一、單選題
1．的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意.
故選：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】結(jié)合正切函數(shù)的知識(shí)來判斷充分、必要條件.
【詳解】，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】.
故選：A
4．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解可得，即可.
【詳解】因?yàn)椋?，即，即?br>因?yàn)?，故?
故.
故選：C
5．函數(shù)在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01，則對(duì)區(qū)間至少二等分（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【分析】根據(jù)以及二分法，確定至少需要的二等分的次數(shù).
【詳解】區(qū)間的長度為，第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椋?br>第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?；第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确?，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确?，區(qū)間長度變?yōu)椋坏诖味确郑瑓^(qū)間長度變?yōu)椋?br>第次二等分，區(qū)間長度變?yōu)?
所以要使零點(diǎn)的近似值滿足精確度為0.01，則對(duì)區(qū)間至少二等分次.
故選：C
6．在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先由誘導(dǎo)公式可得，，再由三角函數(shù)的定義可求解答案.
【詳解】，
，
即，所以，
則.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.
7．已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩條對(duì)稱軸，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到，從而得到，再解不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有兩條對(duì)稱軸，
所以，解得.
故選：B
8．函數(shù)， ，若有兩個(gè)不等實(shí)根，則m范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為直線與兩端函數(shù)各有一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】由函數(shù)，則 ，
若有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
此時(shí)函數(shù)與的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
此時(shí)函數(shù)與的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，
所以要使函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線與兩端函數(shù)各有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，解得，
所以取值范圍是．
故選：C．
二、多選題
9．下列說法正確的是（ ）
A．若，則與是終邊相同的角
B．若角的終邊過點(diǎn)，則
C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度
D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限
【答案】CD
【分析】舉反例判斷A；由三角函數(shù)的定義判斷B；由弧長公式判斷C；由與同號(hào)判斷D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，但終邊不同，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由，得，故C正確；
對(duì)于D：，即與同號(hào)，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；
故選：CD
10．已知，且 ，則( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系運(yùn)算即可得到.
【詳解】由，
則，
即，故B正確；
又，
所以，，
故為第二象限角，
則，
，
則，故D正確,C錯(cuò)誤；
又，
即有，，
又，故，故A正確.
故選：ABD.
11．已知函數(shù) 則下列結(jié)論正確的是( )
A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)為增函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】通過解析式求出函數(shù)的值域判斷A；定義法求函數(shù)單調(diào)性判斷B；由判斷C；數(shù)形結(jié)合示函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D．
【詳解】由，得，則，所以，故A正確；
函數(shù)定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，則，即，
所以函數(shù)為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；
函數(shù)為減函數(shù)，值域?yàn)榍?，作出函?shù)和的圖象，如圖所示，
由圖象可知，函數(shù)和的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確；
故選：ACD
12．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等的實(shí)根,且 則下列結(jié)論正確的是( )
A．B．C．D．取值范圍為
【答案】AB
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)作出的圖像，結(jié)合圖像對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得解.
【詳解】如圖，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，易得單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)易得單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)的圖像可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
選項(xiàng)A：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不等的實(shí)根，所以與的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，所以，故A正確；
選項(xiàng)B：結(jié)合圖像可得，所以，故B正確；
選項(xiàng)C：由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖像可知與關(guān)于對(duì)稱，所以，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，令，得，所以，
又由圖像可知同增減，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AB．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷有以下方法:
（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；
（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；
（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
三、填空題
13．在內(nèi)，使成立的x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出在內(nèi)的函數(shù)圖像，由圖求出不等式的解集
【詳解】解：在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出在內(nèi)的函數(shù)圖像，如圖所示，
則使成立的x的取值范圍是，
故答案為：
14．若有一扇形的周長為60cm，那么當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，圓心角的弧度數(shù)為 弧度.
【答案】2
【分析】直接利用扇形的周長公式和面積公式及基本不等式求出結(jié)果．
【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長為，由扇形的周長為60cm ，所以，
故扇形的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故圓心角的弧度數(shù)為．
故答案為：2．
15．函數(shù)的最大值為
【答案】
【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可以求出函數(shù)的最大值.
