1. 設(shè)m為實數(shù)，已知直線，，若，則m的值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩直線的方程及平行關(guān)系，列式計算作答.
【詳解】直線，，且，則有，解得，
所以m的值為2.
故選：B
2. 設(shè)為等差數(shù)列前n項和，若，則（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.
【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，則，解得，
所以.
故選：B
3. 過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線的方程為，再代點解方程即得解.
【詳解】解：由得，
所以橢圓的焦點為.
設(shè)雙曲線的方程為，
因為雙曲線過點，
所以.
所以雙曲線的方程為.
故選：D
4. 如圖，已知函數(shù)f(x)的圖像在點處的切線為l，則（ ）
A. -3B. -2C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】數(shù)形結(jié)合，求出切線斜率和切點坐標(biāo)，即可計算.
【詳解】由圖像可得，切線過點和，切線斜率為，，
切線方程為，則切點坐標(biāo)為，有，
所以.
故選：D.
5. 直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)取值范圍（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】曲線表示圓在軸的上半部分，
當(dāng)直線與圓相切時，，解得，
當(dāng)點在直線上時，，可得,
所以實數(shù)取值范圍為.
故選：B.
6. 中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中，，，且數(shù)列是第二項為的等差數(shù)列.若以為坐標(biāo)原點，以，分別為，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的斜率為（ ）
A. 0.4B. 0.45C. 0.5D. 0.55
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列是第二項為的等差數(shù)列可得，令，則根據(jù)題干可得：，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知：，令，，因為，
所以，
因為數(shù)列是第二項為的等差數(shù)列，
設(shè)公差為，則，因為，所以，
同理
則直線的斜率，
故選：.
7. 設(shè)為實數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個零點，則取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在定理可知函數(shù)在上只有一個零點，則函數(shù)在上無零點，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】當(dāng)時，，則且不恒為零，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，
又因為，所以，函數(shù)在上只有一個零點；
因為函數(shù)只有一個零點，則函數(shù)在上無零點，
則當(dāng)時，，則，
由可得，由可得.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，只需，解得.
故選：C.
8. 已知點為雙曲線右支上一點，分別為的左，右焦點，直線與的一條漸近線垂直，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中點，連接 ,由條件可證明，說明，利用點到直線的距離求，中，根據(jù)勾股定理可得，整理為，再求雙曲線的離心率.
【詳解】取的中點，連接 ,由條件可知，
是的中點，
又，
,
根據(jù)雙曲線的定義可知，
，
直線的方程是： ，即 ，
原點到直線的距離，
中，，
整理為： ，
即 ，
解得： ，或（舍）
故選：C
【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，意在考查轉(zhuǎn)化和化歸，計算能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進(jìn)而得到關(guān)于的方程.
二、多選題（共4題）
9. 將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系判斷各選項中和的圖象是否合乎要求，同時也要注意特殊點處的導(dǎo)數(shù)值作為切線的斜率，由此可得出結(jié)論.
【詳解】對于A選項，由函數(shù)的圖象可知，，但函數(shù)在處的切線斜率不存在，不合乎題意；
對于B選項，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)存在增區(qū)間，但B選項的圖中，函數(shù)為減函數(shù)，不合乎題意；
對于C選項，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，合乎題意；
對于D選項，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)有兩個單調(diào)區(qū)間，但D選項的圖中，函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，不合乎題意.
故選：ABD.
【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，在判斷時要注意導(dǎo)函數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系，考查推理能力，屬于中等題.
10. 已知直線與橢圓交于，兩點，若是直線上一點，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 橢圓的離心率
B.
C.
D. 若是橢圓的左右焦點，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程即可求離心率，從而判斷A；根據(jù)直線與橢圓相交弦長求解公式，利用“聯(lián)消判韋”即可求得長，從而判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合交點坐標(biāo)關(guān)系即可判斷C；利用對稱性，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得最大值，從而判斷D.
