命題：劉肅育 審核：趙小軍
（滿分：150 時(shí)間：120分鐘）
一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．）
1. 用這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 18B. 24C. 30D. 48
2. 若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 或B. 1或
C. 或3D. 或
3. 已知等比數(shù)列的公比，則（ ）
A. B. 5C. 10D. 20
4. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則（ ）
A B. C. 3D. 5
5. 若數(shù)列滿足：，且，則的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
7. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8. 點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 已知圓，圓，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在圓內(nèi)
B. 圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
C. 圓和圓的公切線長(zhǎng)為2
D. 圓和圓的公共弦所在的直線方程為
10. 有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（ ）
A. 只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B. 恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C. 只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
D. 恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
11. 設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 時(shí)，的最大值為D. 數(shù)列中的最小項(xiàng)為第項(xiàng)
12. 已知，是橢圓：的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與 交于，兩點(diǎn)，，，，分別表示直線，，，的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D. 直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．
14. 已知等差數(shù)列滿足，則__________.
15. 2023年杭州亞運(yùn)會(huì)召開(kāi)后，4位同學(xué)到三個(gè)體育場(chǎng)館做志愿者服務(wù)活動(dòng)，每個(gè)體育場(chǎng)館至少一人，每人只能去一個(gè)體育場(chǎng)館，則不同的分配方法總數(shù)是______．
16. 已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)______．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡(jiǎn)陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無(wú)畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場(chǎng)景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
（1）女生必須坐在一起坐法有多少種？
（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？
（3）甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
18. 已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與軸相切．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
19. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P在第二象限，，求△的面積．
20. 記為數(shù)列前項(xiàng)和，已知，是公比為的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
21. 已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線同一支于兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，求面積的取值范圍．
22. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值，并求出定值．天水一中2022級(jí)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期開(kāi)學(xué)考試
數(shù)學(xué)試題
命題：劉肅育 審核：趙小軍
（滿分：150 時(shí)間：120分鐘）
一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．）
1. 用這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 18B. 24C. 30D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，首位數(shù)字有4種選擇，則中間的數(shù)位有4種選擇，末尾數(shù)字有3種選擇.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).
故選:.
2. 若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 或B. 1或
C. 或3D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】借助圓心到切線的距離等于半徑，計(jì)算即可得.
【詳解】由圓心為，半徑為，
即，
則，
解得或.
故選：C.
3. 已知等比數(shù)列的公比，則（ ）
A. B. 5C. 10D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.
【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，
所以.
故選：C.
4. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用點(diǎn)在拋物線上求得，再利用拋物線的焦半徑公式即可得解.
【詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程，得，則，
所以.
故選：B.
5. 若數(shù)列滿足：，且，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前項(xiàng)可得數(shù)列的周期，根據(jù)周期可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，，
所以數(shù)列是以為周期的數(shù)列，
又因?yàn)椋裕?br>故選：A．
6. 已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】求出橢圓中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線過(guò)左焦點(diǎn)，從而根據(jù)橢圓定義得到的周長(zhǎng)為.
【詳解】由橢圓方程可知，所以，，
所以點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，
直線過(guò)左焦點(diǎn)，
由橢圓定義可知：的周長(zhǎng)為
故選：B
7. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的片段和的性質(zhì)即可結(jié)合不等式求解最值.
【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，又，
所以，且，，也是等比數(shù)列，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
因?yàn)椋缘淖钚≈禐椋?br>故選:B．
8. 點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用化簡(jiǎn)可知，再利用，即可得到結(jié)論
【詳解】由題意，
又為圓的任意一條直徑，則，
在橢圓中，有，即，
所以，，故的取值范圍為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題.
二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 已知圓，圓，則下列說(shuō)法正確是（ ）
A. 點(diǎn)在圓內(nèi)
B. 圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
C. 圓和圓的公切線長(zhǎng)為2
D. 圓和圓的公共弦所在的直線方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系即可求解A,根據(jù)圓心到直線的距離即可求解B，根據(jù)相交弦的定義即可求解D，根據(jù)相交時(shí)兩圓的外公切線的求解即可判定C.