【詳解】，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
16．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】畫出圖象，換元后得到方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，
令，則當(dāng)，方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則方程化為，
使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令
所以,
解得:，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
故答案為
【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，要先畫出函數(shù)圖象，然后適當(dāng)運(yùn)用換元法，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或其他函數(shù)根的分布情況，從而求出參數(shù)的取值范圍或判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù).
四、計(jì)算題
17．已知
(1)化簡；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；
（2）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
所以.
（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
五、解答題
18．已知函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件中的兩個(gè)：
①函數(shù)的最大值為2；②函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)求出的解析式；
(2)求方程在區(qū)間上所有解的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)條件得到，，得到函數(shù)解析式；
（2）令，結(jié)合，得到或，求出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，函?shù)的最大值為2，
所以，
又函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，
所以，解得，
故；
（2）由（1）可知，，即，
因?yàn)椋裕?br>故或，
解得或，
則方程在區(qū)間上所有解的和為.
19．已知的最小正周期為π.
(1)求ω的值；
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)求在區(qū)間上的最大值.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間，
(3)2
【分析】（1）由周期公式，即可求參數(shù)值；
（2）應(yīng)用整體法，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求增區(qū)間；
（3）首先求得，再由正弦函數(shù)性質(zhì)求值域，即可得最大值.
【詳解】（1）由，可得.
（2）由（1）知：，
令，，則，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間，.
（3）由題設(shè)，，故，
所以，故最大值為2.
20．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若關(guān)于的方程在恰有4個(gè)不同的解,求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用換元法，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，解關(guān)于的一元二次不等式即可；
（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分析的交點(diǎn)情況，進(jìn)而結(jié)合圖形分析與的交點(diǎn)情況，從而得解.
【詳解】（1）設(shè)，
則函數(shù)，
因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，即函數(shù)的值域?yàn)?
（2）由（1）知，可化為，
解得或（舍去），解得，
所以的解集為.
（3）對(duì)于，，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
對(duì)于，由（1）可知其可轉(zhuǎn)化為，
結(jié)合（1）中的信息作出與的大致圖象，
要使得在恰有4個(gè)不同的解，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)且時(shí)，對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，
此時(shí)與的圖象恰有四個(gè)交點(diǎn)，即滿足題意；
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，顯然不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，
此時(shí)與的圖象只有三個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，顯然不滿足題意；
綜上，.
六、作圖題
21．1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學(xué)中計(jì)量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：
(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號(hào)之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；
①；②；③．
(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）
(3)請用你求得的模型，計(jì)算谷神星離太陽的距離．
【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析，模型②符合題意
(2)，模型與數(shù)據(jù)吻合
(3)
【分析】（1）根據(jù)已知作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合所給函數(shù)模型圖像性質(zhì)得出答案；
（2）將三點(diǎn)代入所選函數(shù)模型，求出參數(shù)，在根據(jù)后兩點(diǎn)驗(yàn)證即可；
（3）根據(jù)（2）求出的函數(shù)模型，令，即可求出.
【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示：

根據(jù)散點(diǎn)圖可知，模型②符合題意；
（2）將，，分別代入，
得，解得，，
所以
當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，
當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，
所以，模型與數(shù)據(jù)吻合；
（3）當(dāng)時(shí)，，
即谷神星距太陽的距離為.
七、解答題
22．已知函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用偶函數(shù)構(gòu)造方程，即可求參數(shù)值.
（2）由題設(shè)可得，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，討論、，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由題設(shè)，，即，
∴，可得，則.
（2）由題設(shè)，，則，
∴，且，整理得，
令，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，，
當(dāng)時(shí)，， 此時(shí)，且開口向上，
∴在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，且開口向下且對(duì)稱軸，
∴，即時(shí)，僅當(dāng)，可得符合條件；
，即時(shí)，在上無零點(diǎn).
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，注意，討論、對(duì)應(yīng)定義域區(qū)間不同，另外結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷在定義域內(nèi)的零點(diǎn)(根)的情況求參數(shù).
行星編號(hào)
1
（金星）
2
（地球）
3
（火星）
4
（ ）
5
（木星）
6
（土星）
離太陽的距離

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