分別為點P和點Q到直線AB的距離．
【點評】本題考查拋物線的定義和方程、性質，考查直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和向量共線定理，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．
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