時長：120分鐘 總分：150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，“”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學(xué)生2道題全做對的概率為（ ）
A. 0.34B. 0.37C. 0.42D. 0.43
4. 若的二項展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺,如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約（ ）cm
A. 2.8B. 2.9C. 3.0D. 3.1
6. 已知等邊的邊長為，為的中點，為線段上一點，，垂足為，當時，（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，（）試比較的大小關(guān)系（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知三棱錐，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．
9. 已知為圓上的兩點，為直線上一動點，則（ ）
A. 直線與圓相離
B. 當為兩定點時，滿足的點有2個
C. 當時，的最大值是
D. 當為圓的兩條切線時，直線過定點
10. 定義運算．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A B.
C. 角B的最大值為D. 若，則為鈍角三角形
11. 已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點為在第一象限上的點，點的坐標為，為的平分線則下列正確的是（ ）
A. 雙曲線的方程為B.
C. D. 點到軸的距離為
12. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 將函數(shù)圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象
D. 函數(shù)的零點個數(shù)為7
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分.
13. 已知某種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個這種元件使用年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為___________.
14. 給出下列命題：
①由變量和的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程，則一定經(jīng)過點；
②在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；
③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱；
④在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.
其中真命題的序號是______．
15. 若函數(shù)圖象在點處的切線方程為，則的最小值為__________.
16. 回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如，，，等，顯然位回文數(shù)有個：，，，，，位回文數(shù)有個：，，，，，，，．
（）位回文數(shù)有__________個．
（）位回文數(shù)有__________個．
四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
18. 已知數(shù)列的前項和為，且，當時，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，設(shè)，求數(shù)列的前項和為．
19. 黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識對抗賽，組委會將參賽人員隨機分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組委會隨機從百年黨史題庫抽取道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機會相等比賽細則為：選手搶到試題且回答正確得分，對方選手得分選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得分，對方選手得分道題目搶答完畢后得分多者獲勝已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨立．
（1）求乙同學(xué)得分的概率
（2）記為甲同學(xué)的累計得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
20. 如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，平面平面，．
（1）求證：平面平面；
（2）若二面角的余弦值為，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．
21. 已知圓與拋物線在軸下方的交點為，與拋物線的準線在軸上方的交點為，且點，關(guān)于直線對稱．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點，是拋物線上與點不重合的兩個動點，且，求證：直線過定點，并求出定點坐標．
22. 設(shè)函數(shù)．
（1）已知在點處切線方程是，求實數(shù)，的值；
（2）在第（1）問條件下，若方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值．
天水一中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期第三次月考
《高三數(shù)學(xué)》試卷
時長：120分鐘 總分：150分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意將集合化簡，然后結(jié)合交集的運算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以，即，
且或，所以或，即，
所以.
故選:B
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由，可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學(xué)生2道題全做對的概率為（ ）
A. 0.34B. 0.37C. 0.42D. 0.43
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式即可求解.
【詳解】設(shè)事件表示“兩道題全做對”，
若兩個題目都有思路，則,
若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則，
故,
故選：C
4. 若的二項展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】原式利用二次展開通項公式化簡，根據(jù)的系數(shù)是，求出的值即可.
【詳解】根據(jù)的二項展開通項公式.
令，得到，由的系數(shù)是，得到，
解得：，
故選：D
·
5. 紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺,如圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:cm）,現(xiàn)在向這個空石瓢壺中加入（約）的礦泉水后,問石瓢壺內(nèi)水深約（ ）cm
A. 2.8B. 2.9C. 3.0D. 3.1
【答案】C
【解析】
【分析】取圓臺的中軸面,補全為一個三角形,根據(jù)三角形相似,找到加入礦泉水后水面的半徑和水深的關(guān)系,根據(jù)圓臺體積為,列出等式,解出即可.
【詳解】解:由題知礦泉水的體積為,
將圓臺的中軸面拿出,補全為一個三角形如圖所示:
加入礦泉水后,記石瓢壺內(nèi)水深為,水平面半徑為,
由圖可知,
所以有
即,
解得,
由,
得,
即,
解得:,
故加入礦泉水后圓臺的體積為:
,
解得,
所以.
