選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)補集的概念進行計算.
【詳解】，， ．
故選：C．
2. 已知冪函數(shù)，則“”是“此冪函數(shù)圖象過點”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)圖象性質(zhì)解決即可.
【詳解】由題知，冪函數(shù)，
根據(jù)冪函數(shù)圖象性質(zhì)特點知，冪函數(shù)圖象恒過點，
所以
當時，冪函數(shù)圖象過點，說明有充分性；
冪函數(shù)圖象過點時，，也可以，說明無必要性；
故選：A
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)換底公式和對數(shù)運算法則即可得出之間的關(guān)系式.
【詳解】由可得，，即，
由得，，
根據(jù)對數(shù)運算法則可知，
即.
故選：D
4. 設(shè)扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則根據(jù)周長及面積聯(lián)立方程可求出，再根據(jù)即可求出.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為,
則，解得，
所以 , 故選B.
【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，弧度角的定義，屬于中檔題.
5. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，奇偶性，，即可解決.
【詳解】由題知，，
所以，解得定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，
所以為奇函數(shù)，故D錯誤；
又，故C錯誤；
又，故B錯誤；
故選：A
6. 已知函數(shù)，其中，若，使得關(guān)于x的不等式成立，則正實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出分段函數(shù)，若，使得關(guān)于x的不等式成立，則在上的最小值，即，即可分類求解得出答案.
【詳解】由題意可知，
若，使得關(guān)于x的不等式成立，
則在上的最小值，
，
為正實數(shù)，
則當時，，解得；
當時，，解得，
綜上，正實數(shù)a的取值范圍為或，
故選：B.
7. 已知，若對任意的，，都有（），則實數(shù)b的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡不等式可得對任意的，都成立，分析的范圍即可得解.
【詳解】由可知，，
即對任意的，都成立，
而，
所以，
故選：C
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過三角函數(shù)恒等變換化簡，考慮證明當時，，并利用三角函數(shù)線完成證明，由此確定的大小.
【詳解】因為，，，
所以，
，
在平面直角坐標系中以原點為頂點，軸的正半軸為始邊作角，，
設(shè)角和單位圓的交點為,過點作垂直與軸，垂足為，過點
作單位圓的切線與的終邊交于點, 則，，設(shè)劣弧
的弧長為，則，因為，所以，
因為，所以，，
又，，
所以，，
所以，故，
故選：A.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 已知，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】舉反例可判斷；利用作差法判斷C；討論的符號，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷D.
【詳解】對于A，若取，滿足，但，故A錯誤；
對于B, 取，滿足，但，B錯誤；
對于C，，
當時，，故，C正確；
對于D，若，則，即；
若，則，即，
若，則，綜合可得時，，D正確，
故選：
10. 已知函數(shù)對任意實數(shù)t都有，記，則（ ）
A. B. 圖象可由圖象向左平移個單位長度得到
C. D. 在上單調(diào)遞減
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)一條對稱軸，據(jù)此求出解析式，再由正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD，由圖象平移判斷D求解即可.
【詳解】由可知，為函數(shù)的一條對稱軸，
所以，即，
又，故時，所以，
對A，，成立，故A正確；
對B，，
圖象向左平移個單位長度得到圖象，即圖象，故B正確；
對C，，故C正確；
對D，當時，，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.
故選：ABC
11. 已知正實數(shù)x，y滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，運用基本不等式得，得，求解即可判斷；對于B，由題得，根據(jù)乘“1”法，結(jié)合基本不等式即可判斷；對于C，由題得，得，結(jié)合基本不等式即可判斷；對于D，由選項A得，
又即可判斷.
