(新高考)高考數(shù)學一輪復習學案+分層提升8.4《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系》(2份打包，原卷版+教師版)

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知識梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)
2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?xM＋xN?2－4xMxN).
常用結(jié)論
1．圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠﹣1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若直線平分圓的周長，則直線一定過圓心．( )
(2)若兩圓相切，則有且只有一條公切線．( )
(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．( )
(4)在圓中最長的弦是直徑．( )
教材改編題
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為( )
A．相切B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心D．相離
2．過點(0,1)且傾斜角為eq \f(π,3)的直線l交圓x2＋y2﹣6y＝0于A，B兩點，則弦AB的長為( )
A.eq \r(10) B．2eq \r(10)
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
3．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________.
題型一 直線與圓的位置關(guān)系
命題點1 位置關(guān)系的判斷
例1 直線kx﹣y＋2﹣k＝0與圓x2＋y2﹣2x﹣8＝0的位置關(guān)系為( )
A．相交、相切或相離
B．相交或相切
C．相交
D．相切
思維升華 判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
命題點2 弦長問題
例2 (1)(多選)直線y＝kx﹣1與圓C：(x＋3)2＋(y﹣3)2＝36相交于A，B兩點，則AB的長度可能為( )
A．6 B．8 C．12 D．16
(2)設(shè)圓x2＋y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq \r(3)，則直線l的方程為( )
A．3x＋4y﹣12＝0或4x﹣3y＋9＝0
B．3x＋4y﹣12＝0或x＝0
C．4x﹣3y＋9＝0或x＝0
D．3x﹣4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
思維升華 弦長的兩種求法
(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長．
(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq \r(r2－d2).
命題點3 切線問題
例3 已知直線l：x＋ay﹣1＝0是圓C：x2＋y2﹣6x﹣2y＋1＝0的對稱軸，過點A(﹣1，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
思維升華 當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法
(1)幾何法：設(shè)切線方程為y﹣y0＝k(x﹣x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.
(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y﹣y0＝k(x﹣x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.
注意驗證斜率不存在的情況．
命題點4 直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問題
例4 在平面直角坐標系Oxy中，已知圓C：(x﹣2)2＋y2＝4，點A是直線x﹣y＋2＝0上的一個動點，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點，則線段PQ的長的取值范圍為________．
教師備選
1．(多選)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k∈R)與圓C：x2＋y2＝5，則下列結(jié)論正確的為( )
A．l與C可能相離
B．l不可能將C的周長平分
C．當k＝1時，l被C截得的弦長為eq \f(3\r(2),2)
D．l被C截得的最短弦長為4
2．過點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))的直線l與圓C：(x﹣1)2＋y2＝4交于A，B兩點，當∠ACB最小時，此時直線l的方程為________，∠ACB＝________.
思維升華 涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(或最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．
跟蹤訓練1 (1)(多選)已知直線l：ax＋by﹣r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是( )
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切
B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離
D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
(2)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋m，當k變化時，l截得圓C弦長的最小值為2，則m等于( )
A．±2 B．±eq \r(2) C．±eq \r(3) D．±eq \r(5)
(3)由直線y＝x＋1上的一點向圓(x﹣3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________．
題型二 圓與圓的位置關(guān)系
例5 (1)若圓C1：(x﹣1)2＋(y﹣a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
(2)圓C1：x2＋y2﹣2x＋10y﹣24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y﹣8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．
教師備選
已知兩圓x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和x2＋y2﹣10x﹣12y＋m＝0.求：
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)當m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
思維升華 (1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
跟蹤訓練2 (1)已知圓M：x2＋y2﹣2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq \r(2)，則圓M與圓N：(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離
(2)已知圓C1：x2＋y2＋4x﹣2y﹣4＝0，圓C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，則這兩圓的公共弦長為( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
公元前3世紀，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(Apllnius)在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：
到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓．如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|＝λ|PB|.
則λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ>0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．
證明：設(shè)|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A(﹣m，0)，B(m，0)．
又設(shè)P(x，y)，則由|PA|＝λ|PB|得eq \r(?x＋m?2＋y2)＝λeq \r(?x－m?2＋y2)，
兩邊平方并化簡整理得(λ2﹣1)x2﹣2m(λ2＋1)x＋(λ2﹣1)y2＝m2(1﹣λ2)．
當λ＝1時，x＝0，軌跡為線段AB的垂直平分線；
當λ>0且λ≠1時，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq \f(4λ2m2,?λ2－1?2)，軌跡為以點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))為圓心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2λm,λ2－1)))為半徑的圓．
例1 (1)已知平面直角坐標系中，A(﹣2,0)，B(2,0)，則滿足|PA|＝2|PB|的點P的軌跡的圓心坐標為________．
(2)已知圓O：x2＋y2＝1和點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，若定點B(b，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b≠－\f(1,2)))和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|＝λ|MA|，則λ＝________，△MAB面積的最大值為________．
例2 如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x﹣4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
(1)若圓心C也在直線y＝x﹣1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．
課時精練
1．圓C1：(x＋1)2＋(y﹣2)2＝4與圓C2：(x﹣3)2＋(y﹣2)2＝4的公切線的條數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．過點P(2,4)作圓(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1的切線，則切線方程為( )
A．3x＋4y﹣4＝0B．4x﹣3y＋4＝0
C．x＝2或4x﹣3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y﹣4＝0
3．若圓C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直線3x＋4y＋4＝0截得的弦長為6，則m等于( )
A．26 B．31 C．39 D．43
4．若直線x＋ay﹣a﹣1＝0與圓C：(x﹣2)2＋y2＝4交于A，B兩點，當|AB|最小時，劣弧AB的長為( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．3π
5．已知直線l：3x＋my＋3＝0，曲線C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，則下列說法正確的是( )
A．“m>1”是曲線C表示圓的充要條件
B．當m＝3eq \r(3)時，直線l與曲線C表示的圓相交所得的弦長為1
C．“m＝﹣3”是直線l與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件
D．當m＝﹣2時，曲線C與圓x2＋y2＝1有兩個公共點
6．(多選)已知圓O1：x2＋y2﹣2x﹣3＝0和圓O2：x2＋y2﹣2y﹣1＝0的交點為A，B，則( )
A．圓O1和圓O2有兩條公切線
B．直線AB的方程為x﹣y＋1＝0
C．圓O2上存在兩點P和Q使得|PQ|>|AB|
D．圓O1上的點到直線AB的最大距離為2＋eq \r(2)
7．若斜率為eq \r(3)的直線與y軸交于點A，與圓x2＋(y﹣1)2＝1相切于點B，則|AB|＝________.
8．若A為圓C1：x2＋y2＝1上的動點，B為圓C2：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4上的動點，則線段AB長度的最大值是________．
9．已知圓C：x2＋y2﹣8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0.
(1)當a為何值時，直線l與圓C相切；
(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq \r(2)時，求直線l的方程．
10．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2﹣8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．
11．如果圓C：(x﹣a)2＋(y﹣a)2＝8上總存在兩個點到原點的距離均為eq \r(2)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(﹣3，﹣1)∪(1,3) B．(﹣3,3)
C．[﹣1,1] D．(﹣3，﹣1]∪[1,3)
12．已知圓C：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝9上存在四個點到直線l：x﹣y＋b＝0的距離等于2，則實數(shù)b的取值范圍是( )
A．(﹣∞，1﹣5eq \r(2))∪(1＋5eq \r(2)，＋∞)
B．(1﹣5eq \r(2)，1＋5eq \r(2))
C．(﹣∞，1﹣eq \r(2))∪(1＋eq \r(2)，＋∞)
D．(1﹣eq \r(2)，1＋eq \r(2))
13．已知點P在直線x＋y＝4上，過點P作圓O：x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則點M(3,2)到直線AB距離的最大值為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
14．(多選)已知點P在圓(x﹣5)2＋(y﹣5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則( )
A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2
C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq \r(2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq \r(2)
15.(多選)如圖，A(2,0)，B(1,1)，C(﹣1,1)，D(﹣2,0)， SKIPIF 1 < 0 是以O(shè)D為直徑的圓上一段圓弧， SKIPIF 1 < 0 是以BC為直徑的圓上一段圓弧， SKIPIF 1 < 0 是以O(shè)A為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線W，則下列說法正確的是( )
A．曲線W與x軸圍成的面積等于2π
B．曲線W上有5個整點(橫縱坐標均為整數(shù)的點)
C. SKIPIF 1 < 0 所在圓的方程為x2＋(y﹣1)2＝1
D. SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的公切線方程為x＋y＝eq \r(2)＋1
16．規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，球A是指該球的球心點A.兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，解決下列問題：
圖1
圖2
(1)如圖1，設(shè)母球A的位置為(0,0)，目標球B的位置為(4,0)，要使目標球B向C(8，﹣4)處運動，求母球A的球心運動的直線方程；
(2)如圖2，若母球A的位置為(0，﹣2)，目標球B的位置為(4,0)，讓母球A擊打目標球B后，能否使目標球B向C(8，﹣4)處運動？
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點
Δ0
幾何觀點
d>r
d＝r
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1﹣r2|