故選:C
6. 已知等邊的邊長為，為的中點，為線段上一點，，垂足為，當時，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先分別表示出，，再由向量的數(shù)量積運算得到，從而得到為的重心，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，，
，
，或（舍去），
為的重心，，為的中點，
，
故選：B．
7. 若，（）試比較的大小關(guān)系（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先估算出，進而求出的范圍，再由求出的范圍，最后構(gòu)造函數(shù)估算出即可求解.
【詳解】由得，故，又，故，
由常用數(shù)據(jù)得，下面說明，令，，
當時，，單增，當時，，單減，則，
則，則，，
令，則，，
，則，綜上，.
故選：D.
【點睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的大小比較，關(guān)鍵點在于通過構(gòu)造函數(shù)求出的范圍，放縮得到，再由和結(jié)合即可求解.
8. 已知三棱錐，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接，，，設(shè)三棱錐外接球的球心為，設(shè)過點的平面為，則當時，此時所得截面的面積最小，當點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.
【詳解】連接，，由，
可知：和是等邊三角形，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等邊三角形，為中點，
所以，又因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，
所以底面，而底面，因此，所以是矩形,
和是邊長為的等邊三角形，
所以兩個三角形的高，
在矩形中，，連接，
所以，
設(shè)過點的平面為，當時，
此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，
，
因此圓的半徑為：，所以此時面積為，
當點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：，
所以截面的面積范圍為.
故選：A．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：幾何體的外接球問題和截面問題，考查空間想象能力，難度較大．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．
9. 已知為圓上的兩點，為直線上一動點，則（ ）
A. 直線與圓相離
B. 當為兩定點時，滿足的點有2個
C. 當時，的最大值是
D. 當為圓的兩條切線時，直線過定點
【答案】AD
【解析】
【分析】利用點到直線的距離判斷A；確定最大時的情況判斷B；取AB中點D，由線段PD長判斷C；求出直線AB的方程判斷D作答.
【詳解】對于A，因為到直線的距離，即直線與圓相離，A正確；
對于B，當A，B為過點P的圓O的切線的切點時，最大，而，
顯然是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
因此最大，當且僅當最大，當且僅當最小，則有，此時，
所以當為兩定點時，滿足的點只有1個，B錯誤；
對于C，令A(yù)B的中點為D，則，，點D在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上，
，顯然當在上運動時，無最大值，C不正確；
對于D，設(shè)，當為切線時，，點在以為直徑的圓上，
此圓的方程為，于是直線為，即，
所以直線過定點，D正確.
故選：AD
10. 定義運算．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 角B的最大值為D. 若，則為鈍角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由新定義運算得，對于選項A：由正弦定理邊化角后知正確；對于選項B：可舉反例進行判斷；對于選項C：結(jié)合余弦定理及基本不等式，可求得，可知C正確；對于選項D：結(jié)合條件可得計算即可判斷出為鈍角.
【詳解】由可知，整理可知，由正弦定理可知，，從而可知A正確；
因為滿足，但不滿足，故B不正確；
B錯誤；（當且僅當時取“=”），
又，∴B的最大值為，故C正確；
由可得，解得，又，從而可得為最大邊，
，角A為鈍角，故D正確．
故選：ACD．
11. 已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點為在第一象限上的點，點的坐標為，為的平分線則下列正確的是（ ）
A. 雙曲線的方程為B.
C. D. 點到軸的距離為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由到的距離為以及漸近線方程為可求得，即可得出方程，判斷A；由可求出判斷B；結(jié)合雙曲線定義可求得，求出，即可求出，判斷C；利用等面積法可求得點到軸的距離，判斷D.
【詳解】到的距離為，，解得，
又漸近線方程為，則，結(jié)合可解得，，
則雙曲線的方程為，故A正確；
為的平分線，，故B錯誤；
由雙曲線定義可得，則可得，，
則中，，
則，
則，即，故C正確；
在中，，
設(shè)點到軸的距離為d，則，
即，解得，故D正確．
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：是根據(jù)已知求出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線的定義求得焦點三角形的各邊長.
12. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 將函數(shù)圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象
D. 函數(shù)的零點個數(shù)為7
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作答求出函數(shù)的解析式，再分析判斷ABC；換元并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖形判斷D作答.
【詳解】觀察圖象知，函數(shù)的周期，則，而，
即有，由知，，因此，A正確；
顯然，當時，，因此單調(diào)遞增，B正確；
將圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡?，再將所得圖象向右平移個單位長度，得，
而，C錯誤；
由，得，令，則，
令，顯然當時，，即恒有，函數(shù)在上無零點，
當時，，令，，
函數(shù)在上都遞減，即有在上遞減，，
，因此存在，，
當時，，當時，，有在上遞增，在遞減，
，，
于是存在，，當時，，當時，，
則函數(shù)在上遞減，在遞增，，，
從而函數(shù)在上存在唯一零點，而函數(shù)周期為，在上單調(diào)遞增，如圖，
，，，
從而函數(shù)在上各有一個零點，又0是的零點，即函數(shù)在定義域上共有7個零點，
所以函數(shù)的零點個數(shù)為7，D正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分.
13. 已知某種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個這種元件使用年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)一個這種元件使用年的事件為，使用年的事件為，
則.
故答案為：
14. 給出下列命題：
①由變量和的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程，則一定經(jīng)過點；
②在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；
③線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱；
④在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.
其中真命題的序號是______．
【答案】①②
【解析】
【分析】利用回歸直線方程的特征以及兩個變量之間的關(guān)系逐一判斷四個選項的正誤即可.
【詳解】回歸直線一定過樣本中心點，故①正確；
殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故②正確；
線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱，故③錯誤；
在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量減少0.5個單位，故④錯誤.
故答案為：①②.
15. 若函數(shù)圖象在點處的切線方程為，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示出切線方程，得k﹣b＝?x0﹣1，令＝xex﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k﹣b的最小值即可．
【詳解】已知，得f′（x）＝ex﹣1，設(shè)切點為（x0，f（x0）），故f′（x0）＝，
故f（x）＝ex﹣x圖象在點（x0，f（x0））處的切線斜率為：k＝，
所求切線方程為y＝（﹣1）（x﹣x0）+﹣x0，即y＝（﹣1）x﹣x0，
則k＝﹣1，b＝﹣?x0，則k﹣b＝?x0﹣1，令＝xex﹣1，＝ex（x+1），
當x＜﹣1時，＜0，當x＞﹣1時，＞0，所以在上遞減，在上遞增，
故＝xex﹣1在x＝﹣1處取得最小值，則k﹣b的最小值是﹣1﹣.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：
首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點（x0，f（x0）），得切線的斜率，進而得切線方程，
最后，得出＝?x0﹣1，令＝xex﹣1，求導(dǎo)得出的單調(diào)性及最值.
16. 回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如，，，等，顯然位回文數(shù)有個：，，，，，位回文數(shù)有個：，，，，，，，．
（）位回文數(shù)有__________個．
（）位回文數(shù)有__________個．
【答案】 ①. 90 ②.
【解析】
【詳解】（）位回文數(shù)的特點為中間兩位相同，千位和個位數(shù)字相同但不能為零，
第一步，選千位和個位數(shù)字，共有種選法，
第二步，選中間兩位數(shù)字，有種選法，
故位回文數(shù)有個．
（）第一步，選左邊第一個數(shù)字，有種選法，
第二步，分別選左邊第、、、、、個數(shù)字，共有種選法，
故位回文數(shù)有個.
四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及正弦定理化簡求；由題意結(jié)合正弦定理求得邊，余弦定理求得邊，最后根據(jù)面積公式求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以.
又，
所以，
即，
即.
又，所以，
則由，得.
（2）由正弦定理，得，
則由余弦定理得，
解得(負值舍去)，
所以.
【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.
18. 已知數(shù)列的前項和為，且，當時，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，設(shè)，求數(shù)列的前項和為．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）當時，，可得，兩式相減即可求解；
（2）由（1）可求得，進而可得，，利用乘公比錯位相減求和即可求解.