【詳解】由題知，正實數(shù)滿足，
所以，
對于A，因為，
所以，
所以，即，故A正確；
對于B，，
當且僅當且，即時取等號，故B錯誤；
對于C，因為，
所以，
所以
所以，
當且僅當，且，即時取等號，故C錯誤；
對于D，由選項A得，
所以
，
當且僅當，且，即時取等號，故D正確；
故選：AD
12. 已知為非常值函數(shù)，若對任意實數(shù)x，y均有，且當時，，則下列說法正確的有（ ）
A. 為奇函數(shù)B. 是上增函數(shù)
C. D. 是周期函數(shù)
【答案】ABC
【解析】
【分析】令，代入，即可得到再由，分別應(yīng)用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，值域和周期性判斷A,B,C,D選項即可
【詳解】對于A:由題意，令， ,解得：或
當時，令，則恒成立，又已知為非常值函數(shù)故舍去，
當時，令，則恒成立，又已知為非常值函數(shù)故舍去，
∴，令，則，所以，即，
所以為奇函數(shù)，故A正確；
對于C：令，，因為
若,則,又為非常值函數(shù)故舍去，
所以，所以所以,故C正確:
對于B: 設(shè)任意的且
令所以，又因為為奇函數(shù)，
所以，
又因為當時，，所以，，,
即，所以是上的增函數(shù),故B正確;
對于D:因為是上的增函數(shù),又因為為奇函數(shù)且,
所以是上的增函數(shù),故不是周期函數(shù),故D錯誤.
故選:ABC.
非選擇題部分
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知角頂點在原點，以x軸非負半軸為始邊，若角的終邊經(jīng)過點，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可計算出角的余弦值，再利用誘導公式可得結(jié)果.
【詳解】由三角函數(shù)定義可知，，
所以.
故答案為：
14. 黑嘴鷗被世界自然保護聯(lián)盟列為易危物種，全球數(shù)量只有2萬只左右.據(jù)溫州網(wǎng)2022年11月26日的報道，今年越冬候鳥黑嘴鷗已到達溫州灣，人們可以在密集的蘆葦叢中進行觀賞.研究發(fā)現(xiàn)黑嘴鷗的飛行速度（單位：m/s）可以表示為函數(shù)，其中x表示黑嘴鷗每秒耗氧量的單位數(shù).已知黑嘴鷗在飛往溫州灣的過程中，最低飛行速度為10m/s，最高飛行速度為30m/s，則黑嘴鷗每秒耗氧量的單位數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)值去求自變量的值即可解決.
【詳解】由題知，黑嘴鷗的飛行速度（單位：m/s）可以表示為函數(shù)，
其中x表示黑嘴鷗每秒耗氧量的單位數(shù)，
當時，得，得，
當時，得，得，
所以黑嘴鷗每秒耗氧量的單位數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
15. 若，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角差的余弦公式將等式整理成，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可寫出，根據(jù)三角恒等變換化簡即可求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
，將等式兩邊同時除以可得，
，所以；
所以.
故答案為：
16. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在（）內(nèi)恰有7個實數(shù)根，則_________.
【答案】4
【解析】
【分析】先畫出函數(shù)圖像，再結(jié)合韋達定理，根據(jù)圖像分析出的值即可算出答案.
【詳解】因為當時，，
所以，
所以當時，是周期為4的周期函數(shù)，
當時，
所以的圖像如圖所示，
若關(guān)于x的方程在（）內(nèi)恰有7個實數(shù)根，
令，則在（）有2個根滿足，
結(jié)合圖像可得，符合題意，
所以，.
故答案為：4
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分式不等式及一元二次不等式的解法化簡集合，再由交集運算求解；
（2）由并集運算結(jié)果可知，據(jù)此分類討論求解.
【小問1詳解】
由，即，解得，即；
當時，由得，故，
所以.
【小問2詳解】
因為，所以，
若，得；
若，有，得，
綜上，故.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由兩角和正切公式求出，可對角分類討論由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再由余弦二倍角公式得解，或先由余弦二倍角公式化簡為關(guān)于正切的形式求解；
（2）根據(jù)（1）中解法一求出，直接計算即可，或由二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系直接化切求解.
【小問1詳解】
解法一：由已知得，則，若為第一象限角，則，
若為第三象限角，則，
故.
解法二：由已知得，則，則.