【詳解】解：由橢圓知，，則，所以，故離心率，故A正確；
設(shè)，則，所以，則，
故，故B正確；
則，所以與不垂直，故C不正確；
因為是橢圓的左右焦點，所以，若是直線上一點，
如圖：
設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，設(shè)，則，解得，即；
則，又由三角形三邊關(guān)系可得，
又，即，故D正確.
故選：ABD.
11. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 若{an}為等比數(shù)列，公比為q，則S2n=（1+）Sn
B. 若{an}為等比數(shù)列，s，t，p，q∈N，且asat=apaq，則s+t=p+q
C. 若{an}為等差數(shù)列，則（p為常數(shù)）仍為等差數(shù)列
D. 若{an}為等差數(shù)列，則必存在不同的三項ap，aq，ar，使得ap2=aqar
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A：直接公式代入驗證即可；對于B：當(dāng)公比q=1時，可排除；對于C：公式代入，再定義證明即可；對于D：假設(shè)成立，推出可判斷.
詳解】對于A：當(dāng)時，，，；
當(dāng)時，，故A正確；
對于B：當(dāng)公比q=1時，顯然不成立，故B錯誤；
對于C：因為{an}為等差數(shù)列，設(shè)(是常數(shù))，令，則， ，則為等差數(shù)列. 故C正確；
對于D：假設(shè)必存在不同的三項ap，aq，ar，使得ap2=aqar .
，
，
，
根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等，可得，且，
，即，即，與不同矛盾. 故D錯誤.
故選：AC.
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，，則（ ）
A. B. 直線過點
C. 的面積最小值是D. 與面積之和的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)：，聯(lián)立方程后得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理寫出，，再由，即可得，再結(jié)合，求解出，從而判斷AB，再根據(jù)三角形面積公式表示出與的面積，由基本不等式可判斷CD.
【詳解】設(shè)：，，消可得.
，得，，∴，則或
∵，∴，∴，，故A錯；
：過，故B對；
設(shè)定點，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故C對；
又，
不妨設(shè)，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故D對.
故選：BCD.
【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；
（2）強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
三，填空題（共4題）
13. 設(shè)拋物線的焦點，若拋物線上一點到點的距離為6，則___.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義得，由點在拋物線上，代方程即可解決.
【詳解】由題知，拋物線的焦點，拋物線上一點到點的距離為6，
所以，得，
所以拋物線為，
所以，解得，
故答案：
14. 函數(shù)，則=_______
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)除法法則求出導(dǎo)函數(shù)，然后將代入求值，即可求出所求．
【詳解】，
∴，故答案為．
【點睛】本題考查基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和兩項商的導(dǎo)數(shù)公式，公式要記準(zhǔn)記牢，訓(xùn)練運算能力，屬基礎(chǔ)題．
15. 設(shè)m為實數(shù)，已知函數(shù)，則不等式的解集為______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得：，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，
所以不等式的解集為.
故答案為：
16. 已知數(shù)列滿足：，其前n項和，數(shù)列滿足，其前n項和，設(shè)為實數(shù)，若對任意恒成立，則λ的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求出并裂項，再按n分奇偶求出即可推理作答.
【詳解】，，且，則當(dāng)時，，
兩式相減得，即，
因此，而，即，又，解得，
于是數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，即有，
，
，，
顯然數(shù)列是單調(diào)遞增的，，，數(shù)列是單調(diào)遞減的，，，
因為，不等式恒成立，則，不等式且恒成立，
因此且，即有，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】易錯點睛：裂項法求和，注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
四、解答題（共6題）
17. 已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線x﹣y+2＝0相切、切點為A（2，4）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知斜率為﹣1的直線l與圓C相交于不同的兩點M、N，若直線l被圓截得的弦MN的長為14，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂直得到直線方程，設(shè)圓心為，半徑為，將兩點帶入圓方程解得答案.
（2）設(shè)直線方程為，計算圓心到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式得到答案.
【小問1詳解】
直線x﹣y+2＝0斜率為1，故，故直線方程為，
設(shè)圓心為，半徑為，則，
將原點和帶入原方程得到，解得，
故原方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，即，
弦長為，故圓心到直線的距離為，
即，解得，
故直線方程為和.