【詳解】（1）當時，，，
兩式相減可得：，即，
所以，不滿足，
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）當時，由，，可得，
，滿足，所以，
可得，，
，
，
兩式相減可得：
，
所以.
19. 黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識對抗賽，組委會將參賽人員隨機分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組委會隨機從百年黨史題庫抽取道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機會相等比賽細則為：選手搶到試題且回答正確得分，對方選手得分選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得分，對方選手得分道題目搶答完畢后得分多者獲勝已知甲、乙兩名選手被分在同一組進行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨立．
（1）求乙同學(xué)得分的概率
（2）記為甲同學(xué)的累計得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析；期望為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的判斷與概率計算公式綜合運算求解即可；
（2）由題意，可能值為0，50，100，150，200，根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的判斷與概率計算公式分別求出對應(yīng)取值的概率，即可得到離散型隨機變量的分布列，再由期望定義及公式求其期望值．
【小問1詳解】
由題意，乙同學(xué)得分的基本事件有乙搶到兩題且一道正確一道錯誤、
甲乙各搶到一題都回答正確、甲搶到兩題且回答錯誤，
所以乙同學(xué)得分的概率為
【小問2詳解】
由題意，甲同學(xué)的累計得分可能值為0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望．
20. 如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，平面平面，．
（1）求證：平面平面；
（2）若二面角的余弦值為，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，由面面垂直的判定即可證明；
（2）過作，，垂足分別為，，連接，由幾何法可證即為二面角的平面角，過作平面，以為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，再由向量法求出直線PD與平面PBC所成角即可．
【小問1詳解】
（1）因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又因為平面，所以平面平面．
【小問2詳解】
過作，，垂足分別為，，連接，
因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，且，，平面，
所以平面，
因為平面，所以，即即為二面角的平面角，
不妨設(shè)，則可知，且，，
因為，所以，所以，
過作平面，以x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以，
設(shè)直線PD與平面PBC所成角為，則，
直線PD與平面PBC所成角的正弦值為
21. 已知圓與拋物線在軸下方的交點為，與拋物線的準線在軸上方的交點為，且點，關(guān)于直線對稱．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點，是拋物線上與點不重合的兩個動點，且，求證：直線過定點，并求出定點坐標．
【答案】（1）；（2）存在；定點坐標．
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立拋物線準線與圓的方程求得點B的坐標，再根據(jù)點A和點B關(guān)于對稱獲得點A的坐標，最后根據(jù)點A在拋物線上，列方程求得，最后求得拋物線的方程;（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由韋達定理可知，，因為，所以
，整理化簡得到，最后得到直線過定點.
【詳解】（1）解：將代入，得，所以，
由點，關(guān)于直線對稱，可得，
將的坐標代入拋物線的方程得，解得，
所以拋物線的方程為．
（2）證明：由（1）得，
設(shè)，，直線的方程為．
將直線的方程代入得，所以，
所以，．
因為，所以
，
由題意可知，，所以．
所以，即，
所以，即，
所以直線的方程為，
直線過定點，定點坐標為．
【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
22 設(shè)函數(shù)．
（1）已知在點處的切線方程是，求實數(shù)，的值；
（2）在第（1）問的條件下，若方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）當時，求得，得到，再由，聯(lián)立方程組即可求解；
（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有唯一實數(shù)解，設(shè)，求得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)單調(diào)性與最值，進而得到，結(jié)合的單調(diào)性，求得方程的解為，代入，即可求解.
【詳解】（1）當時，可得，所以，即，
因，即，即
聯(lián)立方程組，解得，．
（2）由方程有唯一實數(shù)解，即有唯一實數(shù)解，
設(shè)，則，
令，
因為，所以，且，所以方程有兩異號根，
設(shè)，，因為，所以應(yīng)舍去，
當時，，在上單調(diào)遞減；
當時，，在上單調(diào)遞增．
當時，，取最小值，
因為有唯一解，所以，則，即，
因為，所以．（*）
設(shè)函數(shù)，
因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解，
因為，所以方程（*）的解為，
將代入，可得．
【點睛】函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：
1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；
2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

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