【詳解】圓的圓心和半徑分別為,圓的圓心和半徑為，
對(duì)于A，由于，故點(diǎn)在圓外，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，到的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，B正確，
對(duì)于D,由于,故兩圓相交，
兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程為：，故D正確，
對(duì)于C，由于兩圓相交，所以外公切線的長(zhǎng)度為，C正確，
故選：BCD
10. 有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（ ）
A. 只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種
B. 恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種
C. 只有1人未參加服務(wù)選擇種數(shù)是60種
D. 恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種
【答案】AD
【解析】
【分析】有1人未參加服務(wù)或恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)都要先從5人中選出1人，再?gòu)挠嘞碌娜酥羞x取服務(wù)于周六周日，根據(jù)分步乘法原理，即可求得答案.
【詳解】由題意得只有1人未參加服務(wù)，先從5人中選1人，未參加服務(wù)，有種選法，
再?gòu)挠嘞?人中選2人參加周六服務(wù)，剩余2人參加周日服務(wù)，有種選法，
故只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是種，A正確，C錯(cuò)誤；
恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)，先從5人中選1人，服務(wù)周六?周天兩天，有種選法，
再?gòu)挠嘞?人中選1人參加周六服務(wù)，剩余3人選1人參加周日服務(wù)，有種選法，
故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是種，B錯(cuò)誤，D正確，
故選：AD
11. 設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 時(shí)，的最大值為D. 數(shù)列中的最小項(xiàng)為第項(xiàng)
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，且?shù)列滿足，，，
所以得到不等式，解得，故B正確；
對(duì)于C，依題意得，
當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?，故且?shù)列單調(diào)遞減），
所以，所以當(dāng)時(shí)的最大值為，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，，，
故為正數(shù)且單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，故且單調(diào)遞增，
所以的最小項(xiàng)為第項(xiàng)，故D正確；
故選：BCD
12. 已知，是橢圓：的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與 交于，兩點(diǎn)，，，，分別表示直線，，，的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D. 直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，得到，利用斜率公式表達(dá)出；B選項(xiàng)，設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，利用斜率公式表達(dá)出；C選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，表達(dá)出直線和直線方程，聯(lián)立后得到，結(jié)合求出答案.
【詳解】對(duì)于A：設(shè)交點(diǎn)，因?yàn)樵跈E圓上，故，
所以.選項(xiàng)正確；
對(duì)于B：設(shè)，，直線：，聯(lián)立，
消去，得，則①，②，
所以
，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：聯(lián)立和，相除得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)直線方程：③，
直線方程：④，聯(lián)立③④，消得，
，
結(jié)合選項(xiàng)B中①②得，
所以.D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，本題的難點(diǎn)是表達(dá)出直線和直線方程，聯(lián)立后得到，下一步的處理方法，本題中用到了求軌跡方程的交軌法，屬于較難一些的方法，要結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)得到，再代入式子中，即可求解.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二項(xiàng)式定理求得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再分別求中常數(shù)項(xiàng)與含項(xiàng)的系數(shù)，從而得解.
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
當(dāng)1乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；
所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
14. 已知等差數(shù)列滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入條件式，可求得，再根據(jù)，可得解.
【詳解】在等差數(shù)列中，，又，
，解得，又，而，解得.
故答案為：.
15. 2023年杭州亞運(yùn)會(huì)召開(kāi)后，4位同學(xué)到三個(gè)體育場(chǎng)館做志愿者服務(wù)活動(dòng)，每個(gè)體育場(chǎng)館至少一人，每人只能去一個(gè)體育場(chǎng)館，則不同的分配方法總數(shù)是______．
【答案】36
【解析】
【分析】先分組再排列計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知必有一個(gè)場(chǎng)館是兩名志愿者，先將四名同學(xué)分成三組，即每組各有人，再進(jìn)行排列，則有種方法.
