考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上.
第I卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集為，集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得
【詳解】，解得或，
所以或，所以，
所以.
故選：C
2. 函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理求得正確答案.
【詳解】在上單調(diào)遞增，
，
所以的零點在區(qū)間.
故選：B
3. 已知，為非零實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.
【詳解】當(dāng)時，同號且非零，則，所以.
當(dāng)時，如，則，無法得到.
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用整體代入法求得正確答案.
【詳解】由，解得，
所以函數(shù)的定義域是.
故選：D
5. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、周期性求得正確答案.
【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，所以，
，
所以是周期為的周期函數(shù)，所以.
故選：B
6. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
【詳解】.
故選：B
7. 已知，，則（ ）
A. 的最大值為且的最大值為
B. 的最大值為且的最小值為0
C. 的最小值為且的最大值為
D. 的最小值為且的最小值為0
【答案】C
【解析】
【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.
【詳解】利用，則，整理得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即的最小值為；
利用，，即，整理得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故的最大值為.
故選：C
8. 若關(guān)于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，其中，則的值為（ ）
A. -6B. -4C. -3D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】利用換元法化簡題目所給方程，結(jié)合二次函數(shù)零點分布、對勾函數(shù)的性質(zhì)等知識求得正確答案.
【詳解】依題意可知，
由整理得①，
即關(guān)于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，
令，則或，
則①轉(zhuǎn)化為，
即，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知是方程的一個根，
所以，
所以，解得或，
所以是方程的根，即的根，
所以，
所以.
故選：A
【點睛】對于復(fù)雜方程的跟有關(guān)的問題求解，可根據(jù)題目所給已知方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方向是熟悉的函數(shù)類型，即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行求解.對鉤函數(shù)是函數(shù)題目中常見的函數(shù)，對其性質(zhì)要注意總結(jié).
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分、在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 若是銳角，則是第一象限角
B.
C. 若，則為第一或第二象限角
D. 若為第二象限角，則為第一或第三象限角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)象限角、弧度制、三角函數(shù)值等知識確定正確答案.
【詳解】A選項，是銳角，即，所以是第一象限角，A選項正確.
B選項，根據(jù)弧度制的定義可知，B選項正確.
C選項，當(dāng)時，，但不是象限角，C選項錯誤.
D選項，為第二象限角，即，
所以為第一或第三象限角，D選項正確.
故選：ABD
10. 關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)定義域為B. 函數(shù)是偶函數(shù)
C. 函數(shù)是周期函數(shù)D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由于，所以的定義域不是，A選項錯誤.
由得，所以，
所以的定義域是，的定義域關(guān)于原點對稱，
，所以是偶函數(shù)，B選項正確.
，所以是周期函數(shù)，C選項正確.
當(dāng)時，恒成立，
在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項正確.
故選：BCD
11. 已知且，函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點的函數(shù)值確定正確答案.
【詳解】依題意且，
，B選項錯誤
當(dāng)時，，且在上遞增，A選項符合題意.
當(dāng)時，，在CD選項中，C選項錯誤，則D選項正確.
故選：AD
12. 已知實數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式可能正確的是（ ）
A. ，使
B. ，使
C. ，有
D. ，有
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由原方程可得，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性得出值域，根據(jù)函數(shù)的值域判斷A;令，代入原方程轉(zhuǎn)化為判斷是否有解即可判斷B，條件變形放縮后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出大小，判斷CD，
【詳解】對于A，由得，令，則分別在和上單調(diào)遞增，令，則分別在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的值域為 當(dāng)時，的值域為，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A正確；
對于B，令，則方程可化為，由換底公式可得，顯然關(guān)于的方程在上有解，所以，使，B正確；
對于C，當(dāng)時，因為，
所以，又在上單調(diào)遞增，所以. 又，令，則在上單調(diào)遞增，因，所以 ，從而可得，所以．綜上所述可得 ，C正確；
對于D，當(dāng)時，因為，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.又，令，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，
從而，所以．綜上所述可得，所以D正確．
故選：ABCD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于CD選項的關(guān)鍵在于變形、放縮，恰當(dāng)放縮后不等式兩邊可看做同一函數(shù)的兩個函數(shù)值，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，建立自變量的大小關(guān)系，化繁為簡，得出的關(guān)系，再利用對數(shù)性質(zhì)放縮即可判斷結(jié)論，本題難度較大，技巧性較強，屬于難題.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 化簡求值：______.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則、性質(zhì)，換底公式求解.
【詳解】
.
故答案為：
14. 已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時，值域為，且在上有兩個零點，請寫出一個滿足上述條件的______.
【答案】 （答案不唯一，如亦可）
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的自變量、值域、零點在學(xué)過函數(shù)中找到滿足條件的函數(shù)即可.
【詳解】根據(jù)函數(shù)自變量時，函數(shù)值域為，可考慮二次函數(shù)，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知時，，，
令，解得，即在上有兩個零點.
故答案為：（答案不唯一，如亦可）
15. 炎炎夏日，古代人們乘涼時用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，得到的扇形ABC面積為，則當(dāng)該紙疊扇的周長最小時，的長度為______cm.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)扇形ABC半徑為，弧長為，根據(jù)扇形ABC的面積得到，紙疊扇的周長，利用基本不等式求解即可.