18. 已知數(shù)列的各項均不為0，且滿足
（1）求通項公式
（2）令，求數(shù)列的前n項和為.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推公式，當(dāng)時，直接求，當(dāng)時，用前n項積除以前n-1項積的方法化簡，可求通項公式；
（2），然后利用分組求和的方法即可求解．
【小問1詳解】
當(dāng)時， 解得 ，
當(dāng)時，由 得，
兩式相除得： ，即 ，
當(dāng)時 滿足，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知， 所以 .
所以


19. 設(shè)為實數(shù)，已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性
（2）若過點有且只有兩條直線與曲線相切，求的值.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程，可得出，結(jié)合（2）中的結(jié)論以及三次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【小問1詳解】
因為，則，
由可得，，
①當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，且不恒為零，
此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
②當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，由可得或，
此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
③當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，由可得或，
此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
【小問2詳解】
解：設(shè)切點為，
對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，切線方程為，
將點的坐標(biāo)代入切線方程整理可得，即，
故關(guān)于的方程有兩個不等的實根，
①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程至多一個實根，不合乎題意；
②當(dāng)時，則，故當(dāng)時，，
此時方程至多一個實根，不合乎題意；
③當(dāng)時，則，
則，解得，合乎題意.
綜上所述，.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
20. 如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個正三角形(為坐標(biāo)原點)的邊長為，
（1）求的值
（2）記為數(shù)列的前n項和，探究與的關(guān)系，求的通項公式.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，用表示出點的坐標(biāo)，再代入曲線方程，計算作答.
（2）根據(jù)給定條件，利用與表示出點的坐標(biāo)，代入曲線方程即可得與的關(guān)系，再利用遞推關(guān)系求出通項作答.
【小問1詳解】
依題意，為正三角形，且，觀察圖象得，而點在曲線上，
即，解得，為正三角形，且，點在曲線上，
，整理得，解得，
所以，.
【小問2詳解】
是正三角形，點，，于是點在曲線上，
則，即，當(dāng)時，，
兩式相減得：，整理得，
則，而滿足上式，因此，，
即數(shù)列是首項為，公差的等差數(shù)列，，
所以數(shù)列的通項公式是.
21. 已知橢圓C：的離心率為，且過點
（1）求C的方程
（2）已知A，B是C的左右頂點，過右焦點F且斜率不為0的直線交C于點M，N，直線AM與直線x=4，交于點P，記PA，PF，BN的斜率分別為，問，是否是定值如果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由.
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的離心率及曲線過的點，求出作答.
（2）根據(jù)已知，設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線與直線交點的坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，即可計算推理作答．
【小問1詳解】
橢圓C：的離心率為，即，有，又，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，，設(shè)，，直線的方程為，
由消去x并整理得，，則，，
有，
直線與直線交于點，則，而，，
.
所以為定值2.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
22. 已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）求f(x)的最大值；
（2）設(shè)a為整數(shù)，若在定義域上恒成立，求a的最大值；
（3）證明.
【答案】（1）1； （2）2；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值作答.
（2）利用（1）的結(jié)論可得，進(jìn)而可得當(dāng)時，，再按、探討恒成立，構(gòu)造函數(shù)并證明不等式作答.
（3）利用（2）的結(jié)論，構(gòu)造數(shù)列不等式，再借助等比數(shù)列求和公式推理作答.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，.
【小問2詳解】
由（1）知，，，即，因此對，，
當(dāng)時，對，，則有，
于是當(dāng)時，對，恒成立，
當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，，必有，解得，
而為整數(shù)，則最大值不大于2，
因為對，恒成立，則對，有恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，于是對，，
綜上得當(dāng)時，對，恒成立，即整數(shù)，
所以整數(shù)a的最大值為2.
【小問3詳解】
由（2）知，，，取，有，因此，
從而，
所以原不等式成立.
【點睛】思路點睛：涉及含參函數(shù)不等式恒成立問題，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)分段討論，確定臨界值，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式作答.

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江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）
江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）
【期中真題】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip

【期中真題】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip
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