故答案為：
16. 已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)______．
【答案】
【解析】
【分析】分類討論直線斜率存在與否，聯(lián)立直線與橢圓的方程，將以為直徑的圓的方程轉(zhuǎn)化為只含有參數(shù)的方程，從而求得該圓所過(guò)定點(diǎn)，從而得解.
【詳解】設(shè)是以為直徑圓上任意的一點(diǎn)，，
則，，
因?yàn)?，則，即，
所以圓的方程為，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，
聯(lián)立，消去，得，
則，
故，
所以，
，
所以圓的方程可表示為，
即，
令，解得，
此時(shí)該圓恒過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，則圓的方程為，此時(shí)該圓過(guò)定點(diǎn)；
綜上，該圓過(guò)定點(diǎn).
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡(jiǎn)陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無(wú)畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場(chǎng)景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
（1）女生必須坐在一起的坐法有多少種？
（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？
（3）甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
【答案】（1）576 （2）144
（3）960
【解析】
【分析】（1）由捆綁法即可得到結(jié)果；
（2）由插空法即可得到結(jié)果；
（3）結(jié)合捆綁法與插空法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
先將4名女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個(gè)整體，再與3名男生進(jìn)行排列，共有種排法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；
【小問(wèn)2詳解】
先將3名男生排好，共有種排法，
在這3名男生中間以及兩邊的4個(gè)空位中插入4名女生，共有種排法，
再由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；
【小問(wèn)3詳解】
先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，
由于甲乙相鄰，則有種排法，
最后將排好的甲乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空隙中，
共有種排法，
由分步計(jì)數(shù)原理，共有種排法.
18. 已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與軸相切．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
【答案】18.
19. 或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干假設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入題干信息即可求解.
（2）討論過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，是否與圓相交，弦長(zhǎng)是否為；斜率存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，求解直線的方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
代入題干得：，解得：
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線為：，此時(shí)圓心到直線的距離為所以相切，與題干不符；
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即，
此時(shí)圓心到直線的距離為，又因?yàn)橄嘟坏南议L(zhǎng)為，則.
所以，解得或
則直線的方程為：或
19. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P在第二象限，，求△的面積．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為且，根據(jù)橢圓的定義求得，進(jìn)而求得的值，即可求解；
（2）根據(jù)橢圓的定義，得到，結(jié)合余弦定理列出方程，求得，利用三角形的面積公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，
由橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，可得，，
∴，可得，
∴，則，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問(wèn)2詳解】
∵在第二象限，，在△中，由．
∴根據(jù)余弦定理得，即，解得，
∴．
20. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公比為的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可得，進(jìn)而根據(jù)的關(guān)系可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)，
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為
． ①
則
． ②
②-①得，化簡(jiǎn)得到，，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
因此．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【小問(wèn)2詳解】
將的通項(xiàng)公式代入①式可得，，可用錯(cuò)位相減法求的前項(xiàng)和．
． ③
． ④
③-④可得，．
21. 已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線同一支于兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，求面積的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由漸近線的性質(zhì)判斷得雙曲線為等軸雙曲線，從而利用待定系數(shù)法即可得解；
（2）依題意設(shè)直線的方程為，與雙曲線C方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同時(shí)由其條件求得m的范圍，進(jìn)而求出的面積表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，設(shè)雙曲線的漸近線方程為，
則，解得，故雙曲線為等軸雙曲線，
不妨設(shè)雙曲線的方程為 ，
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，
所以雙曲線的方程為，即標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【小問(wèn)2詳解】
由題意，易知直線斜率存在且不為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
由于雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，
則，解得，
設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
所以，
因在上單調(diào)遞增，所以，
所以，故面積的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值，并求出定值．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析；定值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）分類討論直線斜率存在與否，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于的表達(dá)式，從而求得的值，從而得證.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闄E圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: .
【小問(wèn)2詳解】
證明：由（1）得，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，不妨設(shè)在軸上方，
此時(shí)，則；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
因?yàn)橹本€過(guò)，則，即，
聯(lián)立，消去，得，
則，
設(shè)，則，
所以
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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