【詳解】設(shè)扇形ABC的半徑為，弧長為，則扇形面積.
由題意得，所以.
所以紙疊扇的周長，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立，
所以此時的長度為.
故答案為：
16. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則實數(shù)的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】化簡函數(shù)解析式，先求出整體的范圍，由在區(qū)間內(nèi)沒有零點得出不等式，解出的范圍，再結(jié)合的取值，即可求解.
【詳解】，
由可得，
又在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則，
解得，
又，解得，又，所以或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
綜上：的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在①是的充分不必要條件；②；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題.問題：已知集合，集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若______，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）解絕對值不等式求得集合，由此求得.
（2）通過選擇的條件列不等式，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
，所以.
當(dāng)時，，
所以.
【小問2詳解】
由（1）得，
選①，是的充分不必要條件，
則且等號不同時成立，解得.
選②，，
則，解得.
選③，，
則或，
解得或.
18. 已知函數(shù)，且，.
（1）求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方的方法，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
（2）利用兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
【小問1詳解】
由題意，，
由于，所以，
故由
可解得，.
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：，，則
因為，所以，
所以.
19. 已知函數(shù)，.
（1）若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若在區(qū)間上的最小值為-2，求實數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)零點分布的知識求得的取值范圍.
（2）根據(jù)在區(qū)間端點或?qū)ΨQ軸（二次函數(shù)時）處取得最小值進(jìn)行分類討論，由此求得的值.
【小問1詳解】
在上有零點，
所以，
所以.
【小問2詳解】
由于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值只可能在端點或?qū)ΨQ軸處取到，
所以只需考慮一下三種情況并檢驗即可：
①若，∴.
的圖象開口向上，對稱軸，而，不成立，舍.
②若，∴.
此時的圖象開口向上，對稱軸，成立.
③若，∴或.
此時的圖象開口向上，對稱軸，而此時，成立.
綜上可知，或.
20. 已知函數(shù)的圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的對稱中心；
（2）先將函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），然后將得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），最后將所得圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求得的解析式，然后利用整體代入法求得的對稱中心.
（2）利用三角函數(shù)圖象變換的知識求得的解析式，根據(jù)在區(qū)間上的值域轉(zhuǎn)化不等式，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
由圖可知：，所以，所以，，
又，
所以，.
所以.
令，，
則，.
所以的對稱中心為，.
【小問2詳解】
由題.
當(dāng)時，.
因為對任意的恒成立，
則.
所以.
21. 近年來，受全球新冠肺炎疫情影響，不少外貿(mào)企業(yè)遇到展會停辦、訂單延期等困難，在該形勢面前，某城市把目光投向了國內(nèi)大市場，搭建夜間集市，不僅能拓寬適銷對路的出口產(chǎn)品內(nèi)銷渠道，助力外貿(mào)企業(yè)開拓國內(nèi)市場，更能推進(jìn)內(nèi)外貿(mào)一體化發(fā)展，加速釋放“雙循環(huán)”活力.某夜市的一位文化工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（按30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系滿足（為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
設(shè)該文化工藝品的日銷售收入為（單位：元），且第15天的日銷售收入為1057元.
（1）求的值；
（2）給出以下四種函數(shù)模型：
①；②；③；④.
請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；
（3）利用問題（2）中的函數(shù)，求的最小值.
【答案】（1）
（2）選擇函數(shù)模型②，
（3）961
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，由此求得的值.
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性選擇模型并根據(jù)已知條件列方程，求得，從而求得的解析式.
（3）結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.
【小問1詳解】
因為第15天的日銷售收入為1057元，
所以，解得.
【小問2詳解】
由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間變化時，先增后減.
而函數(shù)模型①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，
所以選擇函數(shù)模型②.
由，解得，，.
所以日銷售量與時間的變化關(guān)系為.
【小問3詳解】
由（2）知
所以
即.
當(dāng)，時，由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
當(dāng)，時，單調(diào)遞減，
所以.
綜上所述：當(dāng)時，取得最小值，最小值為961.
22. 定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”.
（1）判斷是否為“型函數(shù)”?并說明理由；
（2）若存在實數(shù)，使得函數(shù)始終是“型函數(shù)”，求的最小值；
（3）若函數(shù)，是“型函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）不是，理由見解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“型函數(shù)”的定義，結(jié)合特殊值進(jìn)行判斷.
（2）根據(jù)的定義域求得的范圍，結(jié)合“型函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.
（3）對進(jìn)行分類討論，根據(jù)“型函數(shù)”的定義列不等式，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
是偶函數(shù)，且在遞減，遞增.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
若取，則不存，使得.
所以不是“型函數(shù)”.
【小問2詳解】
首先函數(shù)定義域為，
則，解得.
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以只需對恒成立即可.
所以，即的最小值為1.
【小問3詳解】
由題是“型函數(shù)”.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.
而，要使存在且唯一，則有，解得.
所以.
當(dāng)時，在遞減，遞增，.
而，要使存在且唯一，則有，解得.
所以.
綜上可知：.
【點睛】新定義問題的求解必須緊扣新定義，新定義型試題的難點就是對新定義的理解和運用，在解決問題時要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中.15
20
25
30
105
110
105
100

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