【小問2詳解】
解法一：由（1）知，則，，故.
解法二：由已知得，則.
19. 已知函數(shù)（）.
（1）若函數(shù)的周期是，求的值；
（2）若函數(shù)在上的值域為，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再由周期公式求解；
（2）求出的范圍，由函數(shù)值域及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，即可得解.
【小問1詳解】
，則由得.
【小問2詳解】
由（1）知，
由函數(shù)在上值域為可得在上的值域為，
當時，，則，
故，可得.
20. 車流密度是指在單位長度（通常為1km）路段上，一個車道或一個方向上某一瞬時的車輛數(shù)，用以表示在一條道路上車輛的密集程度在理想的道路和交通條件下，某城市普通道路的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù).研究表明：該城市普通道路車流密度達到160輛/千米時，會造成堵車，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過60輛/千米時，車流的速度為60千米/小時；當時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
（1）當時，求車流速度函數(shù)的表達式；
（2）求該城市普通道路的最大通行能力（通行能力=車流速度×車流密度），并結(jié)合生活實際給出該道路合理限速建議.
【答案】（1）
（2）3840輛/小時，合理限速50千米/小時
【解析】
【分析】(1)由條件結(jié)合待定系數(shù)法分段求出函數(shù)的解析式；
(2)由(1)求通行能力的函數(shù)解析式，再求其最大值，根據(jù)所得數(shù)據(jù)提出限速建議.
【小問1詳解】
當時，設(shè)，
由已知當車流密度為60輛/千米時，車流的速度為60千米/小時；
車流密度達到160輛/千米時，車流速度為0千米/小時；
所以，解得，
又當車流密度小于60輛/千米時，車流的速度為60千米/小時；
所以當時，，
所以.
【小問2詳解】
設(shè)速度為(千米/小時)時的通行能力為（輛/小時），則
當時，通行能力輛/小時；
當時，通行能力，
當時，道路通行能力最大值為3840輛/小時；
此時車速千米/小時，因此，應(yīng)給該道路合理限速50千米/小時.
21. 已知函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求出a的值，并寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在使得不等式成立，求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】（1）；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義列出方程，根據(jù)方程恒成立求，由對勾函數(shù)性質(zhì)寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡不等式換元后轉(zhuǎn)化為，，分別考慮二次不等式有解轉(zhuǎn)化為或分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為，利用，也可轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值即可.
【小問1詳解】
因為，所以，
由偶函數(shù)知，解得；
即，由對勾函數(shù)知，
當時，即時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，即時函數(shù)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
由題意可得，即，
令，；
解一：，則在上有解，即.
若，即，此時，解得，∴；
若，即，此時，解得，此時無解；
綜上，；
解二：由得，令，則.
，所以.
解三：由得，令，則，
，所以.
22. 已知函數(shù)（）.
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）若函數(shù)存在兩個不同的零點與，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可知，對自變量進行分類討論，將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式利用函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)的最小值；（2）對參數(shù)的取值進行分類討論，利用韋達定理寫出關(guān)于的表達式，再利用換元法構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得其取值范圍.
【小問1詳解】
解法一：若時，求函數(shù)，
當時，，.
當時，，.
故.
解法二：若時，求函數(shù)；
畫出和的圖像如下圖所示：
易得.
小問2詳解】
解法一：若，，因為存在兩個不同的零點與，所以，得，此時，；
若，，
當時，即時，得，，
有，
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，，則；
當，即時，有，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，無零點；
當時，只有一個零點；
故.
解法二：令，等價于存在兩個不同的零點與，
當時，，因為存在兩個不同的零點與，
所以，得，此時；
當時，
當，即時，得，，
有，
所以；
當，即時，有，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，無零點；
當時，只有一個零點；
故.
【點睛】方法點睛：求解二次函數(shù)零點問題時，一般將零點問題轉(zhuǎn)化成二次方程根的問題，利用韋達定理寫出兩根之間的關(guān)系式進而求得某表達式的取值范圍.

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